浅析立几识图创新题

近年来在高考试题与各地模拟试题中 ,立几中有关识图问题出现了许多创新题型 .这类题取材广泛 ,构思新颖 ,趣味性浓 ,入口宽 ,思维量大 ,能较深刻地考查学生的数学基础知识与空间想像能力、观察能力、直觉思维能力、创造性思维能力等 .本文对此作一介绍 ,以抛砖引玉 .1 .射影类此类题从识图角度来考查学生有关的射影知识及观察能力、空间想像能力、直觉思维能力等。例 1　 (2 0 0 0年全国高考题 )如图 ,Ｅ、Ｆ分别为正方体的面ＡＤＤ1Ａ1、面ＢＣＣ1Ｂ1的中心 ,则四边形ＢＦＤ1Ｅ在该正方体的面上的射影可能是图中的(要求 :把可能的图的序号…     

能“割”善“补”速解题

根据已知条件 ,将一个不规则的、较复杂的几何体用截面分割成几个规则的、容易计算的简单几何体 ,或将几何体补成规则的、便于计算的几何体并加以解决的方法叫做割补法 .本文拟介绍几种常见的分割、补形方法 ,供参考 .　　　　　图 11　分割法　　例 1　 ( 1999年全国高考题 )如图 1,在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 ,已知面ＡＢＣＤ是边长为 3的正方形 ,ＥＦ ∥ＡＢ ,ＥＦ=32 ,ＥＦ与面ＡＣ的距离为 2 ,则该多面体体积为 (　　 )(Ａ) 92 　 (Ｂ) 5　 (Ｃ) 6　 (Ｄ) 152 .分析　由条件易知多面体ＡＢＣＤＥＦ为不规则的几何体 ,欲求其体积 ,则可把其…     

解题分析——1999年高考题与学思维(续)

例４　如图２,在多面体ＡＢＣＤＥＦ中,已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形,ＥＦ∥ＡＢ,ＥＦ＝３２,ＥＦ与平面ＡＣ的距离为２,则该多面体的体积为（　　）．Ａ．９２　　Ｂ．５　　Ｃ．６　　Ｄ．１５２（１９９９年理科第（１０）题）讲解：文［１］指出：“第（１０）题的背景是非典型多面体,显而易见是要考查学生对图形的分解、组合与变形的能力,但它蕴涵着运动变化的观点,平行于底面的棱的位置未固定,可作平行移动,一旦平移到特殊的位置———棱ＥＦ的端点处于底面的特定垂面上,图形的分解、组合与变形就很简明了．”由此可…     

例谈培养学生的几种解题意识

数学教学实质上是解题的教学 ,在解题中应学会进行“数学”地思维 .为此 ,须着力培养学生几种解题意识 ,以下举例说明 .1　预测意识“凡事预则立 ,不预则废” ,面对问题要冷静思考 ,要有一定的直觉判断和预见能力 .例 1　 ( 90年全国文科高考题 )如图 1,在三棱锥Ｓ—ＡＢＣ中 ,ＡＳ⊥底面ＡＢＣ ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＤＥ垂直平分ＳＣ ,且分别交ＡＣ、ＳＣ于Ｄ、Ｅ ,又ＳＡ =ＡＢ ,ＳＢ=ＢＣ ,求二面角Ｅ—ＢＤ—Ｃ的度数 .分析　关键在于确定二面角的平面角 ,由直觉感知ＢＤ ⊥面ＳＡＣ ,从而预见∠ＥＤＣ即为所求二面角的平面角 ,无疑就找到了解…     

一道中考题的多解与引伸

20 0 2年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题 :如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ=3 ,ＡＤ =4,Ｐ是ＡＤ上的动点 ,ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ,则ＰＥ ＰＦ的值为 (　　 )Ａ .1 25 　　Ｂ .2　　Ｃ .52 　　Ｄ .1 35该动点题出得灵巧 ,虽以选择题出现 ,但其解题的思维空间十分广阔 ,是培养和考查学生思维能力的一道好题 .本文现提供四种不同的解法 ,供读者参考 .1　特殊法(1 )如图 1 ,令动点Ｐ与Ａ重合 ,则有ＰＥ =0 ,ＰＥ ＰＦ =ＰＦ ,因为ＡＢ =3 ,ＡＤ =4,所以ＢＤ =ＡＢ2 ＡＤ2 =5 ,而Ｓ△ＡＢＤ =12 ＡＢ·ＡＤ =12 ＢＤ·ＰＦ…     

从一道习题的求解培养学生的思维能力

习题的求解是掌握数学知识和进行数学研究的一个重要环节。而思维能力的培养是数学教学的重要任务。在求解习题时 ,分析解题思路 ,使学生了解思维过程和思维方法 ,是培养思维能力的重要环节。下面我们以一个习题为例进行探讨 :已知 :△ＡＢＣ ,∠Ｃ为直角 ,内切圆Ｉ和边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ分别相切于点Ｄ、Ｅ、Ｆ。①求证 :四边形ＣＤＩＥ是正方形②设ＢＣ=ａ、ＣＡ =ｂＡＢ=ｃ,用ａｂｃ表示内切圆半径γ。证明 :　　　　　　　　 　ＩＥ⊥ＡＣ　ＩＤ ⊥ＢＣＩ是Ｒ△ＡＢＣ 内心 　∠Ｃ =90 矩形ＣＤＩＥＩＤ =ＩＥ 正方形ＣＤＩＥ解 :设…     

几何教学要重视直觉思维的作用

直觉思维来源于对事物的观察并由此引发 ,而几何教学是培养学生直觉思维的极好素材 ,教师要充分利用几何图形 ,引导学生观察、猜测图形中存在的性质 ,发展学生的直觉思维能力。例如 ,“如图１,已知∠Ａ ∠Ｅ ∠Ｃ＝３６０°,求证 :ＡＢ∥ＣＤ。”这是一道很简单的几何题 ,但运用它 ,可以发挥培养学生直觉思维的作用。教师可从下面的几个方面引导学生观察与猜测。１ 从Ａ、Ｅ、Ｃ三点位置来看 ,呈三角形 ,这就联想到三角形内角和是１８０°,则可连结ＡＣ。这时 ,要证ＡＢ∥ＣＤ ,只要证明∠ＢＡＣ ∠ＡＣＤ＝１８０°,显然由条件可得出这…     

京津泸粤高考试题新解

1　北京卷题 18　如图 1,在多面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,上、下底面平行且均矩形 ,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等 ,侧棱延长后相交于Ｅ、Ｆ两点 ,上、下底面矩形的长、宽分别为ｃ ,ｄ与ａ ,ｂ ,且ａ >ｃ,ｂ >ｄ ,两底面间的距离为ｈ . 求侧面ＡＢＢ1Ａ1与底面ＡＢＣＤ所成二面角的大小 ; 证明 :ＥＦ∥面ＡＢＣＤ ; 在估测该多面体的体积时 ,经常运用近似公式Ｖ估 =Ｓ中截面·ｈ来计算 ,已知它的体积公式是Ｖ= ｈ6 (Ｓ上底面 +4Ｓ中截面 +Ｓ下底面 ,试判断Ｖ估 与Ｖ的大小关系 ,并加以证明 .图 1解 :　 作Ｂ1Ｅ1⊥ＡＢ于Ｅ…     

一道课本习题的多种证法

义务教材 (人教版 )《几何》第二册 193页 18题 :已知 :ＡＤ是△ＡＢＣ的中线 ,Ｅ是ＡＤ的中点 ,Ｆ是ＢＥ的延长线与ＡＣ的交点 .求证 :ＡＦ =12 ＦＣ .这是一道看似平常 ,却回味无穷的问题 ,在教与学中可从不同角度探究其解法 .简证 1　过Ｄ作ＤＧ∥ＢＦ交ＡＣ于Ｇ点 ,(如图1) ,则 ＣＤＤＢ=ＣＧＧＦ,ＡＥＥＤ =ＡＦＦＧ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =12 ＦＣ .图 1　　　　　　　　　图 2　　简证 2　过Ｄ作ＤＧ∥ＡＣ交ＢＦ于Ｇ(如图2 ) ,则 ＢＤＢＣ=ＧＤＦＣ,ＡＥＥＤ=ＡＦＧＤ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =1…     

关于三角形面积比的一个定理及应用

定理　如右图 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ、ＢＥ相交于Ｆ。若 ＡＥＥＣ =ｍ ,ＣＤＤＢ=ｎ ,则 Ｓ△ＡＢＦＳ△ＡＢＣ=ｍｍｎ ｍ 1 。证明　∵ ＡＥＥＣ=ｍ ,ＣＤＤＢ=ｎ ,则由直线ＢＦＥ截△ＡＣＤ ,利用梅涅劳斯定理得ＡＥＥＣ·ＣＢＢＤ·ＤＦＦＡ=1 ,即ｍ1 ·ｎ 11 ·ＤＦＦＡ     

浅谈思维品质的优化

数学教学的最终目的是提高每个学生的数学素养 ,数学素养的核心是数学思维 .发展思维能力 ,优化思维品质是数学教学的一项中心任务 ,也是素质　　　　　图 1教育的需要 .那么 ,在例题的教学中 ,如何培养学生的思维能力 ,优化学生的思维品质呢 ?下面以一道题目的研究性教学为例 ,谈些浅见 .题目　如图 1,ＰＡ=ＰＢ ,∠ＡＢＰ =2∠ＡＣＢ ,ＡＣ与ＰＢ交于点Ｄ ,且ＰＢ=4 ,ＰＤ =3,则ＡＤ·ＤＣ =.1　一题多解 ,培养学生思维的广阔性、灵活性、独创性现代教学论认为 :实现教学目的一个行之有效的方法 ,是引导学生去“发现” ,去“探究” ,直至…     

圆锥曲线中焦直角梯形的若干性质

圆锥曲线中与对称轴不垂直的焦点弦两端点为Ａ、Ｂ(当曲线是双曲线时 ,Ａ、Ｂ在双曲线的同一支上 ) ,其在对应的准线上的射影分别是Ｄ、Ｃ ,四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ所围成的四边形称之为圆锥曲线的焦直角梯形 ,简称为焦直角梯形 .如图 1,焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,显然有｜ＡＦ｜ =ｅ｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=ｅ｜ＢＣ｜ ,其中ｅ为离心率 .　　　　　图 1性质 1　焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,Ｆ为焦点 ,ＥＦ ⊥ＣＤ于Ｅ ,Ｐ为ＥＦ的中点 ,则Ａ、Ｐ、Ｃ ,Ｂ、Ｐ、Ｄ三点共线 .证明　连结ＡＣ交ＥＦ于Ｐ′(如图 1) ,设｜ＡＤ｜=ｍ ,｜ＢＣ｜ =ｎ ,则｜ＡＦ｜ =…     

一道北京高考立体几何题的错解辨析

20 0 2年全国高考 (北京卷 )的立体几何解答题如下 :图 1　　如图 1,在多面体ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,上、下底面平行且均为矩形 ,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等 ,侧棱延长后相交于Ｅ、Ｆ两点 ,上下底面矩形的长、宽分别为ｃ、ｄ与ａ、ｂ ,且ａ >ｃ ,ｂ>ｄ ,两底面间的距离为ｈ .(1)求侧面ＡＢＢ1Ａ1与底面ＡＢＣＤ所成二面角的大小 ;(2 )证明 :ＥＦ ∥面ＡＢＣＤ ;(3)在估测该多面体的体积时 ,经常运用近似公式Ｖ估 =Ｓ中截面·ｈ来计算 .己知它的体积公式是Ｖ =ｈ6(Ｓ上底面 4Ｓ中截面 Ｓ下底面) .试判断Ｖ估与Ｖ的大小…     

一道竞赛题的推广

题　 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 )　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 (　　 )。(Ａ) 56　 (Ｂ) 45 　 (Ｃ) 34　 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明　设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ…     

多面体欧拉公式的应用

对于一个简单多面体 ,若它的顶点数为Ｖ ,面数为Ｆ ,棱数为Ｅ ,则有Ｖ +Ｆ-Ｅ =2 .这是著名的多面体欧拉公式 .教材对多面体欧拉公式 ,采用了“研究性课题”的学习方式 ,旨在体现对数学公式的发现过程 ,培养学生探究数学问题的学习习惯 .本文进一步谈谈多面体欧拉公式的应用 .例 1　一简单多面体的棱数为 3 0 ,面数为1 2 ,则它的各面多边形的内角总和为 (　　 )(Ａ) 540 0°　　　　 (Ｂ) 6480°(Ｃ) 72 0 0° (Ｄ) 792 0°解　由欧拉公式得　　Ｖ =Ｅ-Ｆ+2=3 0 -1 2 +2 =2 0 ,∴它的各面多边形的内角总和为(Ｖ -2 ) × 3 60°=6480°.故选…     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

一题多解 发展思维──从一道几何证明题谈起

一题多解对发展学生的思维能力,培养学生应用归纳、演绎和类比的方法进行推理,形成良好的思维品质具有积极作用。下面仅以一道几何题的证明为例,说明之。 例：如图,△ＡＢＣ是 Ｏ的内接三角形,ＡＤ是 Ｏ的直径,ＣＥ⊥ＡＤ于Ｅ,ＣＥ的延长线交ＡＢ于Ｆ。 求证：ＡＣ２＝ＡＦ·ＡＢ ｏ 证法一（分析）：所证等积式的三条线段分属两个三角形,只需证明△ＡＣＦ∽△ＡＢＣ即可。∠Ａ＝∠Ａ,根据同弧所对的圆周角相等,∠Ｂ＝∠Ｄ,根据直径所对的圆周角是直角,知△ＡＤＣ为直角三角形。又因为ＣＥ⊥ＡＤ,可推出∠ＡＣＦ＝∠Ｄ＝∠Ｂ,…     

浅谈数学课堂教学中对学生创新意识的培养

新的《初中数学教学大纲》增加了培养学生“逐步形成数学创新意识”这一教学目标。教师在数学课堂教学中如何培养学生的创新意识呢 ?笔者通过几个例题 ,来探讨这个问题。一、解决问题时转换角度 ,培养创造能力例 1　如图 1 ,ＢＣ是⊙Ｏ的直径 ,ＡＤ⊥ＢＣ ,垂足为Ｄ ,ＡＢ=ＡＦ ,ＢＦ和ＡＤ交于Ｅ ,求证 :ＡＥ =ＢＥ。图 1　　　　　　　　　　图 2这一问题的解法很多 ,但是多数学生都是在半圆中考虑辅助线的画法证得图 1中的结论。而在具体的教学中 ,教师还应尽可能地启发学生想出其他方法。例如可采用图 2所示的辅助线方法 ,解半圆为整圆 …     

一题多解培养敛散思维

中学数学教学的重要任务,是培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理和逻辑表达能力,以及数学知识的综合运用能力。而解题方法的研究则是培养上述能力的重要手段,是锻炼学生敛散思维的重要形式。一题多解能有效发展学生思维,激发学生学习数学的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。下面就此作一探讨。例：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。已知：△ＡＢＣ中,Ｃ＝９０°,ＤＡ＝ＤＢ。求证：ＤＣ＝ＡＢ。证法１：如图（１）,设Ｅ为ＢＣ的中点,连结ＤＥ,则ＤＥ为中位线。．ＤＥ／／ＡＣ,ＤＥＢ＝／ＡＣＢ＝９０°Ｄ…     

用补形法解决立体几何问题

几何中 ,常将不太容易计算或不熟悉的图形的某些部分适当地向外延伸或者补加、移位 ,构成一个便于计算或推导的几何图形 ,这就是所谓的补形法 .在教材中 ,推导圆台面积、体积公式就是将圆台补形成圆锥而加以解决的 .例 1　把直角三角形ＡＢＣ沿直角Ｃ的平分线ＣＤ折成平面角为θ的二面角Ａ -ＣＤ-Ｂ ,求ＢＣ与平面ＡＣＤ所成的角 .解　ＣＤ是直角Ｃ的平分线 ,如图 1,可以把直角三角形ＡＢＣ补成两个正方形ＧＦＥＣ和ＣＥＢＨ ,翻折后形成直三棱柱ＧＣＨ—ＦＥＢ ,显然∠ＢＥＦ =θ.作ＢＭ⊥ＥＦ ,垂足Ｍ在ＦＥ或其延长线上 .∵面ＢＥＦ ⊥面…