勾股(逆)定理应用中的易错点

<正>勾股定理的逆定理:若一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形,且∠C=90°.如果已知一个三角形的三条边长,则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形.由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简     

三角形三边关系巧运用

三角形三条边长之间的关系,即"三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边"是三角形的重要性质.有的同学会认为,只要三条线段的长度a、b、c满足条件a+b＞c并且a-b＜c,那它们就可以组成一个三角形.     

三角形三边关系在解题中的应用

<正>一、基本结论1.如果正数a,b,c满足a+b> c,a+c>b,b+c> a,那么以a,b,c为边长能构成一个三角形;反之,若三角形的三边长是a,b,c,那么a+b> c,a+c> b,b+c> a.注利用这一结论解决与三角形三边有关的问题时,通常要说明正数a,b,c满足三个不等式,但在实际解题过程中比较繁琐.其实,当正数a,b,c满足条件a≤b≤c时,只要a+b> c,则可说明以a,b,c为边长能构成一个三角形,即有:     

三正数可作为三角形三边的几个命题

1987年上海市初中数学竞赛第五题及1987年全国数学冬令营竞赛题的第四题均为关于判定三正数是否可作为三角形的三边的问题。本文介绍几个关于三正数可作为三角形三边的命题。命题1 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是 a+b>c,b+c>a,c+a>b(1) 这是大家所熟知的结论,故略去证明。命题2 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是     

三角形三边关系定理的活用

构成三角形的三边的长度是互相制约的 ,不是任意三条线段都可构成三角形的。只有满足三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边的差小于第三边”的三条线段 ,才能构成三角形。灵活运用三边关系 ,可简捷地解决以下两类问题。一、判断三条线段能否组成三角形设三条线段的长为a、b、c且c≥a ,c≥b ,这时显然有c +b>a ,c +a >b ,故当a +b >c时 ,三条线段能组成一个三角形。由此可得到判断三条线段能否组成一个三角形的简易方法 :“三条线段中 ,如果较短的两条线段的和大于最长的第三条线段 ,则这三条线段能组成一个…     

勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.这个定理在平面几何中占有非常重要的地位.现举例说明其应用.     

直觉与猜想（2）

解数学题常从直觉开始.凭直觉得的猜想,具有或然性——猜对了,或者猜错了.这与问题的难易有关,也与各人的数学素养有关.　问题　△ABC的两边a=3,b=4.(1)如果这个三角形是直角三角形,求第三边c的长度;(2)如果这个三角形是锐角三角形,求第三边c的取值范围;(3)如果这个三角形是钝角三角形,求第三边c的取值范围.凭多次解题经验,你可能会毫不吃力地回答:(1)c=5;(根据勾股定理)(2)c<5;(根据三角形中,小角对小边的定理)(3)c>5.(根据三角形中,大角对大边的定理)细心人立即发觉答案(2),(3)有误,应修正为:(2)1相似文献   

做错题以后……

欢欢看着作业本上的红“”,心里不是滋味,于是她拿了作业本来到了乐乐老师的办公室,寻求帮助,以便解开心中的疑团.让我们先看一下,欢欢解的题及她的解法吧!题目已知△ABC中,三边分别为a、b、c,m是大于1的正整数.若a=m2+1,b=2m,c=m2-1,你能判断这个三角形的形状吗?为什么?解这个三角形不是直角三角形.理由∵a2+b2=(m2+1)2+(2m)2=m4+6m2+1,c2=(m2-1)2=m4-2m2+1,∴a2+b2≠c2.∴这个三角形不是直角三角形.欢欢:我不知道这题错在什么地方.书上说“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”,现在这个题目不满足a2+b2…     

浅谈数学解题中的构造思想与方法

为了说明数学解题中的构造性思想与方法 ,我们先看一个例子。例 :a、b、c、d都是正数 ,证明 :存在这样的三角形 ,它的三边分别等于 b2 +c2　a2 +c2 +d2 +2 cd和 a2 +b2 +d2 +2 ab并计算这个三角形的面积。【分析】如果要利用三线段构成三角形三边的充要条件 (三角形不等式 )来制定满足题设条件的三角形的存在性 ,不是容易的 ,再用海伦公式根据三边计算这个三角形面积就更使人望而生畏了。怎么办 ?在这“山穷水尽疑无路”之际 ,只要注意到 b2 +c2 、 a2 +(c+d) 2 、 (a+b) 2 +d2 的特点 ,就会点燃思想的火花 ,考虑利用勾股定理把这三条线段构…     

数学成长日记一则

今天上午第二节是数学课,李老师笑容满面地走进教室.她举起手中的火柴棒,对大家说:我来出一道题:要用15根等长的火柴棒搭成一个三角形,这个三角形的最长边可以由几根火柴棒组成?同学们都陷入了沉思.我的同桌吴颖很聪明,她只想了一会儿,就很快给出了答案.其思路如下:设搭出的三角形的三边分别由a,b,c根火柴组成,由a≥b,a≥c,b+c>a知a+b+c>2a,即2a<15,所以a<152.又a+b+c≤3a,即3a≥15,所以a≥5,于是5≤a<152,故a可取5,6,7,即搭出的三角形最长边可以分别由5,6或7根火柴棒组成.李老师对吴颖的解法给予了充分肯定,并高兴地表扬了她.李老师接着又…     

用代换法证明三角形中的不等式

三角形中的不等式揭示了三角形诸元素之间的不等量关系.三角形中各元素(及内角的三角函数)常可表成 a,b,c 三边(基本元素)的初等代数函数式,因而三角形中不等式的证明一般可转化为初等代数不等式解决.但由于它同时受到构成三角形的条件a+b>c,b+c>a,c+a>b 的约束,因此这类不等式的证明又往往比代数不等式的证明来得困难.我们可以通过代换     

勾股定理的逆定理的应用

“如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形”.此命题称为勾股定理的逆定理.透彻、完整、准确理解上述定理可从如下几个方面:     

巧变形 妙判形

<正>利用勾股定理的逆定理,可以根据三角形的三边判别某三角形是否为直角三角形.在使用该定理时,如果把已知条件适当变形,可以化复杂为简单.一、两边同时平方例1若△ABC的三边a、b、c满足a+b=10,ab=18,c=8,试判别△ABC的形状.析解∵a+b=10,∴(a+b)2=100,∴a2+2ab+b2=100.把ab=18代入,得     

巧妙利用三角形三边关系解题

<正>近几年来,在江苏各地高三模拟试题中,发现一类关于隐含三角形三边关系的题型常常出现,学生很难找到突破口.本文通过几个例题,让大家感受如何挖掘题目中隐含的三角形三边关系.例1已知ΔABC的三边长a、b、c满足b+2c≤3a,c+2a≤3b,则b/a的取值范围为____.思路从题设条件出发,利用三角形的     

三角形与一元二次方程

三角形与一元二次方程的结合是形与数的一种另类结合,它们在知识上的相互渗透常能整合出一些鲜活的题例. 一、求三角形的周长例1 已知三角形的三边长a、b、c满足b+c=8,bc=a2-12a+52.求这个三角形的周长. 析解:由已知条件得,b、c是关于x的一元二次方程x2-8x+a2-12a+52=0的两根.     

三角形的边角关系

一、知识要点回顾 三角形中的边角关系,是研究几何中许多边角问题的基础,在初二几何里,边角关系主要有以下内容: 1.边的关系 (1)三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.(三角形边的关系定理及其推论) (2)直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=c2.(勾股定理) 2.角的关系 (1)三角形三个内角的和等于180°.(三角形内角     

例谈判定三角形形状的方法与技巧

近年来各地的中考和数学竞赛经常出现判定三角形形状的试题,三角形形状的判定是一个综合性较强的问题,大都是应用代数或三角函数的知识把题设条件转化成边与边的关系,再根据几何知识进行判定,且方法灵活具有一定的技巧性,现略举几例解析如下:1配方法例1已知:a,b,c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,试判定△ABC的形状.解析将已知等式变形配方,得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,根据平方的非负性,则a-b=0,b-c=0,c-a=0同时成立.得到a=b=c所以△ABC为等边三角形.2韦达定理法例2已知α是三角形的一个内角,且sinα和cosα是方程2x2-2x+p=0的…     

火柴棒与三角形

用火柴棒搭三角形是同学们并不陌生的游戏 .动一动手 ,不难知道 ,三根火柴棒只能搭成一个三角形 ,不妨记作 ( 1,1,1) ;四根火柴棒不能搭成三角形 ;五根火柴棒可以搭三角形 ,只能搭成一个三角形 ,即 ( 2 ,2 ,1) ;十根 ,二十根 ,三十根 ,甚至四十根 ,五十根……呢 ?肯定能搭三角形 ,能打多少个三角形 ?显然挨个试 ,麻烦并且也不解决数学问题的一般方法 .有无更好的普遍有效的办法解决呢 ?下面我们就这个问题作一下探讨 .一般地 ,设用n根火柴棒搭成的三角形三边是a ,b ,c(a ,b ,c为正整数 ) ,由题意和两边之和大于第三边得b c>a　① ,a b c =n…     

应用因式分解证题1例

题目若a、b、c为三角形的三边,求证:a’一b,一cZ一Zb二<0. 证矿一护一‘2一Zbc 一aZ一(bZ+Zbc+cZ) 一““一(b+c)2 一(二十b+c)[a一(b十。)工 根据三角形中两边之和大于第三边的性质,a一(b十c)相似文献   

因式分解与解三角形

因式分解与解三角形是两个重要内容,在解题时往往需要将这两者有机联系起来,才能相得益彰.一、求三角形的边长例1不等边△ABC的三边长是正整数a,b,c,c又是奇数且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求c的值.解由a2+b2-6a-86+25=0,得(a-3)2+(b-4)2=0.∵a=3,b=4;又∵10.