一个三角不等式

命题 在任意△ABC中,∠A、∠B、∠C表示其三内角.则 sin~3A sin~3B sin~3C≤(9/8)3~(1/2),等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明 由三角形恒等式     

平面几何第三章课堂练习题选登

弓万.1必予三角形的~必棍念 填空:《1)图中共有_麒个三角形。(2)△人BC的三个顶点 是_,三个内角是(3)在△人BC中,乙C的对边是_, 在△ADC中,乙C的对边是_。亡4)线段AD是哪几个三角形的边?(5)乙ADC是△_的内角,是△_的外 角,又是艺的邻补角.A伙用三角板画△ABC的三条 、气碑“’A‘!义又选择‘把正确答案的编号匕丛二蕊,填入括号中””‘户、、了“ (2)有且只有两边相等的三角形叫等腰三角形。 肠3。3三角落的内角和《一)1。△入刀C中: (1)若乙C=90.,乙A二50.,则乙B=_, (2)若乙A=50.,乙B=乙C,则乙B=_, (3)若乙A:乙B:乙C=1:2:3, 则…     

一个三角不等式的改进

本刊1995年第11期P35上证明了 在△ABC中,若A、B、C为三角形三内角,则有 sinA/n sinB/n sinC/n≤3sinπ/3n ①从原证明看出,n应为自然数,其实①还可改进为: 命题 在△ABC中,对0<入≤2,求证 sinkA sin~lB sin3.C≤3sini/3 ② 证明 不妨设C为锐角,由0<又≤2得     

解斜三角形

☆基础篇诊断检测一、选择题1.在△ABC中,B=60°,b=76,a=14,则角A的值是()(A)75°.(B)45°.(C)135°或45°(D)30°2.三角形的三边之比为3∶5∶7,则其最大角为()(A)π2.(B)2π3.(C)3π4.(D)5π6.3.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a,b,c,若cosAcosB=ba,则△ABC是()(A)等腰三角形.(B)等边三角形.(C)直角三角形.(D)等腰或直角三角形.二、填空题1.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是.2.在△ABC中,已知角A,B,C成等差数列,且边b=2,则此三角形的外接圆R=.3.在△ABC中,S△=a2+b2-c243,则角C=.4.已知锐角三角…     

三角形的中间角

三角形内角和等于180°.把△ABC三个内角按大小排列起来,若∠A≤∠B≤∠C,我们称∠B为△ABC的中间角.容易验证,中间角有如下性质: 1.任何三角形都有中间角,且中间角必为锐角; 2.三角形中间角不小于该     

三角形的中间角

把△ABC的三个内角A、B、C按大小顺序排列起来得A≤B≤C,则∠B就是△ABC的中间角.容易验证三角形的中间角有如下的性质:1.任何三角形都有一个中间角,且三角形的中间角必为锐角;2.三角形的中间角不小于该三角形的最小角,不大于该三角形的最大角;3.若一个非等腰三角形有一个角为60°,则这个60°的角必为该三角形的中间角.     

巧变形,快求解

"三角形的内角和等于180°","三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和",掌握三角形外角及内角和公式是解决有关三角形问题的关键,而要快捷且正确地解答三角形中有关角的求解与证明,就必须熟练地进行有关变形.现举例如下.例1△ABC中,若∠A-2∠B+∠C=0°.则∠B的度数是().A.30°B.45°C.60°D.75°解在△ABC中,有∠A+∠B+∠C=180°,可适当变形为∠A+∠C=180°-∠B.而条件∠A-2∠B+∠C=0°,也可变形为∠A+∠C=2∠B,所以可知180°-∠B=2∠B,解此     

一类特殊三角形的一个性质及其推论

文[1]中给出了二倍角三角形的一个性质及其应用,作为该文的补充,今给出n倍角三角形的一个性质及其相应的一些推论。下面用A、B、C表示△ABC的三内角,以a、b、c分别表示它们的对边 定理 在△ABC中,若A=nB (n∈N),则 a~2=b~2 bc·sin(n-1)B/sinB 证明 在△ABC中,因A=nB,故C=180°-(n 1)B ∴sin~2B sinC·sin(n-1)B=sin~2B sin(n 1)B·sin(n-1)B =1/2(1-cos2B)-1/2(cos2nB-cos2B)     

一个三角不等式的再改进

本刊1995年第11期第35页上刘宝文对一个三角不等式作了如下推广: 在△ABC中,若A、B、C为三角形三内角,则有sinA/n sinB/n sinC/n≤3sinπ/3n①接着本刊1996年第9期第34页上安振平、     

赏析三角形中的五类“数列”

1．三个内角成等差数列 在△ABC中,若内角A、B、C成等差数列,则（1）B=60°,A＋B/2=60°.     

三角形二倍角的一个边角关系定理

在平面几何课程中,着重研究过两种特殊的三角形:直角三角形和等腰三角形。其实,还有一种特殊的三角形,即有一个内角等于另一个内角的二倍的三角形,它的应用也很广值得研究。为此,本文介绍这种特殊三角形: 定理:在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边。若A=2B,则a~2-b~2=bc。     

关于∑cosAcosB及∑sinAsinB的几个不等式

在△ABC 中,记 f(A,B,C)=∑cosAcosB=cosAcosB cosBcosC cosCcosA,g(A,B,C)=∑sinAsinB=sinAsinB sinBsinC sinCsinA,本文给出关于 f(A,B,C)及 g(A,B,C)的几个不等式.命题1 (1)若△ABC 为锐角三角形,则f(A,B,C)≤3/4.当且仅当△ABC 为正三角形时 f(A,B,c)=3/4.     

《能得到直角三角形吗》测试题

(时间:60分钟;满分:100分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1.在△ABC中，若乙A=乙C一乙B，则△ABC一定为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形2.在△A BC中，a、b、。分别为其三边的长，若a:b:。=12:35:37，则△ABC的形状一定为() A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.若a、b、。为三角形的三边长，则下列各组情况中，不能组成直角三角形的是() A a=8，b=15，e=17 n__3:5 0。谧不二—.U=—，C=1 44 C .a=14，b=48，c=4 9 D.‘9，b=40，c二41 4.在△A BC中，a、b、。分别为乙A、乙B、乙C的对边的长.下列说法中错…     

三角形中一个命题的深化

徐希扬老师在文[1]中阐述了边等差三角形中如下一个性质的应用。 性质 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则有 tg(A/2)tg(C/2)=1/3 我们在学习原文时,想到了该性质的如下一个深化。 命题 在△ABC中,角A,B,C的边为a,b,c,若a,b,c满足b≤(a c)/2,则有(1)tg(A/2)tg(C/2)≥1/3;(2)B≤(A C)/2     

简解判定三角形形状的选择题

在选择题中常能见到如下一类的判定三角形形状的问题。例1 在△ABC中有(a~3+b~3-c~3)/(a+b-c)=c~2且sinAsinB=3/4,则△ABC必定是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形。例2在△ABC中有(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,则△ABC是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形     

解三角形评估检测题

(45分钟)填空(共30分,每小题5分)1.△月BC中,若A:B,c二1:2:3,那么sinA二___,sinB二,s恤C二一一石2.锐角公的终边上一点尸到原点的距离是到,轴的2倍,则“i”a~,馆。二二3.在R才△ABC中,艺C二90。,若a~了丁,b=了了,则c=,乙刀.4.若△月BC的三边分别是2、5、了丽,则它的最大角是5.在△姓Bc中,若a=3,b~4,S△~3了了,那么/C=6.已知△且BC中 .a二4,b=8,A二30。,这个三角形有_解.二、选择题(共3。分,每小题6分) 1.如果月尸△ABC的一个内角.(A)et且g厄 (C)eosA·etg月.2.下列式子成立的是( (A)在△月BC中, (B)馆姓·c tgA~1.那么下列各式…     

一个三角不等式的再推广

《中等数学》1997年第3期第25页上安振平张巨轮对大家熟知的一类三角不等式:在△ABC 中,如果 A,B,C 为三角形的三个内角,则有     

三角形中的一个重要结论及应用

结论:在△ABC中,A、B、C为三角形内角,则sin A＞sin B(?)A＞B．证明:(必要性)sin A＞sin B(?)sin A-sin B=2cos(A B)/2sin(A-B)/2＞0．由条件知0＜(A B)/2＜π/2,-π/2＜(A-B)/2＜π/2,所以cos(A B)/2＞0,则必有sin(A-B)/2＞0,可得0＜(A-B)/2＜π/2,即A＞B．(充分性)若A为锐角或直角,由已知A＞B,则0＜B＜A≤π/2,于是     

三阶垂足三角形与原三角形相似的相似比

设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k.     

相似三角形测试题

(时间:45分钟;满分:100分)一、坟空题(每空4分,共32分),榨L 1.若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形2.已知△ABC与△A’B’C的相似比为2:3,则△A’君C与△ABC的相似比为月乙。D :乙F应图户,侧Z即盛巧B,‘、工,、︶A净..essees山D )C 3.如图I,△ABC叻△DEF,则相似比