一个面积不等式的三个充分条件

有这样一个问题:已知△ABC,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,A:S△DEF≤1/4△ABC(S表示面积)。B:△DEF有两个顶点到△ABC某一顶点的距离都不大于所在边的边长的一半,问:B是A的什么条件?并加以论证。(87年宁波市高中数学竞赛试题)。其答案是B是A的必要条件 (证略)。     

周界中点三角形两个面积等式

设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,如图所示,△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF面积分别记为△、△A、△B、△C、△0,则有△≥4△0,△^3≥64△A△B△C．文[1]将它们分别加强为     

高中解几综合测试题

.淮择题孟’以A(i,3)、B(一5,i)为端点的垂直平分线的方程是(3x一万 8“03x 红 4二0x 3穿一4“0义一3穿 8“0如果方程xZ ,2 Dx E, F=0线,那么m的取值范围是()。 A.水>3 B.一22或一33或一<二<27.椭圆一气星 (y一2) 9二1的两、,产.… A B CD (D’ E’一4F>o)所表示的曲线关于直锄=x对称,那么必有(). A .D=E B .D二F C .E=F D .D二E=F 3.△ABC三顶点的坐标是A(1,2)、B(4,1)、C(4,4).D是AB边上的一点,DE才BC交AC于点E.若DE把△ABC分成面积相等的两部分,则D点坐标是 ()。个焦点坐标是()。 A.(了下,0),…     

浅谈路径的计数和最短路线问题(续)

三、最短路线问题例1 如图,在等腰△ABC中,CD是底边AB上的高,E是腰BC的中点,AE交CD于F,现在给出三条路线: (a)A→F→C→E→B→D→A; (b)A→C→E→B→D→F→A; (c)A→D→B→E→F→C→A,设它们的长度分别为L(a)、L(b)、L(c),那么下列三种关系式:L(a)相似文献   

怎样找全等三角形

对于能够完全重合的三角形,要使两个三角形重合,则需要搬动图形,通常是以某个三角形为基准(不动),把与其全等的另一个三角形通过平移、旋转或翻折三种方法使其与基准三角形重合。一、平移变形找全等三角形例1如图1,已知AB∥A′B′,AC∥A′C′,BB′∥CC′,求证△ABC≌△A′B′C′.分析:将△A′B′C′沿箭头方向平移使A′与A;B′与B,C′与C分别重合,记为A′→A;B′→B;C′→C.例2如图2,B、C、E在一条直线上,CE=BC,AB⊥BE,DC⊥BE,B、C为垂足,AC∥DE.求证△ABC≌△DCE.分析:将△ABC沿箭头方向平移后使A→D,B→C,C→…     

关联五个三解形面积的一个不等式

定理 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上与顶点A、B、C不重合的任意三点,△ABC、△AEF、△BDF、     

周界中点三角形两个面积不等式的加强

设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点，△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积分别记为△、△A、△B、△C、△O．文[1]、[2]分别证明了不等式。     

一道试题的解析及其拓展

如图1,已知任意△ABC,E、F、G 分别为其三边的4等分点,从顶点A、B、C 分别向对边的4等分点 E、F、G 引直线,它们两两相交于点 L、M、N.求△LMN 与△ABC 的     

正弦定理的几个推论及应用

由正弦定理 a/(sin A)=b/(sin B)=c/(sin C)=2R(R为外接圆半径)很容易得出以下几个推论: 推论1:如果两个三角形有一个角相等或互补,那么它们外接圆半径的比等于这两个等角或补角的对边比。即在△ABC和△A′B′C′中,若A=A′或A A′=180°则R/R′=a/a′。     

三角形的一个面积公式的应用

结论 如图1，△ABC中，B、C两点之间的水平距离是h，过点A作铅直直线交BC于D，则S△ABC=1/2AD·h. 证明 过点B、C分别作AD的垂线BE、CF，垂足分别是E、F，     

关于∑cosAcosB及∑sinAsinB的几个不等式

在△ABC 中,记 f(A,B,C)=∑cosAcosB=cosAcosB cosBcosC cosCcosA,g(A,B,C)=∑sinAsinB=sinAsinB sinBsinC sinCsinA,本文给出关于 f(A,B,C)及 g(A,B,C)的几个不等式.命题1 (1)若△ABC 为锐角三角形,则f(A,B,C)≤3/4.当且仅当△ABC 为正三角形时 f(A,B,c)=3/4.     

关于两个三角形外心相同的充要条件

在△ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足^→AC1=λ^→C1B,^→BA1=μ^→A1C,^→CB1=γ^→B1A,其中,λ,μ,γ均不为-1.     

一个基本图形与一类数学竞赛题(高一、高二、高三)

基本图形如图1.△ABC的高AD、BE、CF交于H,连结DE、EF、DF,这是一个颇为重要的图形,因为有以下的结论(1)6组四点共圆:①B、D、H、F;②D、C、E、H;③E、A、F、H;④F、B、C、E;⑤D、C、A、F;⑥E、A、B、D.     

一道数学奥林匹克试题的研究

在△ABC中,AB≠AC,设D是△ABC的外接圆在点A处的切线与BC的交点.E,F分别是过B,C作BC的垂线与AB的中垂线、AC的中垂线的交点.求证:D,E和F共线.     

一道MO试题的另证和变形

题目在△ABC中,AB≠AC,设D是△ABC的外接圆在点A处的切线与BC的交点,E,F分别是过B,C作BC的垂线与AB的中垂线、AC的中垂线的交点.求证:D,E,F三点共线.     

由一个基本图形想到的

我们学习了《相似形》一章后,知道了一个结论：两个角分别对应相等的两个三角形相似．即：如图1,在△ABC和△DEF中,若∠B=∠E,∠C=∠F,则△ABC—△DEF．     

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如图1,已知任意△ABC,E、F、G分别为其三边的4等分点,从顶点A、B、C分别向对边的4等分点E、F、G引直线,它们两两相交于点L、M、N．求△LMN与△ABC的面积之比．[第一段]     

三角形特定旋转的两个结论及其应用

<正>在解题教学中发现三角形特定旋转的两个结论能够为解决一些难题提供理论依据和解题突破口,现将这两个结论总结并证明如下,不当之处请批评指正.1 结论及其应用结论一已知△ADE∽△ABC,相似比为k,两组对应顶点的连线BD和CE交于F点,将△ADE绕A点旋转任意角且在旋转中始终保持△ADE∽△ABC,设△ABC外接圆半径为R,则F点在△ABC外接圆上运     

关于三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式,这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1 429题(2003年第5期)与1 531题(2005年第2期).命题1设O为锐角△ABC的外心,△OBC,△OCA,△OAB,△ABC的外接圆半径分别为R1,R2,R3,R,则有不等式R1R2R3≥R3,(1)1R1+1R2+1R3≤3R,(2)1R21+1R22+1R23≥3R2,(3)三式中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.图1证因为O为△ABC的外心,所以∠BOC=2A.于是2R1=BCsin 2A=2R sin Asin 2A=Rcos A.同理2R2=Rcos B,2R3=Rcos C,从而R1R2R3=R38cos A cos B cos C,1R1+1R2+1R3=2R(cos A+cos B+…     

数学奥林匹克问题

本期问题高351如图1,不等边△ABC的内切圆分别与三边BC、CA、AB切于点D、E、F,A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB的中点,D′、E′、F′分别为点D、E、F在△DEF的边EF、FD、DE上的射影.证明:A′D′、B′E′、C′F′三线共点.