利用基本不等式解竞赛题的常用处理技巧

灵活而巧妙地构造基本不等式来解竞赛数学中的不等式问题或与之相关问题,往往能收到事半功倍之效,在下以例示明:1 套用找准切入点,直接套用基本不等式.     

利用基本不等式证题的常用技巧

在利用基本不等式证题时,常常需要根据所证不等式的结构,采用一定的技巧,才能使用基本不等式．现归纳利用基本不等式证题的常用技巧如下,供同学们参考．     

利用柯西不等式巧解竞赛题

归纳和总结出柯西不等式在中学数学竞赛中的各种应用     

利用一个不等式巧解竞赛题

本文给出一个非常简单的不等式,并用于解证几道国内外数学竞赛题。由a~2+b~2≥2ab(a,b∈R),即a~2≥b(2a-b)可得推论若a,b∈R且b>0,则a~2/b≥2a-b。当且仅当a b时取等号例1 已知x>0,(?)1,2…,n,求证: x_1/x_2+x_2/x_3+…+x_n/x_1≥x_1+x_2+…+x_n。 (1984年全国高中数学联赛试题) 证明:由推论得 x_1/x_2≥2x_1-x_2,x_2/x_3≥2x_2-x_3,…,x(?)/x_1≥2(?)-x_1。将以上n个同向不等式两边相加,得     

利用基本图形解竞赛题

某些数学竞赛题有许多类似的形式,我们如果注意归纳、总结,挖掘试题的内涵,对于拓宽视野,扩大知识面,是很有帮助的.下面我们利用一个基本图形,来解多道较复杂的题.     

利用基本图形解竞赛题

某些平面几何竞赛题，它们有类似的形式．我们如果注意归纳、类比、总结，挖掘试题的内涵，对于拓宽学生的视野和知识面，是有一定帮助的．下面我们试图利用一个基本图形，来解决众多的几何问题．     

巧用基本不等式及其变形解竞赛题

数学竞赛题是课本基础知识和技能技巧的结晶。大家熟知基本不等式是:(1)a~2+b~2≥2ab(a、b∈R);(2)a+b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~+)。由它们可以推出如下变形式:     

利用柯西不等式解数学竞赛题举例

<正> 不等式(1)通常称为柯西(Cauchy)不等式。有关这个不等式,已有不少中学数学杂志论及,本文在这里主要通过实例来说明它在解数学竞赛题时所起的重要作用,以及如何利用柯西不等式来解题,从而为中学数学课外活动提供一点辅导资料。 例1 已知a_1,a_2,…,a_k,…为两两各不相同的正整数,求证对任意正整数n,都有 sum from k=1 to n(a_k/k~2)≥sum from k=1 to n(1/k) (3) (第20届国际数学竞赛题,1978年)     

利用基本结论解立体几何竞赛题

(本讲适合高中 )文 [1 ]中提出了用基本结论解平面几何竞赛题的想法 .其实 ,这一想法用在解立体几何竞赛题时同样有效 ,特别是针对最近几年国内数学竞赛中立体几何部分以小题为主 ,只要求答案正确而不要求写出过程 (尽管有时难度不小 )的特点 ,应用基本结论更可收避免繁琐演算、简化思维过程、节约考试时间、提高答案准确率之功 ,值得一试 .1　立体几何中的一些基本结论很多人在解立体几何题中使用过基本结论 ,这里仅列出下列 1 5条 .1 .1　关于体积的基本结论结论 1　棱柱的侧面积等于侧棱长与直截面周长之积 ,体积等于侧棱长与直截面面积…     

利用分式的基本性质解竞赛题

分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变．用式子表示为一些同学对这一重要性质重视不够,其实它是分式变形的理论依据．下面以几道竞赛试题为例加以说明,例1若上一上一3,求、的值．xyx”Lvy（1984年武汉市初二数学竞赛题）分析要想直接求出X、y的值,这是难以办到的．从而须另想办法,从待求式去考虑,能否从中析出“上一上”的式子．进一步观察思考,xy发现分子、分母中的。、y的系数均为相反数,而二次项均为W．由条件可知Y一0,利用分式的基本性质,问题的解答就一目了然了．例2如…     

列不等式解竞赛题

列不等式和不等式组解应用题,课本上这方面内容较少,竞赛中却经常出现.现举例如下. 一、不等式型例1某次数学竞赛第一试有试题25道,每答对一道得4分,每答错(包括未答)一题扣1分.     

利用基本不等式等号成立条件求解竞赛题

正基本不等式:1/2(ab)≤(a+b)/2(其中a≥0,b≥0)当且仅当a=b时等号成立,当1/2(ab)=(a+b)/2,此时即1/2(1/2a-1/2b)2=0,可看出a=b.a=b一方面可看作不等式成立的特殊情况,另一方面也可看作恒等式成立的条件.基本不等式等号成立的条件有两个:①两数非负,②两数相等,这就说明基本不等式等号成立对条件有着较强的要求.反过来如果基本     

利用柯西不等式的变式简解竞赛题

柯西不等式是高中数学中重要的不等式之一,它有如下重要变式： 若xi,yi∈R＋（i=1,2,...n,n∈N^＊,n≥2）,则有x^21/y1＋x^22/y2＋...＋x^2n/yn≥（x1＋x2＋...＋xn）^2/y1＋y2＋...＋yn,当且仅当x1/y1=x^2/y2=...=xn/yn时等号成立．     

应用基本不等式求最值常用技巧

我们知道,在运用基本不等式求最值时务必注意三点:一正、二定、三相等.具体地说,首先要求字母或代数式的取值为正,其次是欲求和的最小值必须凑出积的定值,欲求积的最大值必须凑出和的定值,再其次就是当式子取到最值时,不等式中的等号确能成立.基于这三方面的原因,在运用基本不等式求最值之前,一般要对题设式子进行变形.在变形中,常常需要用到一些技巧,这就是本文所要说明的问题.     

构造不等式 巧解竞赛题

当直接解决某一数学问题有困难时,我们可以构造另一种数学模型,本文主要讨论构造不等式的数学模型解决竞赛问题.     

构造不等式 巧解竞赛题

在数学竞赛中,有些问题乍看起来无从下手,但用构造不等式的方法可能巧妙获解.本文通过实例,介绍几种构造不等式的方法.一、利用正整数的意义例1(第三届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)求出所有这样的正整数a,使得关于x的二次方程ax2 2(2a-1)x 4(a-3)=0至少有一个整数根.分析本题根据正整数必大于等于1的基本概念构造不等式,即可确定x的可能取值,从而求出a.解将方程变形整理得a(x 2)2=2x 12,显然x≠-2,则a=2x 12(x 2)2.因为a为正整数,必有a≥1,所以2x 12(x 2)2≥1,于是解得-4≤x≤2,且x≠-2.这样x的可能值为-4,-3,-1,0,1,2.代入检验得a=1,3,6,…     

用基本不等式证明竞赛题中的不等式

不等式的证明是国内外数学竞赛中的热点问题 ,尽管这些不等式的形式各异 ,但很多不等式的证明却可以用两个基本不等式而巧妙地得到解决 .本文所述的基本不等式为 :a + b≥ 2 ab(a,b∈ R+ )及a1+ a2 +… + ann ≥ n a1a2 … an(ai ∈ R+ ) .下面看一些具体例子 .1　用 a + b≥ 2 ab(a,b∈ R+ )证明竞赛中不等式　　例 1　设 x1,x2 ,x3,… ,xn均为正数 ,求证 :x21x2+ x22x3+ x23x4+… + x2n- 1xn+ x2nx1≥ x1+ x2+… + xn.(1 984年全国高中数学联赛题 )证明 :由基本不等式 a + b≥ 2 ab(a,b∈R+ )得x22x1+ x1≥ 2 x2 ,x23x2+ x2 ≥ 2 x3,… …     

用基本不等式求最值的常用技巧

运用基本不等式求最值,是中学数学中求最值的基本方法之一.众所周知用基本不等式求最值时,必须满足三个条件:(1)表达武中含变量的项是正的;(2)表达武中含变量的项之和(积)是定值;(3)表达式中含变量的项能够相等.以上三个条件通常简称为一正二定三相等.     

解二次根式竞赛题的常用技巧

在数学竞赛中,经常出现与二次根式有关的竞赛题,这类题目有一定的难度,所以很多同学在遇到这类问题时感觉无从下手,或者由于解题过程过于繁琐而求不出结果.为此,本文给同学们介绍几种常用技巧.     

解二次根式竞赛题的常用技巧

在数学竞赛中，经常出现与二次根式有关的竞赛题，这类题目有一定的难度，所以很多同学在遇到这类问题时感觉无从下手，或者由于解题过程过于繁琐而求不出结果．为此，本文给同学们介绍几种常用技巧．[第一段]