向量法解决立体几何中的夹角与距离问题

高中数学新教材第二册(下B)中引进了空间向量,用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角.在空间引入空间直角坐标系,为解决立几问题增加了一种理想的代数工具. 下面利用向量法探索立体几何中的夹角与距离问题的新的解题途径. 1利用两个向量的数量积求异面直线所成角 由数量积定义||||cos,ababab=<>rrrrrr得cos,||||ababab<>=rrrrrr,由此便可求出向量,abrr的夹角,ab<>rr, 但要注意,因规定0,ab<>rr 1800,若求出的,ab<>rr是一个钝角,则异面直线所成角是,ab<>rr的补角. 例1如图,已知:直三棱柱111ABCABC-中,90ACB=?30BAC=?1B…     

向量法求空间中的角和距离

向量进入高中教材以来,为立体几何增添了活力.向量所带来的新思想、新方法不断涌现,本文运用向量方法简捷地解决一些立体几何的问题.一、空间角问题1.求两异面直线的夹角设异面直线a、b的夹角为!(0°相似文献   

空间角的向量解法

在立体几何中,涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算,均可归结为求两个向量的夹角.对于空间向量a.b,利用cos     

利用正弦等式求二面角

在高中数学教材第九章——直线、平面、简单几何体中,课本介绍了最小角定理,该定理给出的其实就是一个余弦等式：cosθ=cosθ1&#183;cosθ2,其中θ1角是斜线与平面所成的角（空间角）,而θ与θ2均是（或可转化为）两直线夹角（平面角）,这一等式为我们解决（或应角）空间角θ1的大小问题提供了非常直接和衫的求解途径。     

用向量法解决空间角问题

用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角.在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量,可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具,使几何问题代数化,避免了添加辅助线作二面角的平面角的麻烦.从而提高学生的学习效率.1求两条异面直线所成的角用空间坐标系与向量方法解决夹角问题时,在求两直线的夹角α时,由于两直线的夹角的范围为α∈[0°,90°],可直接求出两直线的方向向量的夹角β,若这两向量所成的角β为锐角或直角时,这两向量所成的角β即为所求的角α(即α=β,如图1),若β为钝角时,所…     

空间角的向量解法

在立体几何中,涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算,均可归结为求两个向量的夹角.对于空问向量a,b,利用cos〈a,b〉=a·b/|a|·|b|这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中角的问题.     

利用空间向量求解有关角的问题

立体几何问题中涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量     

空间向量与立几交汇问题

以立几知识为载体,以空间向量为工具,以考查空间线、面位置关系的论证和空间距离、空间角有关公式及其应用为目标,是近年高考的重要内容,预计这也是2005年高考的热点试题,下面例说其常考题型,以展示构建空间坐标系,通过向量的坐标运算,解决立几问题的思想方法和思维过程,希望能对同学们有所帮助和启示.一、考查空间向量与异面直线成角知识运用向量夹角公式“cos     

二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定

空间向量引入后,用空间向量解决立体 几何中的垂直、平行、共面、角、距离等问 题,可以减少辅助线,避开复杂的空间想象,降 低了解题的难度,求二面角α ?l ? β 的大小问题可以转化为二面角两个面所对应的法向量与法向量夹角的问题,避免了寻找二面角的平面角的麻烦,一般步骤如下: uv v (1)求平面α ,平面 β 的法向量 m,n . uv v (2)求< m,n >的大小. (3)利用二面角α ? l ? β 与其法向量夹角 uv v关系,得出二面角α ?l ? β 的大小为< m,n > …     

直线与平面所成角的新求法

公式：cosθ=cosθ1cosθ2，其中θ1表示斜线与它在平面内射影的夹角，θ2表示此时影与平面内直线的夹角，θ表示斜线与平面内该直线的夹角．     

利用空间向量轻松求解夹角

一求异面直线的夹角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,AE⊥PD于E,PD与底面成30°角.求异面直线AE与CD所成的角.分析:如图1建立空间坐标系.依题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).在Rt△ADE中,∵∠PDA=30°,∴ED=3姨a,作EF⊥AD于F,则EF=3姨2a.在Rt△AEF中,AF=12a,∴E(0,12a,3姨2a).∴cos〈AE,CD〉=AE·CDAECD=2姨4.则异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2姨4.点评:本题关键在于求E点坐标,进而求AE的坐标表式以便应用空间向量的夹角…     

向量的数量积

向量a与b之间的夹角定义为分别等于a和b并且具有公共始点的两个向量之间的夹角(Fig.1).向量a乘以向量b的数量积定义为ab,它等于这两个向量的绝对值与它们夹角的余弦的乘积,即ab=|a||b|cosθ.数量积具有如下可由定义直接推出的性质:(1)ab=ba;(2)a~2=aa=|a|~2;(3)(λa)b=λ(ab);     

向量夹角不可忽视的两个问题

两个向量夹角的定义：已知非零向量a与b,作^→OA=a,^→OB=b,则∠AOB=θ（0&#176;≤θ≤180&#176;）叫做向量a与b的夹角．两个向量的数量积定义：两个非零向量a与b的夹角为θ,我们把｜a｜b｜cosθ叫做a与b的数量积,记作a&#183;b=｜a｜b｜cosθ.     

三余弦公式推论及其应用

一、三余弦公式及其推论三余弦公式:如图1,PO⊥平面α于O,PA∩α=A,ABα,直线AP与AB成θ角,AP与AO成θ1角,AO与AB成θ2角,则有cosθ=cosθ1cosθ2.证明:如图1,作OB⊥AB于B,连结PB,则PB⊥AB,∠PAB=θ,∠PAO=θ1,∠OAB=θ2,设|PA|=1,则|AO|=cosθ1,|AB|=|AO|cosθ2=cosθ1cosθ2,又|AB|=cosθ,所以cosθ=     

利用空间向量求二面角的判定方法

我们常用空间向量的方法求解立体几何的问题,在求解二面角α-l-β的大小时,常采用下面方法:设n₁,n₂分别为平面α,β的法向量,则两个法向量夹角的余弦值为cos〈n₁,n₂〉=（n₁·n₂）/（|n₁|·|n₂|）,进而求出两个法向量夹角〈n₁、n₂〉,而"二面角α-l-β的大小"与"两个法向量夹角〈n₁,n₂〉"相等或者互补.有些时候,题目     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

从向量看空间角

空间角包括线线角、线面角和面面角,本文用向量分析空间角的求法.1.求两条异面直线所成的角两条异面直线所成角的范围:(0,π/2].方法把两条异面直线上的有向线段表示成向量,通过向量转化或建立空间直角坐标系,     

向量在空间中角中的应用

空间中各种角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是难点,借助于向量的夹角公式可以很方便的避开寻找角的过程,而是通过对向量夹角的计算来实现.夹角公式:设→a=(a1,a2,a3),→b=(b1,b2,b3),则a·bcos<→a,→b>→a·→b/|→a||→b|=a1b1 a2b2 a3b3/√a21 a22 a23 √b21 b22 b23.     

巧用法向量解决空间几何问题

一、求空间角1.斜线与平面所成的角先将斜线和平面所成的角转化为两直线所成的角,再转化为向量的夹角.设直线a的方向向量和平     

例谈用空间向量求解立体几何问题

用空间向量可解决立体几何问题有:(1)直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的位置关系等;(2)空间角的计算,空间角即是异面直线所成的角,直线与平面所成的角及平面与平面所成的二面角等;(3)空间距离的计算,通常是点到平面的距离、异面直线间的距离和平行平面间的距离等。空间向量法的关键是建立空间直角坐标系,以便