微分中值定理证明中的辅助函数

本文阐述了用辅助函数证明拉格朗日中值定理的重要性,并得出两个结果: ①证明拉格朗日中值定理的辅助函数为:4(x)=[f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))x]+C;证明柯西中值定理的辅助函数为:相似文献   

活用“两根式” 巧解不等式

对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),如果方程f(x)=0的两个实根为x1,x2,那么二次函数f(x)可写成f(x)=a(x+x1)(x-x2),这就是二次函数的“两根式”.灵活地运用二次函数的两根式,可以巧妙地解决一些不等式问题. 例1 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R). (1)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实根在相邻两整数之间,试证     

af(x)+b f(x)~(1/2)=c的简捷解法

方程af(x)+f(x)~(1/b)=c,一般用代换法来解。但当a、b、c为整数,a>0时,用观察法来解,显得更为简便,下面介绍这种方法。定理:如果存在平方数m≥0,使 c=am+m~(1/b)则方程af(x)+f(x)~(1/b)=c ①与方程(f(x)-m~(1/2))(f(x)+b/a+m~(1/2)=0同解②其中f(x)为x的解析式。证明:设a是方程①的解,则 af(a)+f(a)~(1/b)=am+m~(1/b)∵ f(x),m≥0,     

含参数的函数问题的解题策略

含参数的函数问题可以考查多个知识点,更能从多个角度检查考生的素质和能力,因此,它越来越多地受到高考命题者的青睐.这类问题的解决具有一定的规律性,其中,转换自变量是它的核心.为方便广大读者掌握其解题技巧,现归纳总结如下:例1对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2 (a-4)x 4-2a的值恒大于零,求x的取值范围.解设f(x)=(x-2)a (x2-4x 4)=g(a),当a∈[-1,1]时,f(x)的值恒大于零,显然x≠2,故有g(1)=x-2 x2-4x 4>0,g(-1)=2-x x2-4x 4>0.解之得x<1或x>3.例2已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,当m、n∈[-1,1],m n≠0时,有f(mm) fn(n)>0.(1)证…     

一个最值定理

本文给出一个求函数最值的定理,并举例说明它的应用。定理:函数f(x),g(x),有f~2(x) g~2(x)=A~2,(A>0的常数)。当x满足bf(x)=ag(x)(a、b为常数)时,函数F(x)=af(x) bg(x)的绝对值|F(x)|取得最大值A(a~2 b~2)~(1/2)。证明:设     

理解零点存在定理应把握的四个方面

人教A版必修1给出了判断函数零点的定理,即零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根,这个定理比较抽象,要理解它并能较好地加以应用,应注意从四个方面加以把握。     

从一个定理的别证谈起

文[1]给出了求函数f(x)=√ax √b d-cx的值域的定理. 定理设f1(x)=ax b,f2(x)=d-cx(a、c＞0,(d/c)＞-(b/a)),则函数f(x)=√ax b √d-cx的值域是[√[f1(x) f2(x)]min, √f1((d/c)) f2(-(b/a))].     

高考数学压卷题破题要害探索

1抓住试题中的命题要害,步步逼近 例1设a、b均为大于1的自然数,函数f(x)=a(b sin x),g(x)=b cos x,且存在实数m,使得f(m)=g(m).(1)试求a、b的值;(2)设数列{an}的首项a1=3ab,对任意的n∈N ,有(a 1)an 1 b·an=0,记Sn=a1 a2 … an,Tn=a1·a2…an,分别求出{Sn}、{Tn}中的最大项.     

例说零点存在性定理在解题中的应用

零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.传统的函数零点存在性定理的考查,如:     

一个重要结论及其应用

结论函数f(x)=daxc b(不妨设a>0),若b2=amd2(m∈R),则f(x) f(m-x)=bc.(※)证明f(x) f(m-x)=cdax b dam-cx b=(d2[adm( a bm-2)x badx)(a x2 b]acm-x)=d(am-x ax 2db)cbd(ax am-x d2abmd b2)因为b2=amd2,所以d2abmd b2=2db,所以f(x) f(m-x)=bc.特例(1)若d=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax c b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=bc.(2)若m=0,b2=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=axc b(a>0),若b2=1,则f(x) f(-x)=bc.(3)若c=1,d=1时,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax1 b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=1b.应用(函数的以上性质可应…     

函数测试题（2）

一、选择题1.设函数f(x)=x3(x∈R),当0≤θ≤π2时,f(m sin)θ+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是().(A)(0,1)(B)(-∞,0)(C)(-∞,1)(D)(-∞,12)2.函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象过点(1,1),且00,x2>0且x1≠x2),则p,q的大小关系是().(A)p>q(B)p相似文献   

对一道高考试题的探讨

高考试题:已知函数f(x)=x2+2/x+alnx(x>0),f(x)的导函数是f’(x),对任意两个不相等的正数x1﹑x2,证明: (Ⅰ)当a≤0时,[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2];(Ⅱ)当a≤4时,|f’(x1)-f’(x2)|>|x1-x2|.该题可以运用不等式和导数的有关知识给出证明.在这里提出这样的问题:能否对题目中给出的a的条件作出进一步的加强,使得(Ⅰ)﹑(Ⅱ)仍然成立呢?为了探讨这个问题,首先给出一个定义和一个定理:定义(函数凸凹性):已知函数f(x)在区间(a,b)有定义,     

柯西中值定理的别证衍化及应用

“若函数f(x)与g(x)满足下列条件:①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),g′(x)≠0。则在(a,b)内至少存在一点ξ,使 (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f′(ξ)/g′(ξ) (*)” 众所周知,这是微分学的基本定理之一:柯西中值定理((*)式称为微分中值公式)。关于它的证明,关健是在于恰当地构造一个辅助函数,再利用罗尔定理。一般教科书上构造的辅助函数是:F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))[g(x)-g(a)]     

一个容易忽视的解(高一、高二、高三)

题a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=x/(ax+b),同时满足条件: (1)f(2)=1; (2)方程f(x)=x有唯一的解.求a、b的值.     

浅谈微分中值定理

微分中值定理的证明 由罗尔中值定理得出: 定理一:若函数f(x),至少存在一点屯,乙〔(a, If(a、 }f(b、 !f,(仓)证明:作辅助函数F(x) g(x),印(x)是[a,b),使得:‘(a)甲(a)g(b)甲(b)g‘(屯)甲产(忿)b〕上的连续函数,在(.,b)内可导,败g(a)g(b)g(x)甲(a)甲(b)甲(x)﹄、.尹、.了、.少 a .bX了了.、了.、r、rl厂Tl .11.leses.....口.J................ △F(x)二因为f(x)户g(x),甲(x)在[。,b]上连续,在(a,b)内可导,所以F(x)在〔a,b〕上连续,在(a,,b)内可导,且F(a)=F(b)二0由罗尔中值定理得,在(a,b)内至少存在一点毛,使得F(七)=O,从而有: }f(a)g(…     

微积分中值定理的反问题

本文考虑了微分中值定理及积分中值定理的反问题,证明了下述结果:定理1 设函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导.且对任意ξ∈(a,b).g′(ξ)>0,F(x)=F(x)-F(ξ)/g(x)-g(ξ)为x的严格增函数(除ξ点外)。那么存在x_1,x_2∈(a,b),x_1<ξ相似文献   

零点定义及零点定理的运用

零点定理是必修1(人教版)的内容,是新教材新增的一个重要定理,有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.零点定理:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且满足f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c     

再谈一个定理的推广

文[1]给出了一个定理:若f(x)是[a,b]上的增函数,x f(x)=m,x f~(-1)(x)=m的两根分别为a,b,则a b=m.文[2]将这个定理推广为:若方程x     

零值定理应用之管见

本文就零值定理在在二次函数中的应用,谈一点我们的看法。零值定理:设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数且在区间两端点的数值f(a)、f(b)异号,那么一定有一点C(a相似文献   

函数图象的对称轴和最小正周期

[定理1] 设函数f(x)(x∈R)以w为最小正周期,它的图象有对称轴x=c,则存在实数a、b∈(0,w],a≠b,使得x=a,x=b也是它的图象的对称轴。证:对实数c和正数w,总可以找到一个整数k,使得kw<0≤(k 1)w,令a=-kw c,则有a∈(0,w]。∵x=c是对称轴,∴对任意x∈R,有f(c x)≡f(c-x),又w是周期,∴f(kw x)≡f(x)(k∈Z)。从而对任意x∈R,f(a x)=f(-kw c x)=f(c x)=f(c-x)=f(kw a-x)=f(a-x)。