“三角”不等式的应用(高一)

教材中的定理: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,也称为“三角形不等式”,由此容易得到|a+b|≥||a|-|b||,|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≥||a|-|b||,|a-b|≤|a|+|b|,取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≤0,ab≤0. 利用这些规律解题,常会带来很多方便. 1.求值域例1 函数y=x+1/x的值域. 解因为     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的四大运用

|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|”是高中数学新教材中的一个重要不等式,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具.课本主要介绍它在证明不等式中的应用,而其他方面很少涉及,且何时取等号也未指明,但在高考中却多次考查到.为此本文加以补充并例谈其应用。一、直接运用可以直接运用于证明不等式、求最值、求取     

关于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的证明

对于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|,高中教材的证明如下: ∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,∴-(|a| |b|)≤a b≤|a| |b|,即|a b|≤|a| |b|,(1)又 a=a b-b;|-b|=|6|,由(1)得|a|=|a b-b|≤|a b| |-b|即|a|-|b|≤|a b|,(2)由(1),(2)得|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|.显然上面证明中的(2)的证法不容易想到,本人在教学实践中采用了下面的证法,不但思路自然,且证明过程更为简捷,教学效果好,现提供同行参考.     

谈不等式两则

一、改进一个不等式取等号的充要条件本刊1988年第6期《一个不等式取等号的充要条件及应用》一文中,给出了下面两个定理定理1 不等式|a+b|≤|a|+|b|(a∈R,b∈R)取“=”号的充要条件是ab≥0。定理2 不等式|a|-|b|≤|a+b|(a∈R,b∈R)取“=”号的充要条件是a=b=0或-1≤b/a≤0。     

不等式|a±b|≤|a|+|b|的补充和应用

六年制重点中学高中《代数》第二册中,我们已经接触了重要的不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)。但是,课本中没有指出不等式取等号的条件,因此学生往往忽视了这个问题的作用。本文把上述不等式作一些补充,并举数例说明其用途。定理1 不等式|a+b|≤|a|+|b|当且     

数量积性质|a·b|≤|a||b|的应用

本文主要谈谈平面向量数量积的性质|a·b|≤|a||b|在证明不等式、求函数最值方面的应用。一、证明不等式【例1】已知a_1,b_1,a_2,b_2∈R,求证:     

善于“退”,也是学好数学的诀窍——以“a3+ b3≥a2b+ab2”应用为例

1简单结论 若a,b均为正数,则有 a3 +b3≥a2b+ab2.(1) 这是一道容易的试题,只要作差即可得证,证明过程如下: a3 +b3-a2b-ab2 =(a2-b2)(a-b) =(a+b)(a-b)2≥0. 当且仅当a=b时上述等号成立.我们把它称为结论(1). 2精彩应用 案例1 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学试题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3 =2,证明:a+b≤2.     

短文集萃

绝对值不等式的应用设a、b∈R,则有不等式 (1) |a b|≤|a| |b|,仅当ab≥0时取“=”号。 (2) |a-b|≥|a|-|b|,仅当(a-b)·b≥0时取“=”号。这两个不等式的证明都很简单,从略。它们在解题中有广泛的应用。 [例1] 解不等式:|x lgx|<|x| |lgx|。解:由(1)知仅当xlgx<0对原不等式成立, ∴0相似文献   

一题多变,思维发散——对均值不等式知识点的巩固与练习

<正>1.知识具备x2≥0→(a-b)2≥0→a2+b2-2ab≥0,即:(1)a2+b2≥2ab,注意乘积为定值,平方和有最小值,当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤a2+b22,注意平方和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b时取等号.若a、b∈R+,则有:(3)a+b≥2 ab%姨,乘积为定值,和有最小值,当且仅当a=b时取等号.(4)ab≤(a+b2)2,和为定值,乘积有最大值,当且仅当a=b     

巧用一个结论解竞赛题

结论设实数a、b满足a≥b,则对任意实数x有|x-a|+|x-b|≥a-b,当且仅当b≤x≤a时等号成立.证法1(零点分段讨论法)因为b,a分别是|x-b|和|x-a|的零点,于是分三种情况讨论:(1)当xa-b;(2)当b≤x≤a时,|x-a|+|x-b|=(a-x)+(x-b)=a-b;(3)当x>a时,|x-a|+|x-b|=(x-a)+(x-b)=(a-b)+2(x-a)>a-b.综上,对任意实数x有|x-a|+|x-b|≥a-b,当且仅当b≤x≤a时等号成立.     

利用不等式取等号的条件来解题

有些问题利用不等式取等号的条件很容易获得解决。我们先列出几个常见的不等式,然后举例说明之。①a_1 a_2 … a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/2),(a_i∈R~ ,i=1,2,…,n)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。② a~2 b~2 c~2≥ab bc ca,(a,b,c∈R)当且仅当a=b=c时取等号。③ a_i,b_i∈R,=1,2,…,n,a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≤(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时取等号。④ |a±b|≤|a| |b|,(a,b∈R)上式中取加号时不等式取等号的充要条件为ab≥0;取减号时,当且仅当ab≤0时取等号例1 如果四边形ABCD的边a,b,c,d满足a~4 b~4 c~4 d~4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状。解据不等式①得 a~4 b~4 c~4 d~4≥     

用复数方法解更简单

读贵刊94年第六期郭友明先生《一竞赛题的图象解法》一文,很受启发。但本人认为,此题用复数不等式解更简单。 注意到:对于复数a,b有|a|-|b|≤|a-b| 当a,b辐角相等且|a|≥|b|时,等号成立。     

利用|a·b|≤|a|·|b|巧解数学竞赛题

向量的数量积是两个向量间的一种乘法运算,数量积隐含着一种不等量的关系,即|a·b|≤|a|·|b|,而这种不等量的关系可用来证明不等式.解决此类问题的基本方法是构造法,因此解题的关键是从所证不等式的结构和特点出发,巧妙构造向量.     

一类绝对值方程的简便解法

根据绝对值的运算性质,|a b|≤|a| |b|当且仅当 ab≥0时等号成立.利用这一简单性质解一类绝对值方程,可避免繁琐的分类讨论,使问题得到巧解.例1 已知|2m-11|=|m-3| |m-8|,求 m的值.(北京师院出版社《初中数学竞赛专题精讲》P_(43)例4)     

巧用向量法证明不等式

在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如|a b|≥|a|-|b|,|a b|≤|a| |b|;a·b≤|a·b|≤|a|·|b|等.其中数量积的定义及其坐标表示用得最多,如何运用它们解决实际问题呢?请看下面几例.     

向量数量积的两个简单性质及其应用

<正>向量的数量积有两个简单而又有趣的性质,利用它们可以轻松地解决某些问题,下面就此作一些介绍.性质1(数量积不等式)|a·b|≤|a||b|.证明设向量a,b的夹角为θ,则|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|.由于0°≤θ≤180°,故当且仅当θ=0或θ=180时,取"=".当θ=0°时,a·b=|a     

一道绝对值问题的多角度思考

绝对值是一个重要概念,细细思考,规律多多.①|a-b|的几何意义使得问题的处理简明快捷,②函数y=|x-a_1| |x-a_2| … |x-a_n|的图象让问题处理直观明了,③运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|求最值,易于理解.     

高考不等式基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求学生:1理解不等式的性质及其证明;掌握简单不等式的解法;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.2掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用.3理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.下面介绍高考不等式基础试题考点及解析.考点1　均值不等式定理简单应用例1　(1999年全国高考题)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:运用均值不等式求和的最小值或积的最大值时,必须具备三个条件:各数为正;和或积为定值;等号应能成立.解:由均值不等式定理得ab=a+b+3≥2ab+3.即(ab+1)(…     

应用a b≥2(ab)~(1/2)中的常见错误

不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0.     

活用向量工具 巧证不等式

在新教材向量部分的知识中,有一些向量不等式,例如:设 a,b 为两个非零向量,则有三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|;数量积不等式:a·b≤|a·b|≤|a|·|b|和 |a|~2≥(a·b)~2/(|b|~2),当且仅当 a 与 b 共线(同向或反向)时,等号成立。我们可以借助这些向量不等式来解决一些具有相似结构特征的代数不等式问题,其中数量积的定义及其坐