巧解计算题

解答较复杂的数学问题,要灵活运用所学的多种知识,沟通条件与问题之间的内在联系,巧妙解题。例:已知:11a+11b+11c=143210,且ɑ≠b≠c,求ɑ、b、c各是多少?分析与解:这是一道已知三个分数的和,求三个分数分母各是多少的计算题。要想求出三个分母各是多少,关键是找出三个分母所对应的量。三个分数通分,即ɑ、b、c分别乘以E、F、G就会得到:11EaE+11FbF+11GcG=143210。分子相加得,11E+11F+11G=143,11(E+F+G)=11×13,所以E+F+G=13。通分后分母得ɑE=bF=cG=210。通过E+F+G=13式子可知E、F、G三个数字最大不能超过10,因此E、F、G只能是…     

一个分数的变化及其证明

一个分数(a/b),如果将它的分子(b)扩大x倍,要使分数的值不变,求它的分母(a)应如何变化,学生都能回答这个问题,那就是利用分数的基本性质,将它的分母(a)也扩大x倍。即:b/a=bx/ax (a≠0) 但一个分数(b/a),如果将它的分子(b)增加或减少一个数x,要使分数的值不变,分母(a)应如何变化,大多数学生就无法解答了。     

“似非而是”的分数运算

我们知道,分数的运算与化简都必须按照相关的法则进行,可下面的运算却出乎意料之外,令人难以相信,但其正确性却是毋须置疑的,请看:1.有趣的加法(1)35 25=53××25=265;(2)1270 230=2107××230=45010.异分母分数加法运算,本应先通分,化为同分母后再相加,而这里却是把分母相乘作分母,分子相乘作分子.究竟什么样的分数才可以这样做呢?不难发现,这样的两个分数具备条件:①分子相同;②分母之和等于分子.反过来,是不是具备这样条件的分数相加就可以采用这种方法呢?请看:a ba a bb=(b a b)a (ba a b)(=a b)a(××b a b).2.奇妙的减法(1)76-98=76-…     

等比性质的推广和压缩

等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+ d+…+n≠0)．那么a+c+…+m/b+c+…+n=a/b． 因为在等比性质中,每个比的分子、分母的 系数都是1,所以在初中几何课本中直接利用 等比性质的题很少,如果根据分式的基本性质 把等比性质推广,或者是把等比性质压缩,使用 推广或压缩后的等比性质做题,就可以简化做 等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+ d+…+n≠0)．那么a+c+…+m/b+c+…+n=a/b． 因为在等比性质中,每个比的分子、分母的 系数都是1,所以在初中几何课本中直接利用 等比性质的题很少,如果根据分式的基本性质 把等比性质推广,或者是把等比性质压缩,使用 推广或压缩后的等比性质做题,就可以简化做     

不要忘了分母之和等于零的情况

我们知道等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n，那么a b c … m/b d … n=a/b成立的条件是b d … n≠0，即分母之和不等于零，但在一些具体问题中，还必须考虑分母之和等于零的情况．否则会造成漏解甚至无法解的情形．     

分式的加减知识导学

一、同分母分式加减法 同分母分式相加减,把分子相加减.用式子表示为:a/c±b/c=a+b/c. 特别提醒:(1)式中的a,b,c,d可以是单项式,也可以是多项式,当分子相加减时,一定把各分子看做一个整体,加上括号.(2)运算后的结果要进行约分化简. 解题方法:同分母分式加减法,(1)分母不变,分子相加减;(2)分子相加减后,分子、分母能因式分解的一定要因式分解,以便约分化简.当分母互为相反数时,应根据分式的符号法则化为同分母.     

分数b／a的分子分母同时加几约分后为c／d

在小学数学分数训练中,有的学生对“分数 b/a 的分子分母同时加几,约分后得 c/d”类型的填空题采用试验的方法,从1,2,3…进行试验,获取正确答案,这显然费时费力,解题效率低。经过论证可得此类题的计算公式。分数 b/a 的分子分母同时加几约分后的分数为 c/d?(a>b,d>c;a,b,c,d∈N 且均不为0)解法一:设分子分母同时加 x,根据题意得     

分式常见错误分类剖析

同学们在学习分式时常常出现这样或那样的错误,现分类剖析如下.一、违背运算顺序致错.例1.计算1-3a2b÷32ba·32ab错解:原式=1-3a2b=2b2-b3a剖析:错解违背了运算顺序,因乘除是同级运算,应从左向右依次运算.正解:原式=1-3a2b·23ba·23ab=1-32ab=3a-2b3a.二、轻易约分致错例2.当x取何值时,分式x2 3x 2x2-x-2有意义错解:∵x2 3x 2x2-x-2=(x 1)(x 2)(x 1)(x-2)=x 2x-2∴当x-2≠0,即x≠2时原分式有意义剖析:在解答分式有无意义的问题时,不能轻易约分,因为把分子和分母的公因式约去,导致分母的取值范围扩大而发生错误.胡怀志正解:由分母x2-x-2≠0…     

走进分式加减的世界

知识扫描分式的加减法法则:(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;(2)异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算.即a/c±b/c=(a±b)/c,a/b±c/d=(ad±bc)/bd     

等比性质证明方法的应用

课本在等比性质的证明中,先设比值k,通过k建立分子和分母的关系式,然后经过适当的变形完成了证明.这种方法叫做比值法.这一方法具有普遍性,可以广泛地应用于与比例有关的问题中.例1 已知a/2=b/3=c/4≠0,求(7a2-3b2 5c2)/(2a-3b)2的值     

数学竞赛问题（12）

,459.设a是一个给定的实数,函数f(x)(x≠0)满足方程2f(x) f(1/x)=3x,(x≠0),请解不等式f(x)≥a.460.问:是否存在这样的一个函数f:R→R,使得对于每个x≠kπ π/2(k为任意的整数),都有f(sinx)=tanx?请说明理由.461.求证:若a,b,c是三角形的三边长,则有不等式2ab(b c?2a)(b c?a) bc(c a?2b)?(c a22?b) ca(a b?2c)(a b?c)≥0.注本题于2005年2月19日为《美国数学月刊(Monthly)》“问题解答栏”而提出并解答.462.设a是实数,2A={x|x∈R,使得x 2ax 3≥0},2B={xx∈R,使得x?ax?4≤0},记S={aa∈R,使得闭区间[?2,2]?AUB},求S.463.求f(x)=(1 3?x)(1 …     

再谈分式不等式证明中的代换法

笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1　分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1　 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 :　 b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明　设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx…     

用字母表示数(4)

先看两端的分数:2/3和3/4.它们有以下的关系—— 1.每个分数的分子都比分母少1. 2.较大分数的分子等于较小分数的分母再看中间的分数:(3a+2b)/(4a+3b).它是这样构成的——     

b~2-4ac≥0的应用(初三)

提起“b2-4ac”,同学们立即会想到它与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有着密切关系.但笔者通过对近几年国内外数学竞赛题的研究发现它在一元二次方程以外也有应用.首先提出:命题当a+b+c=0时,则有b2-4ac≥0,即b2≥4ac.证明由a+b+c=0得b=-(a+c),所以b2-4ac=[-(a+c)]2-4ac     

学习向量八注意

注意1 由a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c即消去律不成立.取 ,a与b的夹角为45°,|c|=1/2,a与c的夹角为0°.显然a·b=a·c=1/2,且a≠0,但b≠c.     

分数大小比较的引伸

小学算术里讲解分数大小比较的方法,主要有两种,这两种方法都是按照分数的,基本性质,把两个(或几个)分数化成同分母或同分子的办法来完成的。 如,分数a/b与c/d,同分母有(ad)/(bd)与(bc)/(bd),同分子有(ac)/(bc)     

从一道小学算术题谈起

一本小学五年级的《同步训练》上有这样一道题： 1/19=1/a＋1/b,a、b都是自然数,求a和b． 有位学生是这样做的： 1/19=20/380=1/380=1/20＋1/380,所以a=20,b=380. 这个学生绝顶聪慧,先将原分数分子分母都扩大20倍,然后将扩大后的分子拆写成两数的和,使两个加数都是分母的因数,再分拆除之．无疑答案是正确的．     

构造一元二次方程解题

一元二次方程是初中数学的重要内容.巧妙地构造一元二次方程,可以解决许多难度较大的问题.现以几道典型的竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的常用方法.一、应用方程根的定义例1若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0,9b2+2001b+5=0,则ba的值是().(A)95(B)59(C)-20501(D)-20901(2001年全国初中数学联赛试题)解:显然b≠0,由9b2+2001b+5=0,得5b1#$2+2001·1b+9=0.又5a2+2001·a+9=0,由ab≠1知a≠b1,所以a、1b是方程5x2+2001x+9=0的两个根.由根与系数的关系知a·b1=95,即ba=59,选(B).二、应用根的判别式例2已知41(b-c)2=(a-b)(c-a),且a≠0,则b+a c=.(1999…     

含字母系数的一元一次方程的解法

含字母系数的一元一次方程的解法和数字系数的一元一次方程的解法完全相同,即通过去分母、去括号、移项、合并同类项,将其化成ax=b的形式.当(1)a≠0时,方程有惟一解:x=b/a;(2)a=0,6=0时,原方程成为0·x=0,方程有无穷多个解;(3)a=0,b≠0时,原方程成为0·x=6≠0,方程无解.     

从一道竞赛题谈起

1999年 1 2月第十四届江苏省初中数学竞赛中有一道试题 ,该题内容新颖 ,构思巧妙 ,解法多样 ,思路宽广 ,富有启发性 ,很受参赛者和辅导老师的欢迎 .该题是 :已知 :a,b,c,d是四个不同的有理数 ,且 (a c)(a d) =1 ,(b c) (b d) =1 ,那么 (a c) (b c)的值是 .本文先介绍该题的五种不同解法 ,再从解法中得到新的启示 ,剖析该题的进一步的性质 .解法 1　因 (a c) (a d) =1 ,1(b c) (b d) =1 . 2由 1 - 2可得(a2 - b2 ) (a- b) (c d) =0 ,又因 a≠b,可得 a b c d=0 ,即 a c=- (b d) .0于是(a c) (b c) =- (b d) (b c) =- 1 .解法 2　因是填空题 ,…