三角代换法

三角代换是换元法的一种,某些代数问题在一定条件下完全可以转化为三角问题,从而简化运算过程,使解法耳目一新.它的基本思路是,依据代数式的结构特征,运用一些基本三角公式,把代数问题转化为三角问题进而灵活运用三角知识求解.这种方法可以称之为三角代换法,这种代换常有以下几种形式:     

浅谈三角代换在解题中的应用

在解题过程中 ,常会遇到一些表面虽与三角无关 ,但通过三角代换 ,若能将待解决的问题化为三角函数问题 ,再借助三角函数的性质及常用的处理技巧 ,往往能简便地使这些问题得到迅速的解决。三角代换的常见题型与应用技巧列举说明如下 :1　利用正、余弦函数的值域化无理代数式为三角函数式对含有无理根式 ,且根式内为ｘ的一元二次多项式的函数问题 ,常可利用正、余弦函数代换 ,将无理根式化为某个角的三角函数式 ,使问题简便获解。例 1　求函数 ｙ =ｘ 1 -2ｘ -ｘ2 的定义域和值域。解　由 1 -2ｘ -ｘ2 ≥ 0 ,得定义域ｘ∈ [-1 -2 ,-1 2 ],∴…     

谈三角代换解题

变量代换是解数学题的一种重要策略 ,其中三角代换更是有着广泛而灵活的应用。它能使问题得到巧妙的转化 ,起到化繁为简、化难为易的作用。若运用得法 ,往往能收到事半功倍的效果。1　求最值例 1　已知 x21 6+y29=1 ,求u =x2 +2xy +y2 的最值 ,及相应的x ,y的值。解　据已知 ,可令x =4cosθ,y =3sinθ(θ∈R) ,则u =1 6cos2 θ +2 4sinθcosθ+9sin2 θ=72 cos2θ+1 2sin2θ +2 52 =2 52 sin( 2θ +φ) +2 52 ,其中cosφ =2 42 5 ,sinφ =72 5 ,且 0 <φ <π2 。由此可得 ,cos φ2 =721 0 ,sin φ2 =21 0 。当sin( 2θ +φ) =1时 ,取 2θ+…     

三角代换的解题功能

三角代换在解题过程中显示着特殊作用 ,本文结合实例介绍几种常见的功能 .1　简化功能有些具有多种解法的题目 ,用三角代换可以去掉根号、减少变元、简化结构、缩小计算量、简化或避免复杂的讨论等等 ,从而化繁为简、化难为易 ,使问题简捷获解 .例 1　求函数 y=x- 1 + 5- x的最值 .析与解　由于 y与 y2同时取得最值 ,故将原式两边平方 ,利用二次函数可求得结论 ,但此法繁琐 .用三角代换可得下面优解 .由 x- 1≥ 0 ,5- x≥ 0 ,得 1≤x≤ 5,0≤x- 1≤ 4 .设 x- 1 =4 sin2 θ( 0≤θ≤ π2 ) ,则y=x- 1 + 5- x=4 sin2 θ+ 5- ( 1 + 4 sin2 θ)=…     

用三角代换解竞赛题

数学竞赛中的某些代数问题用代数方法求解较为复杂，若能根据题目条件与结论的结构及内在特征，恰当地进行三角代换，往往能化繁为简，化难为易．     

探析解几知识交汇点侵进解题能力新提升

解析几何是高中数学的重点内容，近几年高考解析几何多以综合题形式出现，通过解析几何与相关知识的交汇，考查基础知识、基本技能和基本方法的运用，尤其是数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等较高层次的数学思想及思维能力,特别是课程改革后教材新增加了向量、导数等新知识，在考试命题的导向上发生了变化，解析几何与向量、导数等知识交汇点上命题得到青睐。知识的沟通、联系与应用成为热点问题．因此复习中要根据新的考试大纲要求，突出在知识交汇点上做文章，提高分析问题、解决问题的能力．     

三角运算中的常值代换

常值代换是中学数学中的常用解题技巧,在三角运算中更为常见.三角式中出现的常数为1、、 .为解题需要,常构造出相应的三角式予以代换.1.1的代换在三角运算中,1的代换内容丰富,主要有:①1=sin2α+cos2α;②1-tanπ/4;③1=2sinπ/6=2cosπ/8;④当m≠0时,1=m/m.     

应用三角代换解题

我们知道,换元法是一种重要的数学思想方法.在解题过程中恰当地换元可以起到化繁为简、化难为易的作用.三角代换实质上是一种特殊的换元法,是用三角函数来代换某些代数式,以达简化运算的目的.     

发掘数式结构特征、利用正切代换解题

在处理有些数学问题时,我们可以从考虑条件式与结论式的结构特征入手,发掘隐含信息通过恰当地正切代换,将代数问题化为三角问题求解,往往能起到化难为易,化繁为简的效果,且对提高学生的综合解题能力很有益处.本文通过一些典型例题,阐述如何发掘数式结构特征,利用正切代换解题,仅供参考.     

变量代换在解题过程中的应用

<正> 变换是解决数学问题的重要途径.通观中学数学教材,变换方法无处不在,其中变量代换是常用的方法.令式g(x)为变量t,通过代换,得到便于求解的新问题,解出新问题后,再由逆映射求得原问题的解,换元过     

在解题教学中注重数学思想的运用

等价转化思想，是解决有关数学问题时经常运用的思想．主要类型为，将未知问题转化为已知问题和将复杂问题转化为简单问题．     

联想 类比 三角代换

联想是人类思维活动中最神奇的一部分,它与创造性思维活动有着千丝万缕的联系.其中把所要解决的问题与已有知识和经验进行类比是联想的一种基本形式.三角代换是以联想为切入点的,是数学解题中常用的方法.本文就如何根据题给形式和条件联想到三角形式,并进行类比而后产生三角代换,以及代换后的角的范围的确定等方面加以剖析.     

一道三角题的解法分析

题 :　已知α、β为锐角 ,且ｓｉｎ(α +2 β) =2ｓｉｎα,求角α的最大值 ,并求此时ｔａｎ(α +β)的值。这是南充市 8所重点中学 ,高中 2 0 0 2级第一次联考第 1 9题 ,试题遵循了“能力立意、强调综合、重视数学思想和方法考查”的高考命题原则 ,是整套试卷的把关题之一。现就它的解法作些分析并给出更一般性的结论。1　突出通法 ,获得结论直接展开求含ｔａｎα的三角函数的解析式 ,运用万能公式化简 ,利用基本不等式求α的最值。由题设知　ｓｉｎ(α +2 β) =2ｓｉｎα ,∴ｓｉｎαｃｏｓ2 β +ｃｏｓαｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα ,∴ｃｏｓα…     

提高解题速度的几种策略

试题解答必须有速度要求,速度问题应引起我们的高度重视。一代解题研究宗师波利亚认为“解题”是培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位,美国数学教师联合会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度。要想加快解题速度,提高解题能力,我们必须掌握一些对     

三角代换在解题中的应用

<正>数学中,三角代换是一种重要的方法,其在研究函数的有关性质、不等式的相关证明以及在各种化简求值中的应用都比较广泛.三角代换实质上是一种转化思想,即化所求为已知,化陌生为熟悉,化难为易,化繁为简,从而达到优化数学解题的过程.当然,我们还要注意三角代换的整个过程,要保证代换的等价性.一、在函数中的简单应用【例1】求函数y=槡x-4+槡15-3x的值域.分析:由4≤x≤5,化[4,5]为[0,1],可设x=4+     

解题中的搭桥策略

搭桥就是结合题设 ,通过构造元件、模型等 ,建立起能够通往解题目标的桥梁 ,这样只需针对桥梁进行施工运作 ,就能使问题获解 .搭桥策略是数学解题中的重要思想 ,合理搭桥 ,可机智转向 ,创设新意 ,从迷茫的思绪中清理出一条明晰的主线 ,化繁为简 ,变难为易 .1　函数搭桥　活用性质函数思想 ,搭桥应用 ,单调奇偶 ,灵活运用 .例 1　若 (ｌｏｇ2 3) ｘ - (ｌｏｇ53) ｘ ≥ (ｌｏｇ2 3) - ｙ -(ｌｏｇ53) - ｙ ,则 (　　 )(Ａ)ｘ- ｙ≥ 0　　　 (Ｂ)ｘ ｙ≥ 0(Ｃ)ｘ - ｙ≤ 0　　　 (Ｄ)ｘ ｙ≤ 0 .分析　若用常规的方法解不等式 ,难有作为 ,观…