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(续前 )2 0 7 怎样尝试把恒等式Ｃ0 ｎ+Ｃ1ｎ+… +Ｃｎｎ =2 ｎ还原到实际生活中去答 :例如 ,让学生设想他们所在的班级共有学生ｎ名 ,大家正在讨论下星期日是否去某地郊游 ,求有几种可能的结果。思路 1 按照愿意去郊游的人数 ,分以下情况进行计算。无人愿意参加 ,共有Ｃ0 ｎ 种结果 ;恰有 1名学生愿意参加 ,共有Ｃ1ｎ 种结果 ;……全班学生都愿意参加 ,共有Ｃｎｎ 种结果。思路 2 班主任张老师对全班学生一一询问“你愿参加这次郊游吗” ,那么每一名学生有“愿意”或“不愿意”这 2种可能的答复。问遍全班学生后 ,就得到了这个问题的全… 相似文献
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(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ… 相似文献
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证明与正整数指数幂有关的不等式问题 ,通常采用数学归纳法 ,虽然操作自然 ,但往往过程繁琐或效果欠佳 ,有时还会碰壁 .若转变观念 ,跳出定势思维的束缚 ,采用二项式定理展开 ,然后进行适当放缩的方法去证 ,常常能出奇制胜 ,获得简捷、新颖的证明 ,同时还能达到发展学生的智力 ,培养证题技能与创造力的目的 .下面选择典型例题 ,予以说明 .例 1 设ａ>1,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ,求证 :ｎａ- 1<ａ- 1ｎ .证明 设ｎａ - 1=ｘ >0 ,则ａ =(1 ｘ) ｎ =Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎｘ Ｃ2 ｎｘ2 … >1 ｎｘ ,∴ｘ<ａ- 1ｎ ,即ｎａ- 1<ａ- 1ｎ .例 2 已知 - 1≤ｘ≤ 1,… 相似文献
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问题 把ｎ个相同的小球放入ｍ个不同的盒子中 (ｎ ≥ｍ≥ 1) ,要求每个盒子非空 ,问有多少种不同的放法 ?这是一个常见的组合问题 ,可先将ｎ个小球排成一列 ,然后在每两个小球的ｎ- 1个空档中插入ｍ- 1块隔板 ,这样就将ｎ个小球分割成ｍ组 ,每组小球依次放入ｍ个盒子中 ,就得到Ｃｍ- 1ｎ- 1种不同放法 .我们不妨把这种方法称为“隔板原理” ,它在解决一类组合应用题时十分有用 ,试看以下几例 :例 1 某校高一年级共有 12个班级 ,现要从中选出 2 0名同学参加座谈会 ,要求每班至少有一名同学参加 ,共有多少种不同的选法 ?解 将 2 0个名额 (… 相似文献
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李红 《中学数学教学参考》2001,(5)
二项式定理是证明代数问题的重要工具之一 ,是组合数学的基础 ,它具有一定的技巧和难度 ,且灵活性、综合性强 ,对学生运算能力的培养和思维灵活性的训练都具有重大的作用 .因此 ,它在国内外数学竞赛中出现的频率较高 .一、基础知识1 .(ａ ｂ) ｎ=Ｃ0 ｎａｎ Ｃ1ｎａｎ- 1ｂ Ｃ2 ｎａｎ- 2 ｂ2 … Ｃｒｎａｎ-ｒｂｒ … Ｃｎｎｂｎ=∑ｎｒ=0Ｃｒｎａｎ -ｒｂｒ(ｒ =0 ,1 ,2 ,… ,ｎ) .2 通项公式 :Ｔｒ 1=Ｃｒｎａｎ -ｒｂｒ( 0≤ｒ≤ｎ) .3 二项式系数的性质 :( 1 )在二项展开式中 ,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 .( 2 … 相似文献
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林福坤 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):7-7
(1 +ｘ) 2ｎ=( 1 +ｘ) ｎ( 1 +ｘ) ｎ 是一个恒等式 ,利用ｘｎ 的系数对应相等 ,我们可以证明 (Ｃ0ｎ) 2 +(Ｃ1ｎ) 2 +(Ｃ2 ｎ) 2 +… +(Ｃｎｎ) 2 =Ｃｎ2ｎ这一个论证方法是继二项式定理中“赋值法”求组合数代数和后 ,能够用来解决另一类组合数运算的一个有效方法 .此法可归纳为 :式恒等 ,对应项系数相等 .下面从一些具体实例出发 ,进一步介绍其应用 .例 1 证明Ｃｒｎ+Ｃ1ｍＣｒ- 1ｎ +… +ＣｋｍＣｒ-ｋｎ +… +Ｃｒｍ=Ｃｒｍ +ｎ.证明 :利用上述思想方法 ,可以发现右边的Ｃｒｍ +ｎ是 ( 1 +ｘ) ｍ +ｎ展开式中ｘｒ 的系数 .而 ( 1 +ｘ)… 相似文献
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张宝环 《廊坊师范学院学报》2001,17(4):13-13,73
创造性思维是一种用新颖独特的方式来解决某个问题 ,或提出对某个问题看法的思维活动 .我国已经把“培养创造型人才”和“实施创造性教育”作为新时期教育改革的方向 .创造性思维在数学教学中的作用 ,主要体现在以下几个方面 .1 直觉思维能力的作用直觉式思维与逻辑式思维相对应 ,虽然只是未经严密推理而对某些问题的结论做出的大胆推测 ,但在某些时候 ,直观的洞察可能远远超前于逻辑的证明 .例如 ,求Ｓｎ=Ｃ0ｎ-Ｃ2 ｎ+Ｃ4ｎ-Ｃ6ｎ+…分析 :求和Ｓｎ,若用组合数公式求和 ,问题难以解决 .若根据Ｓｎ 的本身结构特点 ,从与Ｓｎ 有关的 (1 +… 相似文献
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1 擂题 4 5的评注 擂题 (4 5 ) (李建潮提供 ) 注 :本刊 2 0 0 0年第 5期将本擂题作者姓名误为李建明 ,特此更正 )证明或否定 :在△ＡＢＣ中 ,有ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ ｃｏｓｎＣ≥ｓｉｎｎ Ａ2 ｓｉｎｎ Ｂ2 ｓｉｎｎ Ｃ2(ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 )①本擂题奖金获得者是吴善和 (福建省资源工业学校 ,3 64 0 1 2 )。现刊登吴善和先生的来稿 ,作为本擂题的解答。证明 : 根据待证不等式①关于Ａ、Ｂ、Ｃ的对称性 ,不妨设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,则π/3≤Ａ <π ,0 <Ｃ≤π/3。不等式①等价于ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ -2ｓｉｎｎ Ｃ2 ｃｏｓｎＣ ｓｉｎ… 相似文献
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中学化学常用盐酸与二氧化锰反应制备氯气 :ＭｎＯ2 +4ＨＣｌ(浓 )△ ＭｎＣｌ2 +2Ｈ2 Ｏ +Ｃｌ2对于这个实验 ,教材对各反应物用量没有说明 ,也很少有人从定量的角度加以探讨。从标准电极电势Ｅ0ＭｎＯ2 /Ｍｎ2 +=1 .2 3伏、Ｅ0Ｃｌ2 /Ｃｌ-=1 .3 6伏 ,标准电动势ε=Ｅ0( + ) -Ｅ0( -) =1 .2 3 -1 .3 6=-0 .1 3 <0来分析 ,反应似乎不能进行 ,为了使反应能够进行 ,需要增大盐酸的浓度。关于该盐酸的最小浓度 ,众说纷纭 ,本文就ＭｎＯ2 与盐酸反应所需盐酸的最小浓度进行了实验。同时用正交试验法对实验制备氯气的最佳条件进行了探讨。1 Ｍ… 相似文献
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《中学数学杂志》2002,(12)
一、填空题1.ａ ;2 .(ｘ ｙ 2 ) (ｘ ｙ -2 ) ;3 .2 0 0 3 ;4.180元 ;5.1;6.ｘ2 -1;7. 9.12 ;8.ｘ≤ｃ ;9. 0 .5;10 .ｎ 1ｎ · (ｎ 1)= ｎ 1ｎ (ｎ 1) ;11. -3 ;12 .Ｓ =4ｎ -4(ｎ≥ 2 ) ;13 .ａ ｄ =ｂ ｃ或ａ ｂ =ｄ ｃ -14 ;14 .12 43 ;15.-1(或 0或 3 ) ;16.(32 ,32 ) ;17.3 92ｘ -3 92ｘ 4 0 =1;18.85.9;19.2 552 56;2 0 . 1ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) =121ｎ(ｎ 1 ) -1(ｎ 1 ) (ｎ 2 )二、选择题1.Ａ ;2 .Ｃ ;3 .Ａ ;4.Ｃ ;5.Ｂ ;6.Ｂ ;7.Ａ ;8.Ｂ ;9.Ｂ ;10 .Ｃ ;11.Ｄ ;12 .Ａ ;13 .Ａ ;14 .Ｄ ;15.Ａ ;16.Ｄ … 相似文献
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数列求和是中专数学的重要内容 ,这类问题形式复杂变化多样 ,虽无通法可循 ,但根据不同题型的不同特征 ,也可总结出一些方法 ,本文列举如下 ,供参考 .1 反序相加法例 1 若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1=(ａ1 ａｎ 1)· 2 ｎ- 1.证明 设Ｓ =ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1,(1)将 (1)倒序写出 ,有Ｓ =Ｃｎｎａｎ 1 Ｃｎ- 1ｎ ａｎ Ｃｎ- 2ｎ ａｎ- 1 … ａ1.(2 )(1) (2 )并注意Ｃｒｎ =Ｃｎ-ｒｎ (ｒ≤ｎ) ,得2Ｓ =(ａ1 ａｎ 1)Ｃ0 ｎ (ａ2 ａｎ)Ｃ1ｎ (ａ3 ａｎ- 1)Ｃ2 ｎ … … 相似文献
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在解析几何中 ,求与二次曲线中点弦有关的系列问题 ,很多同学都是通过直线和二次曲线组成的方程组来进行讨论 ,往往都很繁 .本文通过介绍两个定理 ,提供一个极其简单的方法来求解这一类问题 .定理 1 已知曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0为二次曲线 ,Ｑ为直角坐标平面内一点 ,其坐标为 (ｍ ,ｎ) .则恒有 :(1)曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0和曲线Ｃ′ :Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ-ｙ) =0关于Ｑ点对称 ;(2 )直线ｌ :Ｆ(ｘ ,ｙ) -Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ - ｙ) =0为过Ｑ点的一条直线 ;(3)若直线ｌ和曲线Ｃ相交于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则直线ｌ和曲线Ｃ必有另一公共点Ｐ′(2ｍ -ｘ0 ,2ｎ… 相似文献
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纵观 2 0 0 2年全国理科试题 ,发现第 1 2、1 6、2 0、2 2题都涉及了数列 ,分值达到 35分 ,可以说是大面积的“块状经济” ,值得探讨。下面谈谈它们的考查方向 .1 第 1 2题 :考查近似估算记 2 0 0 1年国内生产总值为ａ1 ,2 0 0 5年国内生产总值为ａ5,则有 :ａ5=ａ1 (1 7.3%) 4 ,由二项式定理得 ,ａ5=ａ1 (1 Ｃ14·0 .0 73 Ｃ24·0 .0 732 Ｃ34·0 .0 733 Ｃ44 ·0 .0 734) ,近似估算可得 ,ａ5≈ 1 2 70 0亿元 ,选择 (Ｃ) .注 :审题要仔细 .题中讨论的是数列 {ａｎ}的通项之间的关系 ,而不是前ｎ项和Ｓｎ,尽管有一个“总”字 .2 第 1 6… 相似文献
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《一九九四年山东省初中数学竞赛》填空第二题 :参加会议的人 ,每两人都握过一次手 ,有人统计共握了 91次 ,那么到会的人数是 .分析 设到会的人数为ｎ ,每人都要与其他到会人员握手一次 ,故每人握手ｎ -1次 ,ｎ个人握手ｎ(ｎ-1)次 ,由于每两人只握一次手 ,上述统计结果重复一次 ,所以共计握手 ｎ(ｎ-1)2 次 ,因此有 ｎ(ｎ-1)2 =91,即ｎ2 -ｎ-182 =0 ,所以 (ｎ-14 ) (ｎ + 13 ) =0 ,因为ｎ为正整数 ,所以ｎ =14 .故到会人数为 14 .在排列组合一章中记为Ｃ2ｎ =ｎ(ｎ-1)2 ,其意义为 :从ｎ个元素中任取两个元素并成一组的组合个数 ,这个结果应… 相似文献
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孙剑波 《中学数学教学参考》2000,(8)
文 [1]得到Ｔｎ=ｃｏｓｎ2π7 ｃｏｓｎ 4π7 ｃｏｓｎ 6π7的一个递归式 :Ｔｎ 3 =- 12 Ｔｎ 2 12 Ｔｎ 1 18Ｔｎ.本文给出 {Ｔｎ}的一个通项公式Ｔｎ=- 12 72 ｎ ｋ∈ＫＣｋｎ [1 ( - 1) ｎ] 72 ｎ 2 Ｃ[ｎ2 ] ｎ ,( )其中Ｋ ={ｋ|ｎ - 2ｋ =7ｍ ,0≤ｋ≤ [ｎ - 12 相似文献
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20 0 0年《化学教学》第 8期登载了余惠芳老师“《同分异构体复习课》教案”一文 ,读后受益匪浅。但对官能团异构的总结及布置的巩固练习题 1,持有不同的见解 ,特提出与作者商讨。原文对官能团异构的总结为 :常见官能团异构 :ＣｎＨ2ｎ(ｎ≥ 3) :单烯烃、环烷烃ＣｎＨ2ｎ - 2 (ｎ≥ 4 ) :炔烃、二烯烃ＣｎＨ2ｎ - 6 (ｎ≥ 6) :苯的同系物、二炔烃等ＣｎＨ2ｎ + 2 Ｏ(ｎ≥ 2 ) :醇、醚ＣｎＨ2ｎＯ(ｎ≥ 3) :醛、酮ＣｎＨ2ｎＯ2 (ｎ≥ 2 ) :酸、酯笔者认为原文对官能团异构的总结过于“简单” ,省略了一些不能省略的字词 ,造成原总结不太严密… 相似文献
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人教社、课改教材高二化学 (Ⅱ )、2 0 0 0年印刷本 (97年 12月第一版 )Ｐ .2 80第四题内容如下 :在 10 0ｍＬ 1.0 0ｍｏｌ/Ｌ盐酸中加入 10 .0ｍＬ 2 .0 0ｍｏｌ/ＬＡｇＮＯ3 溶液 ,充分反应后洗涤 ,滤液跟足量Ｍｇ反应。理论上计算 :(1)得到的ＡｇＣｌ质量是多少 ?(2 )放出的Ｈ2 的体积是多少 ?(在标准状况下 )(原答案 :2 .87ｇ ,0 .896Ｌ)笔者认为 ,本题第 2问的答案欠妥。具体分析如下 :解析 :据题给条件 ,ｎ(ＨＣｌ) =0 .10 0ｍｏｌ,ｎ(ＡｇＮＯ3) =0 .0 2 0 0ｍｏｌＡｇＮＯ3 +ＨＣｌ =ＡｇＣｌ↓ + ＨＮＯ31ｍｏｌ 1ｍｏｌ 1ｍｏｌ 1… 相似文献
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《中学数学教学参考》2000,(8):34-48
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)设集合Ａ和Ｂ都是自然数集合Ｎ ,映射 ｆ :Ａ→Ｂ把集合Ａ中的元素ｎ映射到集合Ｂ中的元素 2 ｎ ｎ ,则在映射ｆ下 ,象 2 0的原象是 ( ) .Ａ .2 Ｂ .3 Ｃ .4 Ｄ .5解 :由题意得 2 ｎ ｎ =2 0 ,将选择支的值代入验证 ,知ｎ =4 ,选Ｃ .( 2 )在复平面内 ,把复数 3 - 3ｉ对应的向量按顺时针方向旋转 π3 ,所得向量对应的复数是 ( ) .Ａ .2 3 Ｂ .- 2 3ｉＣ .3- 3ｉ Ｄ .3 3ｉ解法 1:依题意 … 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛有这样一道赛题 :在一个正六边形的 6个区域栽种观赏植物 (如图 1 )要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有种栽种方案 .标准答案为 :( 1 )考虑Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物 ,此时共有Ｃ1 4 × 3 × 3× 3 =1 0 8种方法 .( 2 )考虑Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物 ,此时共有 3× 4× 3 × 3 × 2× 2 =43 2种方法 .( 3 )考虑Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物 ,此时共有Ａ34× 2× 2 × 2 =1 92种方法 .故总计有 1 0 8+4 3 2 +1 92 =73 2种方法 .实际上 ,这道竞赛题脱胎于一个典型的染色问题 :把… 相似文献