例题的推广

全日制普通高级中学教科书数学(试验修订本)第二册(上)中有这样一道例题(§7.7例2). 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程. 解(略)所求切线方程为xx0+yy0=r2. 此切线方程简捷明了,体现了数学美,这里我们也许会想到当M(x0,y0)在圆x2+y2=r2的内部、外部时方程xx0+yy0=r2有何几何意义呢? 定理1 已知圆的方程是x2+y2=r2,点     

直线与圆的两个有趣问题

笔者在教学圆一节时,有学生提出了两个很有意思的问题:1.已知圆的方程x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程。这是课本中一道可作结论用的例题,答案是x0x+y0y=r2。他们提出如果点M不在圆上,直线x0x+y0y=r2。又是客观存在的,那么它与圆有怎样的关系呢?     

数形结合求最值

在数学问题的解决中,等价转化与数型结合思想有着极其重要的应用,尤其在一定条件下,求某些式子的最值问题,就可利用数形结合的方法,转化为求斜率、截距、距离等问题,从而使问题得到解决．一、转化为直线的斜率例1 如图1,若实数x,y满足(x-2)2 y2 =3,求y/x的最大值及最小值. 点拨:点(x,y)满足圆的方程,而y/x正是圆上的点与原点连线的斜率．如果把(x,y)视为动点,借助图形观察,则y/x的最大值和最小值正是由原点向圆所引的两条切线的斜率．     

简单线性规划的应用浅议

“简单线性规划”是高中数学新增内容,在高考中占有较重要的地位,考察线性规划的直接应用或间接应用,从近几年高考命题的情况分析,在高考复习中,有必要在教材内容的基础上,作出适当引申.其一是约束条件不限于一次不等式,可以是二元二次不等式或其它形式;其二是利用目标函数的几何意义解题,而且目标函数可以是非线性的.1联系直线在y轴或x轴上的截距解题例1已知实数x,y满足2│x-1│-y=0,求z=x+2y的最小值.解它的可行域的边界为一折线y=2│x-1│,目标函数z=x+2y的值就是直线x=-2y+z在x轴上的截距的值;令x+2y=0,它表示的直线为l,平移直线l到l′使l′过点M(1,0),此时,目标函数z取得最小值,zmin=1.例2已知实数x,y满足x2+y2=2x-2y+1≤0,求z=x-y-1的最大值和最小值.解它的可行域的边界是一个圆(x+1)2+(y-1)2≤1,(是非线性的可行域)目标函数z的值就是当直线y=x-z-1与可行域有公共点时,在y轴上截距的相反数再减1,因而截距最小时,z最大;截距最大时,z最小.图1令x-y=0,表示直线l:y=x.平移直线l到l′和l″,使l′和l″与圆(x+1)2+(y...     

2003年高考数学模拟试题(一)

第Ⅰ卷　 (选择题 ,共 60分 )一、选择题 (本大题共 1 2个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 .已知集合M ={x｜ y =x+ 1 -2 -x} ,P={x｜y=lg(x2 -x-2 ) } ,那么(　　 ) .A .M P　　　　　B .P MC .M ∩P = D .M =P2 .已知函数 f(x) =ax(a>0 ,且a≠ 1 ) ,f- 1 (12 ) >0 ,则函数 y=f(x -1 )的大致图像只能是 (　　 ) .3 .函数 f(x) =sin2 (x+ π1 2 ) +cos2 (x-π1 2 ) -1的最大值是 (　　 ) .A .13 　　　B .12 　　　C .1　　　D .24.在极坐标系中 ,与圆 ρ =6sinθ相切的一条…     

圆的切线方程求法比较

人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222…     

借助向量求多元函数的最值问题

在有些二元函数求最值的问题中,构建向量模型,常常会使复杂的问题变得简洁明了,利用向量的坐标及向量的内积,会使繁锁的解题过程显得巧妙与自然,下面举例进行分析:【例1】已知:x2 y2=1,求3x 2y的最大值.解:由已知,可取一定点M(3,2)设N( x,y)为圆x2 y2=1上任意一点,0为原点,则OM     

圆的直径式方程及其应用

圆的方程有标准式与一般式两种形式,如果已知圆的直径的两个端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),那么设P(x,y)是该圆上的任意一点,则借助于两个     

用导数探讨图象交点

导数的知识可用来研究函数图象的交点．下面以06年的三则高考题说明．例1已知函数f(x)=-x~2 8x,g(x)=61nx m．(1)求f(x)在区间[t,t 1]上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交     

形似质异 勿忘对比

同学们在学习函数的过程中,往往遇到一些形式相似,而解法或答案迥异的题目,由于形式相似,常导致思维混乱,陷入误区.若能对比处理,挖掘题意,加深理解,对函数的学习将是很有好处的.一、数集与平面点集例1(1)已知集合M={y|y=x2-4x},N={y|y=-x2 2x 8},求M∩N;(2)已知集合M={(x,y)|y     

在数学解题中的辩证法

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科。因此 ,数学中也充满了大量的矛盾因素。运用辩证法的观点进行观察、分析和转化 ,是解决矛盾的重要途径。培养学生的辩证唯物主义观点 ,是数学的教学目的之一 ,也是素质教育的一项重要目标。本文谈谈辩证法观点在数学解题中的应用。1　已知与未知已知与未知在一定的条件下可以转化 ,解题时 ,把已知当未知 ,未知当已知 ,反客为主 ,可以使问题获得新的解决。例 1　一圆过定点 A( 6,0 )且与圆 C:x2 y2 =8相切于点A( 2 ,2 ) ,求圆的方程。分析 :由题意知 ,所求圆与圆 C外切 ,设其方程为 ( x…     

关于两个代数重要极值定理及其应用

本文先给出两个代数重要极值定理,分别用初等和高等两种方法进行证明,引出一个推论,最后举例阐明它们的重要应用。 [定理一]若两正变量之和一定,则当二者相等时,其乘积为最大。 证法一:设x>0且y>0 且x y=m (定值)则有s=x·y=x(m-x)=-x~2 mx=-(x-m/2)~2 m~2/4当x=m/2时,同时有y=m/2,故乘积s=x·y有最大值m~2/4, 证法=:用拉格朗日入乘数法,即命题转化为乘积函数s=xy在满足联系方程x y=m的条件极大值问题。于是先构造辅助函数     

一道高考压轴题的探究历程与教学建议

<正>一、试题呈现如图1,已知抛物线C:x2=2py(p> 0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求ΔPAB面积的最大值．     

最值问题的求解八法

最值问题,也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题.这类问题出现的试题,内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法,供读者参考.一、配方法例1(2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛)2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为.解:原式=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2·27·-10.由此可知,当x=2,y=-1时,有最小值-10.二、设参数法例2(《中等数学》奥林匹克训练题)已知实数x、y满足x3+y3=2.则x+y的最大值为.解:设x+y=k,易知k>0.由x3+y3=2,得(x+y)(x2-xy+y2)=2.从而,xy=13(k2-k2).由…     

请关注这两个函数的最值(高一、高二、高三)

1.两个函数的最值问题(1)已知0相似文献   

圆锥曲线的极和极线

高中《解析几何》课本(必修)第62页给出过“已知圆x~2 y~2=r~2上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x y_0y=r~2”。有趣的是在某些条件下,这种形式的方程不表示圆的切线。 设M(x_0,y_0)是圆x~2 y~2=r~2外的一点。从M引圆的两条切线MA、MB,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为切点。那么,MA的方程是x_1x y_1y=r~2。     

证明条件等式的一种猜想思考方法

证明条件等式:已知:A=0,求证:B=0。实质是寻找作为条件的等式A=0与作为结论的等式B=0之间的逻辑联系。对于这种逻辑关系可以作出种种猜测。当然,首先应该猜想最简单的情况。一、若B比A复杂,我们可猜B=AC。例1:已知x y-z-xyz=0,求证:x(1-y~2)(1-z~2) y(1-x~2)(1-z~2) z(1-x~2)(1-y~2)-4xyz=0…… (1) 分析:能否实现猜想,关键看(1)的左边中是否含有因式x y z-xyz。这个目标十分明确,只要     

算术——几何平均值的又一应用

算术——几何平均值的应用非常广泛,这是大家所熟知的。本文的目的是说明它除了用来证明不等式和求函数的极值外,还能解决一些特殊方程的问题。兹仅举二例略述一二,供参考。例1.求方程x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)=2的正整数解解:∵ x,y为正数, ∴ x(2-y~2)~(1/2)≤(x~2 (2-y~2)/2 (1) (等号仅在x~2=2-y~2成立) y(2-x~2)~(1/2)≤(y~2 (2-x~2)/2 (2) (等号仅在y~2=2-x~2成立) (1) (2)得:x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)≤2 但由方程x(2-y~2)~(1/2) y(2-x~2)~(1/2)=2 显然等号在x~2=2-y~2和y~2=2-x~2时取得故 x~2=2-y~2即x~2 y~2=2 ∵ x,y为正整数,∴ x=1,y=1     

形如(y_1)/(x_1)·(y_2)/(x_2)=k问题的解法(高二、高三)

有一类题目:已知曲线上两点M(x1,y1)、N(x2,y2),O为坐标原点,直线OM、ON的斜率的乘积为定值……虽然这类题目的设问不尽相同,但都有一个共同的解题思路——设法得出以y1/x1,y2/x2为根的一元二次方程. 例1 已知直线x 2y-3=0和圆x2 y2 x-6y F=0交于M、N两点,O为坐标原点,且OM⊥ON,求F的值.     

斜率的妙用

斜率是直线重要的数字特征,素有“直线之魂”的美称.它不单在直线的知识体系中“位高权重”;在其他的知识模块中它往往也能够扮演“魔术师”的角色,总能给我们惊喜不断.本文从以下几个方面加以说明:一、已知动点(x,y)在某函数(或区域)上,求cayx db(ac≠0)的最值(或范围)(图1)【例1】若实数x、y满足等式(x-2)2 y2=3,那么xy的最大值为.解析:(如图1)只要将yx转化为yx--00,本题则可化归为求圆(x-2)2 y2=3上的一动点(x,y)与定点P(0,0)连线斜率的最大值.易知当连线与圆相切时斜率最大.在Rt△APO中OA=2,AP=3所以OP=1,故tan∠AOP=OAPP=3,所…