函数中几类逆问题的求解策略

已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的解析式 ,我们可以确定函数ｆ(ｘ)的定义域、值域、单调区间等性质。反之 ,若函数ｆ(ｘ)的解析式中含有参数 ,又已知 ｆ(ｘ)的有关性质(如定义域、值域、单调性等 ) ,而求其中参数 (范围 ) ,我们称这样的问题为函数中的逆问题。本文的目的是剖析典型例题和     

高考新题型：定义型试题

定义型试题即试题中给出一个考生从未接触过的新规定 ,要求考生当即应用 ,用以考查考生的接受能力和应变能力 .一、定义新概念例 1　 ( 2 0 0 1年上海高考题 )定义 :若函数 ｆ(ｘ)对于其定义域上的某一点ｘ0 ,有ｆ(ｘ0 )=ｘ0 ,则称ｘ0 是 ｆ(ｘ)的一个不动点 .已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ｂ+1)ｘ +(ｂ- 1) (ａ≠ 0 ) .( 1)当ａ=1,ｂ =- 2时 ,求函数ｆ(ｘ)的不动点 ;( 2 )若对任意的实数ｂ ,函数ｆ(ｘ)恒有两个不动点 ,求ａ的取值范围 ;( 3)在 ( 2 )的条件下 ,若ｙ=ｆ(ｘ)图象上两个点Ａ、Ｂ的横坐标是函数 ｆ(ｘ)的不动点 ,且Ａ、Ｂ两点关于…     

导数的应用

根据今年高考精神 ,导数的应用将作为一个重要知识点在高考卷中考查 .课本上给出了导数的概念及一些简单函数的导数 ,下面就导数的应用归纳如下 :一、利用导数判断函数的单调性一般地 ,设函数 ｙ=ｆ(ｘ)在某个区间内可导 ,如果ｆ′(ｘ) >0 ,则 ｆ(ｘ)为增函数 ;如果ｆ′(ｘ) <0 ,则 ｆ(ｘ)为减函数 ;如果在某个区间内恒有ｆ′(ｘ) =0 ,则 ｆ(ｘ)为常数 .例 1　确定 ｆ(ｘ) =ｘ4- 4ｘ2 +5在哪个区间内是增函数 ,哪个区间内是减函数 .解 :ｆ′(ｘ) =4ｘ3 - 8ｘ =4ｘ(ｘ2 - 2 ) .令 4ｘ(ｘ2 - 2 ) >0 ,解得ｘ >2或 - 2 <ｘ <0 .因此 ,当ｘ∈ ( …     

导数法与函数的单调性

涉及函数单调性的问题包括解不等式、求最值、比较大小、乃至解方程 ,这些都是近年高考的热点问题 .若利用单调性定义求解 ,一般较为复杂 ,做此类题目时学生往往半途而废 ,失分率较高 .高中教材引入导数以后 ,利用导数解决这类问题就变得比较简单 ,学生也易于接受 .函数的单调性与其导数的关系 :设函数 ｙ =ｆ(ｘ)在某个区间内可导 ,则当 ｆ′(ｘ) >0时 ｆ(ｘ)为增函数 ;当 ｆ′(ｘ) <0时 ｆ(ｘ)为减函数 .例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 + 2ｘ,ｘ∈ (0 ,+∞ )的单调区间 .解　ｆ′(ｘ) =2ｘ-2ｘ2 =2 (ｘ3-1 )ｘ2 ,令 ｆ′(ｘ) =0 ,得ｘ=1 .∵ｘ>…     

构造函数法证不等式的思考途径

构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一　利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明　令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 …     

运用“特例法”解题的六种情形

特例法作为高考数学中简捷、快速的解题方法 ,是根据题意选取特殊的例子 (如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊数列等 ) ,从而得出正确答案 .那么在什么情况下可用此法 ?下面举例说明 ,供参考 .一、“恒成立型”问题当所给的命题对于在实数集Ｒ(或某区间 )上恒成立 ,求命题中的参数等问题 ,可考虑使用取特殊值法 .例 1　 (2 0 0 1年全国高考题 )设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ=1对称 ,对任意ｘ1,ｘ2 ∈ [0 ,12 ],都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1)·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ >0 ,求ｆ(12 )及ｆ(14) .分析　此题是ｘ1,ｘ2 “…     

新版高中数学课本中几个问题的商榷

1　几个定义的商榷1 1　关于函数的单调性的定义新版高中数学课本第一册 (上 ) [1] 第 5 8页是这样定义增函数的 :“一般地 ,设函数 ｆ(ｘ)的定义域为Ｉ:如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意两个自变量的值ｘ1、ｘ2 ,当ｘ1<ｘ2 时 ,都有 ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 ) ,那么就说ｆ(ｘ)在这个区间上是增函数 ;…”(着重号是笔者所加 )。书中减函数、函数的单调性都是对其定义域内某个区间而言的 ,此处略。分析　按此定义 ,函数 ｆ(ｘ)定义域Ｉ的子集Ｄ必需是区间 ,那么诸如ａｎ=1 2ｎ(ｎ∈ {1 ,2 ,3 ,4 ,5 })就不是增函数 ,进而得出结论 :任何单调…     

一类函数的单调性及应用

在对数教学中时常遇到下列问题 :(1 )比较ｌｏｇ4 5与ｌｏｇ56的大小。(2 )比较ｌｏｇｎ(ｎ 1 )与ｌｏｇｎ 1(ｎ 2 )的大小。(3 )已知ａ >2 ,求证 :ｌｏｇａ - 1ａ >ｌｏｇａ(ａ 1 )。(4 )已知 0 <ａ <ｂ <1 ,试比较ｌｏｇａ(ａ 1 )与ｌｏｇｂ(ｂ 1 )的大小。我们可以通过不等式的缩放解决 ,但能否对上述问题统一处理呢 ?经过分析我们只需讨论函数ｆ(ｘ)=ｌｏｇｘ(ｘ ａ)或 ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ ａｘ(ｘ≠ 1 ,ａ >0 )的单调性即可。本文给出这类函数单调性的一个结论。定理 (Ⅰ )　当ａ≥ 1时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ(ｘ ａ)在区间 (0…     

不等式中“恒成立”问题的几种处理方法

在不等式问题中常常涉及有关“恒成立”的问题 .解决这类问题需要一定的技巧 .本文通过一些例子说明不等式中有关“恒成立”问题的几种处理方法 .1 借助不等式的有关知识许多不等式或不等关系本身就有“恒成立”的含义 .如ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,｜ｓｉｎｘ｜≤ 1等 .利用这些知识就可以达到解题目的 .例 1　已知ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ) (ａ >0且ａ≠ 1 ) ,当ｘ∈ (0 , ∞ )时 ,ｆ(ｘ) <0恒成立 .试讨论函数在 (0 ,∞ )上的单调性 .解 :∵ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ 2 ) 2ｘ2 4…     

“不动点”问题的解题思路

纵观近年全国各省市高考数学模拟试题 ,“不动点”问题悄然兴起 .这类问题通常以“不动点”为载体 ,将函数、数列、不等式、方程、解析几何等知识有机地交汇在一起 ,因而极富思考性和挑战性 .下面笔者精选出 5道典型例题并予深刻剖析 ,旨在探索题型规律 ,揭示解题方法 .例 1　对于任意定义在区间Ｄ上的函数ｆ(ｘ) ,若实数ｘ0 ∈Ｄ满足ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 ,则称ｘ0 为函数 ｆ(ｘ)在Ｄ上的一个不动点 .(1)求函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ -2在 (0 ,+∞ ) 上的不动点 ;(2 )若函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ +ａ在 (0 ,+∞ )上没有不动点 ,求ａ的取值范围 .分析与解…     

浅议德沃金的资源平等理论的缺陷与启示

德沃金根据抽象的平等权理论对自由主义的分配正义理论作了新的阐发,提出了资源平等论,这一理论构想包括拍卖模式和虚拟保险市场两个部分,分别解决初始分配和再次分配的平等问题。试就德沃金的资源平等理论缺陷进行分析,并就其对我国和谐社会法治建设的理论和现实指导意义提出一点思考。     

苯和溴取代反应实验的改进

中学课本中介绍苯的取代反应性质时是以苯和溴反应为例进行实验的．若按课本上的装置和操作，将苯和溴混和好后，再加入催化剂——铁粉，烧瓶内液体急剧沸腾，大量的溴蒸气和溴化氢气体充满烧瓶上面的空间，并通过长导管进入锥形瓶，进一步弥漫到空气中，产生呛人的白雾和窒息的恶臭，造成严重的污染，锥形瓶中的蒸馏水也会因溶有溴呈棕黄色，这时再用AgNO3溶液来检验蒸馏水中的溴离子缺乏说服力．另外，实验结束后，把烧瓶内生成物倒入水中，生成的溴苯因溶有溴而呈褐色，尽管在教学中强调是因为溶有溴而发生了颜色变化。     

以列维纳斯爱的伦理观解读《奥赛罗》中的人物形象

《奥赛罗》以嫉妒、盲目、报复为主题展现人类在命运面前的无能与无助。列维纳斯的伦理观把爱作为伦理的基础,强调他者的不可知性和他异性是自我对他者回应和负责的根本原因。只有忘我的以他者为中心、对他者敞开心扉才能让爱的伦理关系存在并延续。借助列维纳斯的爱的伦理观阐释《奥赛罗》三位主要人物对爱的不同处理方式,可以揭示出导致人物之间伦理关系破灭和导致的爱消失的原因,再现莎士比亚这位文学巨匠的超前历史眼光与社会责任感。     

提高"中国近现代史纲要"课程教学实效的探索

在高校开设"中国近现代史纲要"课程,体现了党和国家对于高校思想政治理论教育的重视。但是,"纲要"课程开设之后的教学现状却并未令人满意。针对教学中存在的问题,我们就增强"纲要"课的理论性和学术性,活跃课堂气氛,进行开放式教学,加强师资队伍的建设,发挥教师的主导作用和挖掘历史资源,加强学生的社会实践等方面进行了以提高教学实效为目的的探索。     

提高“中国近现代史纲要”课程教学实效的探索

在高校开设“中国近现代史纲要”课程,体现了党和国家对于高校思想政治理论教育的重视。但是,“纲要”课程开设之后的教学现状却并未令人满意。针对教学中存在的问题,我们就增强“纲要”课的理论性和学术性,活跃课堂气氛,进行开放式教学,加强师资队伍的建设,发挥教师的主导作用和挖掘历史资源,加强学生的社会实践等方面进行了以提高教学实效为目的的探索。     

大学校园“边缘区现象”引发的思考

随着时代的发展,大学校园和城市之间逐渐产生了一个特殊的区域,即所谓的大学校园“边缘区”。以系统分析法对由边缘区地段的特殊性引发的“边缘区现象”的成因,特点及发展方向进行深入的思考．     

人-自观念演进的否定之否定

在人与自然界的关系的演进过程中,形成了与不同文明时期相适应的人-自观念。从"天人合一"到"人定胜天"再到"和谐共生",这是人-自观念演进的肯定、否定、否定之否定的辩证发展过程,也是一个合乎规律的过程,它们都是时代的产物,都包含着不同程度的合理的因素,我们必须对它们进行具体的辩证的分析。     

完善航空公司安全管理职能的若干构想

传统的航空公司安全管理模式存在一定缺陷,不利于构建安全质量管理体系。通过完善组织机构、理顺关系,统筹兼顾地抓好风险管理,强化激励机制,完善安全保证手段,可以充分发挥安全管理部门的各项职能,有力地推进航空公司安全管理体系的建设。     

2001年全国高考数学选择题的多种解法

选择题是标准化试题的主要题型,在高考数学试卷中,所占分数比例高.考生能否迅速、准确、简捷地解好选择题,成为高考成败的关键.如何提高解题速度,确保做题质量,这就要求考生有合适的解题方法和技巧.下面就2001年高考选择题的多种解法进行分析.     

加州大学的治理变革及启示

从控制走向协调,以治理代替管理,既是世界高等教育改革的趋势,也是美国公立大学一直努力的方向,而加州大学则是将这种努力践行得较为彻底的一个成功典范.这种努力具体表现为加州大学一方面通过与政府签订协约、引入市场机制、寻求校外群体的支持等形式来弱化政府的管制色彩,另一方面又充分发挥董事会、学术委员会等治理机构的协调作用,为大学自治提供一系列的缓冲与保护.