妙用函数奇偶性解题

函数的奇偶性不只给函数的作图和研究函数的其他性质带来方便,而且在解题中还有奇妙的作用。 [例1] 已知:实数x,y满足(3x+y)~5+x~5+4x+y=0。求证:4x+y=0。证明:已知的等式即是(3x+y)~5+3x+y=-(x~5+x), ①设f(x)=x~5+x,则①式化为f(3x+y)=-f(x)。显然,f(x)是奇函数,从而由上式得f(3x+y)=f(-x)。②又f(x)在R上单调上升,且对应法则f是R到R的一一对应,故②式等价于3x+y=-x。∴ 4x+y=0。 [例2] 解方程     

一类函数图象对称性的探究

一、提出问题先看下列两道函数奇偶性判断题:(1)y=(2~x-1)/(2~x+1);(2)y=1/(2~x+1)-(1/2).解答很简单,应用奇偶性定义和指数运算性质即可判断它们都是奇函数.如果把第(1)题的函数看成指数函数f(x)=2~x与分式函数g(x)=(x-1)/(x+1)的复合,即y=g(f(x)),那么就可以提出许多问题,如:指数函     

妙用不等式“A/x+B/y≥(A~(1/2)+B~(1/2))~2/(x+y)”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值:题目1已知x,y∈R~+,且1/x+4/y=1,求4x+9y的最小值;题目2已知x,y∈R~+,且2x+9y=5,求2/x+1/y的最小值.此类最值,我们老师采用如下方法,以题目     

不单调问题的解题思路

不单调是近几年的创新考点,题目往往以导数为载体,解题中分类讨论,转化思维,数形结合等思想方法有着广泛应用.为此特举例分析不单调问题的解题思路,供同学们学习时参考.题目(2009年浙江高考理科22题)已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1(k∈R).设函数p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.思路1利用"p(x)在(0,3)上不单调p(x)在(0,3)上有极值点"直接求解.     

喂,定义域呢?——忽视定义域致误种种

定义域是函数的“灵魂”,是研究函数的基础.举凡函数解析式、值域、最值、单调性、奇偶性、函数图象等,无不以定义域为前提加以讨论.可以说,凡是研究与函数有关的问题,都必须考虑函数的定义域,其重要地位由此可见一斑.在解题过程中若忽视定义域这个重要条件,将导致错误.现就忽视定义域情形作一剖析,以飨读者.1.求函数解析式例1已知f(x)=|x|,x∈[-1,1],求y=f(x+1)+     

探究题的解答方法与技巧

由给定的已知条件探究相应结论 ,或由给定的结论反溯具备的条件 ,或者有意改变已知条件或结论的某个部分考查整个命题会产生什么变化等等 ,这种题型通常叫做探究题。解答这类题常用代入法、消元法、特例法、反证法、数形结合法等。例 1.已知方程组 3x2 + 5 y2 =15y=mx 的一组解为x=α,y=β;方程组 3x2 + 5 y2 =153x- 5 my=0 的一组解为 x=γ,y=δ。当 m变化时 ,α2 + β2 + γ2 + δ2的值是多少 ?解 :由已知得 3α2 + 5β2 =15 ,β=mα,解得 α2 =15 / (3+ 5 m 2 ) ,β2 =15 m2 / (3+ 5 m2 ) ;再由 3γ2 + 5δ2 =15 ,3γ- 5 mδ=0 ,解得 γ2…     

高考导数试题的巧妙解法

<正>全国新课标试卷把函数导数试题作为压轴题,从近年的高考试题可以看出考查不等式恒成立求参数范围的题型较多,基本每题都设计分类讨论,但是分类讨论对学生来说是弱项,鉴于此情况,本文介绍一种巧妙的解题方法.2013年新课标试卷(1)21题:已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都通过点P(0,2),且在点P处有相同的切线     

一道高考题的解答探究与推广

题目 (2016年全国卷二理科12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1/x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则m∑i=1(xi+yi)=(). (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 1 一题多解 本题条件中f(x)(x∈R)为抽象函数,且满足f(-x)=2-f(x),而题目要求我们求y=f(x)与y=x+1/x交点横坐标与纵坐标的和.那么我们就要弄清它们交点之间的关系,显然y=x+1/x这个反比例型函数自身关于点(0,1)中心对称,这时我们就要由f(x)(x∈R)的条件f(-x)=2-f(x)判断其是否也关于点(0,1)中心对称,这样就必须熟悉抽象函数的对称性.基于选择题的特点,那么方向不外乎两个:一是利用两函数的对称性理论求解;二是利用选择题答案的唯一性可构造特殊函数求解.     

最值问题解法探究

<正>在高中数学中,经常会遇到最值问题,其出现的频率很高,解法也多种多样,处理这类问题,一定要具体情况具体分析。本文将对处理这类最值问题的解法用实例来进行讲解。1.利用已知函数性质求最值已知函数解析式,直接利用已知的基本初等函数的性质(最值、单调性、奇偶性)是函数法的主要类型之一。例1函数y=cos2x+2cosx的最小值是____。解析:因为y=cos2x+2cosx=2cos~2x     

例说数学解题时信息的获取和运用

题目已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的折线．当n≤y≤n 1(n=0，1，2，…)时，该图象是斜率为6n的线段(其中正常数b≠1)，设数列{xn}由f(xn)=n(n=1，2，…)定义.     

一类分段函数解析式的求法

若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同 ,可用几个式子来表示函数 ,这种形式的函数叫分段函数。已知一个分段函数在某一区间上的解析式 ,求此函数在另一区间上的解析式 ,这是分段函数中最常见的问题。由于给出条件的不同 ,常有如下一些题型。1　分段函数关于直线对称的情形例 1　设函数 y =f(x)的图像关于直线x =1对称 ,若x≤ 1时 ,y =x2 +1。求x >1时 f(x)的解析式。解　设x >1 ,则 2 -x <1 ,由已知条件 ,得f( 2 -x) =( 2 -x) 2 +1 =x2 -4x +5。因为函数y =f(x)关于x =1对称 ,故 f(x) =f( 1 -(x -1 ) ) ,即 f(x) =f( 2 -x) ,所以当x >1…     

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…     

函数奇偶性在解题中的运用

函数奇偶性是函数的主要性质,在解题中运用很广泛,现就常见的几种类型举例如下: 一、利用奇偶性求值例1 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,求f(2)的值. 解:∵定义域为R,设g(x)=x5+ax3+bx,因g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-g(-x).     

《经济数学基础》(旧教材)期末复习指南

一、复习内容简介第一章 函数理解函数概念,记住基本初等函数的性质.会求y=(4-X)~(1/2)/ln(x_1)的定义域,判断y=e~x-e~(-x)/z的奇偶性,已知(x)=x+1/x,求f〔f(x)〕.     

数学建模在解题中的应用

“建模法”是依据题目的条件和结论的特征 ,类比联想相关数学知识 ,选择恰当的数学工具构造出新的适当的数学关系 (如公式、方程、函数或图形等 ) ,通过对这些数学关系的研究得到解题的思路 ,从而达到解题的目的。它是一种使原来的问题情景转化为易于解决的问题情景的解题方法。“建模法”常常能打破解题常规 ,另辟蹊径 ,获得简捷、明快、精巧的解答 ,对于培养学生思维的独创性有深远意义。一、构造函数1.利用函数的单调性例 1.已知 x,y∈ R,且 2 x+ 3y>2 -y+ 3-x,求证 x+ y>0。证明 :作函数 f(x) =2 x- 3-x,因为 y=2 x 为增函数 ,y=3-x为…     

函数方程问题的求解策略

函数方程即以函数为未知数的等式。这类问题自在 2 0 0 1年全国高考试题中首次出现以来 ,又在 2 0 0 2年北京高考卷中出现 ,不能不引起我们的充分重视。解此类题方法灵活、技巧性强 ,体现了能力立意的高考命题思想。本文通过例题探讨解决这类题目的一些基本策略。1　巧取特值这种方法是根据函数对定义域内的任何一个值都满足函数方程 ,因此可在定义域内取某一特殊的值。这种方法在函数方程问题里面应用最为广泛。例 1　已知对x、y∈R都有xf( y) +yf(x) =(x +y) f(x) f( y) ,求f(x)。解　令x =y=1 ,则 2 f( 1 ) =2 [f( 1 ) ]2 ,∴f( 1 ) =0…     

点击分段函数

分段函数是指自变量在不同的取值范围内 ,其对应法则也不相同的函数 .分段函数是一类表达形式特殊的函数 ,是学生学习函数的重点之一 .新教材中分段函数出现在函数的表示法一节 ,其中分段函数占了此节例题、练习、习题的三分之二强 ,可见新教材对分段函数的侧重 .近年高考与分段函数有关的题目也不断出现 .在本地区 2 0 0 3学年第一学期高一期末数学评估试卷B(普高 )中有一道关于分段函数的简单解答题 ,题目如下 :已知函数 y =f(x)的图象如图 1所示 .求 :(1 ) f(x)的解析表达式 ;(3分 )(2 ) f(x)的反函数f- 1(x) .(3分 )根据对高一 60 0多…     

一类二元最值问题的一般解法

<正>已知Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(≤0),求目标函数z=f(x,y)的取值范围或最值,这类问题在近几年竞赛和高考题中频繁出现.本文通过实例从三角换元的角度探讨此类问题的解法.例1已知实数x、y满足2x2-2xy+y2=1,则x+2y的取值范围为.     

中考函数图象选择题的解法

函数图象选择题在近几年的中考试题中经常出现。由于这类题目常把与系数有关的一个或几个函数图象统一在同一个坐标系中 ,解答时要根据图象的位置和函数的性质进行综合分析判断。因此 ,此类问题的解答有一定的难度 ,现以近年来中考题为例简析其解法。一、直接分析法如果函数解析式中所含的参数满足某关系式(或图象 ) ,那么可通过参数所在关系式 (图象 )进行分析、推理来确定选择题的图象。　　例 1 .已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0 )的图象如右图所示 ,则直线 y=ax+b与双曲线y=abx在同一坐标系中的位置大致是 (　　 )。(2 0 0 1年山西省中考…     

用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …