完美正方形

把一个矩形(或正方形)剖分成大小(规格)不同的正方形问题称为完美剖分问题,能够被完美剖分的矩形(或正方形)则称之为完美矩形(或正方形)。 早在1923年波兰利沃夫大学的鲁齐维茨教授曾首先提出完美矩形的存在性问题。     

对正方形剖分问题的探究

将一个正方形剖分成若干个互不重叠的小正方形称为正方形的剖分,这类题目在各种竞赛中经常出现。本文通过探究一道“新希望杯”竞赛试题,总结正方形剖分问题的解决方法。     

探索完美正方形——创新图案设计

用一些完全不相等的小正方形拼成一个大正方形，你行吗?数学上把若干个互不相等的小正方形拼成的大正方形称为完美正方形。别以为作出这样的正方形是一件易事．实际上，直到本世纪30年代，还没有一个人能够作出一个完美正方形来．甚至有些数学家断言：根本不存在这样的正方形。     

探索完美正方形——创新图案设计

用一些完全不相等的小正方形拼成一个大正方形,你行吗?数学上把若干个互不相等的小正方形拼成的大正方形称为完美正方形.别以为作出这样的正方形是一件易事.实际上,直到本世纪30年代,还没有一个人能够作出一个完美正方形来.甚至有些数学家断言:根本不存在这样的正方形.难道真的不存在完美正方形吗?60年前英国剑桥大学的4个大学生塔特、斯东、史密斯、布鲁克斯不相信这一点,他们在学生宿舍里一次次地聚会、探讨着解题的途径,寻找着完美正方形.但是临到毕业,4个年轻的大学生还是没有找到一个完美的正方形.以后,他们各奔东西,但仍然锲而不舍地…     

巧拼正方形

我们知道,正方形是一种很简单的图形,它有相等的角,相等的边,相等且互相垂直平分的对角线,它是对称轴比任何四边形都多的轴对称图形,它还是中心对称图形.完美的正方形对于研究其他图形(如在证明勾股定理中的应用)或在生产、生活中,都获得了人们普遍的喜爱和广泛的应用.怎样才能把一个任意多边形改拼成为一个与它面积相等的正方形呢?这的确是一个趣味无穷的问题,也是社会生产实践中经常要面临的一个课题.我们先来看看如何把一个三角形改拼成与它面积相等的矩形.如图1,在△ABC中,分别作AD⊥BC,MC⊥BC,NB⊥BC,交△ABC的中位线EF或其延…     

正方形中的计算问题

在所有的四边形中,正方形无疑是最完美的四边形。它不仅是轴对称图形,同时还是中心对称图形,既具有矩形的一切性质,又具有菱形的一切性质,是矩形和菱形的"完美化身"。正方形的这些性质为我们解答正方形有关的计算问题提供了便利。下面举例说明。     

矩形的覆盖

本文将用到下列一些术语: ① a×b矩形:指一个长为a,宽为b的矩形. ②完全覆盖:如果有限个正方形恰好拼成一个矩形(既不重叠,也无间隙),则称该矩形可以被这些正方形完全覆盖,而这些正方形称为覆盖正方形. ③等形覆盖:如果一个矩形可被有限     

边长为整数的正方形剖分成整边直角三角形最少个数问题

文[1]指出:(边长为整数的)正方形剖分成整边直角三角形最少个数5能否再小,人们尚不得知。其实,正方形剖分成整边直角三角形最少个数只能是5,不能再有更少个数的剖分。     

左Kaprekar数和右Kaprekar数

文[1]曾介绍:1976年,有人创下了正方形边长为48的边长最短正方形的整边直角三角形剖分,剖分的个数是7(见图1)。 那儿的条件是各三角形形状完全不同。若条件稍放宽,便能将正方形的边长大大缩短。     

尺规作图三大不能问题

利用直尺和圆规(以下简称“尺规”)可以将任意角二等分,那 么利用尺规将一个任意角三等分可以吗?你能作出一个立方体,使 它的体积等于一已知立方体体积的二倍吗?利用尺规我们还可以 作正方形和圆,那么能否求作一个正方形,使它的面积等于一已知 圆的面积呢? 这三个由尺规作图引出的问题,便是著 名的古典难题,即立方倍积问题、三等分角 问题和化圆为方问题,它们被称为几何三大 难题.它的历史可以追溯到公元前5世纪,首 先由古希腊雅典城内一个包括各方面学者 的智者(明辨)学派提出的,其后许多有名的 学者都曾致力于这三个问题的研究,虽然借 …     

从一个恒等式谈自然数方幂和的问题

在数列求和中我们知道由此我们发现有如下的此恒等式的证明是容易的，有趣的是《美国数学月刊》（第3792号征解问题，45卷6-7号）曾给出了一个几何证法．原题为征解问题我们将一个正方形划分成为n~2个单位正方形，象一个国际象棋盘，棋盘上任意两条水平线与任意两条竖直线都形成一个矩形．如果我们把正方形也视为一种特殊矩形，并规定每个矩形的宽度Ь小于或等于它的长度a，显然存在一个宽度为n的矩形，即原来的正方形，试证存在2~3个宽度为n-1的矩形，3~3个宽度为n-2的矩形，…，n~3个宽度为1的矩形．证用沿着同一直线的n-k个单位正方形去…     

因式分解中的数形结合思想

我们知道,因式分解可以用矩形纸片拼成的图形面积来解释.例如,ma mb mc=m(a b c),它可以由三个小矩形拼成的一个大矩形来形象地解释又(如如图,公1)式.a2-b2=(a b)(a-b),可以由边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形的图形,剪拼成一个长为a b,宽为a-b这的种矩矩形形来拼解     

平面几何中“四边形”重点知识分析

一、内容分析１．四边形一章讲了两类主要内容，一是平行四边形，二是梯形。平行四边形是这一章的重点知识，平行四边形还包括特殊的平行四边形，即矩形、菱形和正方形，从定义开始就要搞清它们的内在联系和区别。２．研究平行四边形和特殊的平行四边形的性质，要从特殊和一般的关系上去研究。正方形具有矩形、菱形的一切性质，再加上它本身的特殊性质。矩形和菱形都分别具有平行四边形的一切性质，再分别加上它们本身的性质。（１）对边平行（２）对边相等（３）对角相等（４）对角线互相平分矩形性质（１）具有平行四边形的一切性质（２）…     

举一反三、探索新题

有这样一道操作题:将6×4(单位:厘米)的小方格矩形纸,沿着格线剪去一个正方形后,剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等,而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等,那么剪去的正方形边长是多少?怎样剪法(试举一例)?分析与解因为矩形纸的面积是24平方厘米,周长是20厘米,据题意剪剩下来的新图形的周长应是24厘米,面积应是20平方厘米.所以剪去的正方形面积应是(24-20=)4平方厘米,可见这个正方形的边长是2厘米.由图1所示,剪去的正方形不可能剪在矩形纸的角上,因为剪剩下来的新图形的周长没有增加4厘米,所以剪去的2×2的…     

寻找完美正方形

所谓完美正方形是指用若干个互不相等的小正方形拼成的大正方形。用多少个互不相等的小正方形才能拼成一个大正方形呢?你会拼吗?     

化曲为直 让思维插上翅膀——《圆的周长》教学实录

【教学内容】北师大版六年级上册第11~12页。【教学实录】一、问题引入师:(出示一个正方形)请同学们用手在空中描出它的周长。(板书:周长)师:设它的边长为a,它的周长是多少?生:4a。师:由此我们发现,正方形的周长是边长的几倍?生:4倍。(课件出示:正方形内有一个最大的圆)师:请大家想一想,这个圆与正方形有什么关系?     

数学中的折纸

折纸的对象往往是一块正方形的纸张 ,因为它与矩形和其他四边形相比 ,有四条对称轴 .虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴 ,但他们又缺少正方形所拥有的直角 ,这就在制作上造成了较大的困难 .有时人们也用其他的纸张作为折纸的开始 ,但纯粹从正方形开始的作品是不用胶水和剪刀的 .折纸的对象被创造出来后 ,留在正方形的纸张上的折痕 ,揭示出大量几何的对象和性质 :相似、轴对称、中心对称、全等、相似形、比例以及类似于几何分形结构的迭代 (在图案内不断地重复图案 ) .折纸的过程也极具启发性 :人们开始用一个正方形 (二维物体 )的纸张来折…     

用“Δ”法探究一类存在性问题

<正>对中考题仔细推究,有利于把握它的基本规律并指导解题实践.这里用二次方程根的判别式法对两道中考"矩形存在性问题"进行探究.1、试题解析题1(2004温州)(1)对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你的理由;(2)当实数m为什么值,对于任何一个矩形C,都存在另一个矩形,它的周长与面积都是矩     

数学之美——正方形中考题赏析

正方形是“完美的四边形”,涉及正方形的中考试题给人以美的享受,现举例说明如下.一、动手实验———操作题例1(2004年杭州市中考题)给出一个正方形,请你动手画一画,将它剖分为n个小正方形.那么,通过实验与思考,你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是.分析先从n可取的较小值进行画图实验,如图1.图1可见,这样的n可以取的所有值应该是:n=4或n≥6的自然数.说明本题也可填“n≥4且n≠5的自然数”.当然,严格来说这只是一个猜测,它还需要证明.实际上,结论是可以证明的,请同学们自己思考.二、纸片折叠———计算题例2(2004年浙江省衢州市中考题)…     

折出来的数学

试着不用任何辅助工具,仅用纸折叠出各种各样的几何图形。折叠正方形在几何学中,正方形是4条边相等和4个角相等的四边形,或者说它是4条边都相等的矩形。请你用图1的正方形折出4个大小不同的正方形,说出你的折叠方法。折叠邮票如图2所示,6张大小相等的邮票组成了一个2×3大小的长方形。沿着邮票的边缘(锯齿)处折叠可以折出很多种上下组合。这里给出了4种组合,请问其中哪一种是不可能折成的?最后折出来的邮票朝上朝下都没有关系。