构造定比分点坐标解题

解几中的定比分点坐标公式的特殊情况:P_1,P_2是数轴上两点,其坐标分别为x_1,x_2,若数轴上点p分线段p_1P_2之比/=λ,则点p的坐标x=(x_1 λx_2)/(1 λ),其中当且仅当P为P_1P_2的内分点时λ>0。不妨     

定比分点坐标公式的应用

定比分点的向量式:图1如图1,一般地,若P是分线段P1P2成定比λ的分点(即P1P=λPP2,λ≠-1)则OP=1 1λOP1 1 λλOP2.证明:设O为平面上任意一点,若P1P=λPP2.则OP-OP1=λ(OP2-OP)=λOP2-λOP∴(1 λ)OP=OP1 λOP2即OP=1 1λOP1 1 λλOP2.特别地,当λ=1时,点P是线段P1P2的中点,则OP=21(OP1 OP2)称为线段P1P2中点P的向量表达式.变式:一般地,若P、P1、P2三点共线,且P1P=nmPP2,O为任意一点,则OP=nOP1m mnOP2图2应用例析:一、探求点的坐标【例1】如图2,△ABC顶点A(1,1),B(-2,10),C(3,7),∠BAC平分线交BC边于D,求…     

定比分点公式中λ的妙用

有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 数量的比叫做点Ｐ分Ｐ1Ｐ2所成的比 ,通常用λ表示这个比值 ,λ =Ｐ1ＰＰＰ2 ,点Ｐ叫做Ｐ1Ｐ2 的定比分点 .若点Ｐ为Ｐ1Ｐ2 的内分点 ,则λ>0 ;若点Ｐ为Ｐ1Ｐ2 的外分点 ,则λ <0且λ≠ - 1;若Ｐ与Ｐ1重合 ,则λ =0 .我们可根据λ取值的正负来讨论Ｐ的位置 ,也可根据Ｐ的位置来讨论λ.下面举例说明 .例 1　已知Ｐ(3,- 1)、Ｍ(6 ,2 )、Ｎ(- 3,3) ,直线ｌ过Ｐ点且与线段ＭＮ相交 ,求直线ｌ的倾斜角的取值范围 .解　设ｌ交ＭＮ于Ｑ(ｘｑ,ｙｑ) ,又设ｌ的方程为ｙ+1=ｋ(ｘ- 3) ,λ =ＮＱＱＭ ,由定比分点公式得ｘｑ =- 3+6…     

定比分点公式在代数中的应用

有向线段的定比分点公式是一个结构整齐、富于对称的公式.当λ趋向于-1时,P趋向于无穷远点;当λ＞0时,P为内分点;当λ＜0时,P为外分点;当λ=0时,P与P1重合;当P与P2重合时,λ不存在.定比分点公式不但在解析几何中有十分广泛的应用,而且对于一些代数问题,若能恰当运用,也可以拓宽解题思路,开阔视野,培养创造性思维.下面举例说明定比分点公式在代数中的应用.     

例谈定比分点坐标公式的应用

设A（x1,y1），B（x2,y2），点P（x,y）分有向线段AB所成的比为，即AP=λPB，（λ≠-1），则有x=x1＋λx2/1＋λ,y=y1＋y2/1＋λ,且当P为内分点时，λ〉0，当P为外分点时λ〈0（λ≠-1），当P与A重时，λ=0，当P与B重合时，λ不存在，这就是定比分点公式．应用定比分点公式，能使许多问题化难为易，化繁为简．有关该公式在几何中的应用，同学们已经比较熟悉．本文再给出该公式在非几何问题中的若干应用，使我们进一步体味数学解题的简洁美．     

巧用定比λ>0证明不等式

读贵刊1995年第3期“巧用一个充要条件证明不等式”一文,感到该文中所列例题若用定比λ＞0证明,思路会更加自然、明快、简洁．证明设,要证题中不等式成立,只要证以B点为分点去分AC,所得定比λ＞0即可．要证题中不等式,只要证明以B点为分点去分AC的定比A＞0即可．由定比分点的坐标公式有N3证明设A（6,0）,B（IOg。105,0）,C（7,0）．要证题中不等式,只要证明以B点为分点去分AC的定比A＞0即可．巧用定比λ>0证明不等式@郭燕$甘肃省兰州市兰钢中学!730020     

浅谈定比分点的向量式及其应用

有向线段的定比分点公式有两种形式，一种是教科书中介绍的坐标式，即设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)且点P分p1p2所成的比为λ（λ≠-1），则{xp=x1 λx2/1 λ yp=y1 λy2/1 λ;另一种是向量式，教科书没有提到，即设点P分p1p2所成的比为λ，O为其平面内任一点，     

例谈定比分点坐标公式的应用

设A(x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,点P(x ,y)分有向线段AB所成的比APPB=λ(λ≠ - 1 ) ,则有 :x =x1+λx21 +λ ,y =y1+λy21 +λ .且当P为内分点时 ,λ >0 ;当P为外分点时 ,λ <0 (λ≠- 1 ) .当P与A重合时 ,λ =0 ;当P与B重合时 ,λ不存在 ,这就是定比分点坐标公式 .应用定比分点坐标公式 ,能使许多问题化难为易 ,化繁为简 ,有着非凡的功效 .1　比较大小例 1　已知a >0 ,b >0 ,0 0 ,则 1 -x =1 - λ1 +λ=11 +λ.于是 a2x+ b21 -…     

一种形式 多个结论

我们熟知:当已知线段两端点为P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)、点P(x,y)分所成的比为λ时,点P的坐标是: x=(x_1+λx_2)/1+λ,y=(y_1+λy_2)/1+λ(λ≠-1) 如果我们将上述线段更换为圆柱、棱柱、圆台、棱台、圆锥、棱锥,则可得到一组与线段定比分点坐标公式形式相似的结论: 若换线段为棱台有:结沦一:设棱台上、下底的面积分别为S′、S,平行于两底的截面积为S_0,若截面分高的上、下两部分之比为λ,则:     

向量数量积与抛物线的焦点弦

本文就向量的数量积与抛物线的焦点弦及焦点三角形面积问题进行研究,得出两个新定理：定理1,若｜AB｜是过抛物线y^2=2px（p〉0）焦点F的弦长,且^→BF-^→FA=λ,则｜AB｜=2λ/p;定理2,若AB是过抛物线y^2=2px的焦点弦,O为坐标原点,且^→BF-^→FA=λ,则SΔOAB=P/2√λ．     

点的坐标变换公式的复数求法

在学习点的坐标变换的求法时，表面看起来公式复杂且难记，有的甚至分不清新；日坐标．事实上，当我们学习了复数、向量之后，点的坐标变化就不用死记公式了，下面介绍点的坐标变换的复数求法．复数对应的向量为，P1、P2的坐标为，则有，对应的向量，P点的坐标为，如图1，由此得复数z1乘以z2的几何意义：在复平面内，分别画出z1、z2对应的向量，把．绕坐标原点旋转逆时针，顺时针），再把模变为原来的倍，所得的向量对应的复数就是z1反之，若将一向量的模变为原来的λ倍，再绕其端点旋转角得到新向量，那么此向量所对应的复数就是把原来向…     

揭开“阿波罗尼斯圆”的神秘面纱

<正>在高三数学教学中,在复习《直线与圆》这个章节时经常会遇到一些定点定值类的问题,在这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题,下面我们就来揭开它神秘的面纱.一、阿波罗尼斯圆定义在平面上给定相异两点A,B,设P点在同一平面上且满足PA PB=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.设M,N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗     

向量的分圆弧定理及其应用

我们都知道向量形式的线段分点定理,即P₁,P,P₂三点共线,其中λ和μ都是实数,如果P分P₁P₂(向量)的两段比为μ:λ,则OP(向量)=λOP₁(向量)+μOP₂(向量),λ+μ=1.此定理在求解多边形问题中的应用及其广泛,并且起到十分重要的作用.但是在处理圆相关的问题时,就不太得心应手了,怎样能把这个定理进一步拓展,使其能解决一些圆或是弧的问题?通过线段分点定理猜想到可以给出共圆弧的类似定理,应用所学知识证明定理,实现应用定理.     

定比的一个性质及其应用

已知定点p1（xx,y1）,P2（x2,y2）在直线l：Ax＋By＋C=0外,直线l与直线P1P2相交于点P,若P1p=λPP2,则称λ为直线l分P1P2所成的比．当点P在线段P1P2上时,λ〉0,当点P在线段P1P2的延长线上时,λ〈-1,当点P在线段P1P2的反向延长线上时,     

趣谈定比分点公式的运用

已知有向线段P1P2^→，如果P使P1P^→=λPP2^→（λ∈R，λ≠-1）成立，则称点P按定比λ分有向线段P1P2。若P1（x1,y1),P2(x2,y2)，则P(x，y）=（(x1 λx2)/(1 λ),(y1 λy2)/(1 λ)，本文浅谈它的一些特殊应用．     

圆锥曲线的一组统一性质的探究

定理 已知圆锥曲线C的焦点为F，其对应准线为l，定直线l1垂直于焦点所在的对称轴，过焦点F的直线l2交圆锥曲线C于M，N两点，交直线l1于P点．若M分有向线段PF的比为λ1，N分有向线段PF的比为λ2，则λ1＋λ2为定值．     

构造定比分点解不等式问题

定比分点是高中数学中的一个重要概念:设P1,P2是直线l上的两点,点P是l上不同于P1,P2的任意一点,则存在一个实数λ,使(P1P→)=λ(→PP2),λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比,显然λ具有性质:λ≠0且λ≠-1;点P在线段(P1P2→)上(P为P1P2的内分点)的充要条件是λ＞0;点P在线段P1P2或P2P1的延长线上(P为P1P2的外分点)的充要条件是λ＜0.     

线段定比分点公式的向量形式

对有向线段的定比分点坐标公式及其应用大家都很熟悉 ,而对该公式的向量形式及由此衍生出的系列性质和应用的认识则要逊色得多 .本文试对此作一探索 ,以期抛砖引玉 ,使对定比分点公式的理解更趋完善 .定理 1　设Ｐ1 、Ｐ2是直线ｌ上的两点 ,点Ｐ是ｌ上不同于Ｐ1 、Ｐ2 的任一点 ,且Ｐ1 Ｐ=λＰＰ2 ,Ｏ是此平面内任一点 ,则　　　　ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ21 +λ .上式称之为线段定比分点公式的向量形式 .证明　ＯＰ=ＯＰ1 + Ｐ1 Ｐ ,①ＯＰ =ＯＰ2 + Ｐ2 Ｐ ,②① +② ·λ ,得(1 +λ) ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ2 ,∴ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ21 +λ .当…     

2004年潍坊市高三统一考试数学试题(理工类)

第Ⅰ卷(选择题　共 60分 )一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 已知集合A、B ,给出下列四个命题 :①若a∈ (A∪B) ,则a∈A ;②a∈ (A∩B) ,则a∈ (A∪B) ;③若A B ,则A∪B =B ;④若A∪B =A ,则A ∩B =B .则上述命题中正确命题的个数为A 1　　B 2　　C 3　　D 42 “ 1-x2 >1-y2 是“｜x｜<｜y｜”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3 O为空间中一定点 ,动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足 (OP -OA)· (AB -A…     

利用定比分点证明不等式

我们知道,若设点P分有向线段→P1P2所成的比为λ,则有(Ⅰ)λ＞0时,P内分→P1P2;(Ⅱ)λ＜0(λ≠-1)时,P外分→P1P2;(Ⅲ)λ=0时P与P1重合;(Ⅳ)P与P2重合时,λ不存在.