反常积分与无穷级数收敛性关系探析

反常积分与无穷级数是《数学分辛斤》中的重要内容,其收敛性在本质上有着密切的联系,这为我们提供了进行平行类比学习的理论依据,但也应该看到二者的差别,即无穷积分∫a＇f（x）dx收敛却未必有lim x→∞f（x）=0.为此,讨论了无穷积分∫a＇f（x）dx收敛则lim x→∞f（x）=0的若干充分条件。     

奇、偶函数的定积分浅析

一元函数，在[-a,a]上可积，若f为奇函数，则∫a,-af（x）dx=0,若，为偶函数，则∫a,-af（x）dx=2∫a,0f（x）dx,定积分的这一性质．常常可使积分简化．本文将这一性质推广到多元函数的积分中去．     

函数极限定义课堂教学的探讨

本文主要就极限定义中的小正数ε与正数δ关系（或小正数ε与正数x关系）探讨了几种教学方法：（1）由x→x0（或x→∞）时f（x）→A的实例，引出定义中的ε与δ关系（或ε与X关系）；（2）由y=f（x）的图形进行分析找出定义中ε与δ关系（或ε与X关系）；（3）由证明lim↓x→x0f（x）：A（或lim↓x→∞f（x）=A）找出ε与δ关系（或ε与X关系）。     

无穷积分被积函数的极限问题

目的:讨论无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→ ∞时的极限情况.方法:利用函数f(x)在[a, ∞)上一致连续的一些性质和结论.结果:给出了无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx的被积函数极限lim/(x→ ∞)f(x)=0的一些条件及其证明.结论:无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx收敛时被积函数极限xli→m ∞f(x)=0必须附加一定的条件下才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的.     

两个重要极限公式的几种变化形式

《高等数学》微积分学中有两个重要极限公式lim x→0 sin（x）/x=1和limx→∞（1＋1/x）^2=e.表面上看这两个公式只是解决了部分x→0时0/0型和x→∞时1^x型极限的计算问题。实际上由于这两式个公是高度抽象的,它们的含义非常深刻。     

一个重要积分不等式的证明、推广及应用

利用定积分定义直接证明和推广了文献[1,2]中的一个重要积分不等式φ（1/b-a∫a^bf(x)dx≤1/b-a∫a^bφf(x)dx）,并应用它推广了文献[2,3]中的一些积分不等式。     

对积分号和极限号可交换问题的讨论

在 Riemann积分的范围内，为了使积分号和极限号可交换，即 fn(x)dx (1)对一致收敛的 R可积函数列 {fn(x)}能成立，一般要加上一致收敛这一充分条件，即当 fn(x)在 [a,b]上一致收敛于极限 f(x)时，就能保证 f(x)在区间 [a,b]上可积，并且等式 (1)成立，这一条件不但非常苛刻，而且检验起来也不方便，这样使积分与极限的交换问题不能顺利解决 (参看注 [1])。 R积分的这种缺陷使 Lebesgne积分得以产生和发展。这里我们不讨论 R积分的这种缺陷，而是在 R积分的范围内，对积分和极限可交换问题中的一致收敛性进行讨论，也就是看一下一致收敛…     

浅析求当x→∞时函数f（x）的极限的误区

高中新教材《数学第三册》（选修II）增加了求函数的极限的内容，为学生以后学习微积分知识打下基础，但不少学生在求当x→∞时函数f（x）极限时，往往因为对定义理解不透，或把它和数列的极限求法混为一谈，因而出现各种各样的错误解法。下面略举几个例题来谈谈学生在求x→∞时函数f（x）的极限过程中出现的误区。     

用函数(sinαx)(πx)的极限表示Dirac δ(x) 函数及其一个应用

证明了x的函数sinαx/πx的极限limα→∞ sinαx/πx可以表示Diracδ(x)函数，并用它将动量本征函数进行了δ(x）函数归一化。     

公式lim〔1+(1/x)〕~x x→∞=e的应用探讨

我们知道在极限运算中,公式lim〔1+（1/x）〕^x x→∞=e占有比较重要的地位,常用于求1∞类型的未定式的极限,而几乎所有中高等数学教材都采用拼凑法来解决问题,即主要利用换元法把问题转化为公式形式,再去套用公式.这种方法虽然能解决大部分较简单习题,但它具有一定的机械性和局限性,如求lim（1+1/（3x2-2x+1））^5x2-2 x→∞,这一极限运算符合公式的要求,但硬套公式则要费尽周折;又如求lim（1+2x）^3/sinx x→0,这种极限与公式相似,但与公式有一定的差距,看似可以用公式解决,但用公式又是不能解决的.鉴于这一公式的缺陷,能否找到更灵活、更全面解决问题的方法呢?本文通过假设并证明一个命题,探讨一种新的解法.     

某类定积分的一个简便计算公式

定积分的计算类型很多。要熟练地进行定积分的各种运算 ,就需要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握。文章就∫a-af(x)dx　 (f(x)为 [-a ,a]上的奇函数 )展开讨论 ,使出此类定积分的一个简便计算公式 ,使定积分运算简捷而巧妙。     

积分中值定理的推广

积分中值定理在一般的《数学分析》教材中是这样叙述的：当f(x)在[a,b]上连续时，有baf(x)dx=f(ξ）（b-1)，其中ξ∈[a,b}本将对该结论做一点推广，即当f(x)在[a,b]上连续时，有baf(x)dx=f(ξ）（b-a)，其中g∈（a,b)。     

含有[X]或{X}的方程的解法

针对含有[x]或{x}的方程，给出形如[ax b]=cx d的解法；{ax b}=cx d的解法；[ax b]=cx^2 dx c的解法；以及同时含有[x]及{x}的方程的解法。     

概率 频率 比率

最近有机会拜读《中学数学教学参考》文[1]、[2]关于高中数学新教材中“概率”部分的论述，很受启发．但美中不足的是，文[1]将事件A的概率简单地理解为频率的极限，即P（A）=lim n→∞ μm/n．甚至建议在概率之前加入数列极限的知识，从而利用数列极限来定义概率．笔者认为这是一知识性错误，有必要在此给予阐述，与同行商榷．     

含参变量积分的性质

设函数f(x，y)在矩形Ra≤x≤b，c≤y≤d上连续，如果把y固定为y0∈[c，d]，函数f（x，y0)就成为一个变量x∈[a，d]上的连续函数了，则I(y0)=∫a^bf（x，y0)dx就是一个唯一确定的数，这个数与y0有关，当y在[c，d]上变动时，所得到积分值一般是不同的，记为I(y)=∫a^bf(x，y)dx它是y的函数，其定义域为[c，d]，称积分∫a^bf(x，y)dx为含参变量积分，自变量为y。     

重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e的推广形式及应用

将重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限。给出了其的求法．运用此法求该类极限十分有效．     

二重积分对称性的应用

在讨论二重积分问题时，常常利用其对称性以简化运算或证明某些结论。总结如下： 命题1 设函数f（x，y）在平面有界闭区域D上连续。 （1）若区域D关于y轴对称，则f（x，y）dσ＝ （2）若区域D关于x轴对称，则f（x，y）dσ＝ 证 （1）积分区域D关于y轴对称，D：f（x，y）dσ＝dyf（x，y）dx。当f（x，y）关于x为奇函数时，f（x，y）dx＝0，故f（x，y）dσ＝0；当f（x，y）关于x为偶函数时，f（x，y）dx＝2f（x，y）dx，故f（x，y）dσ＝2dyf（x，y）dx＝2f（x，y）dσ， （2）证略 例1 计算二重积分dσ其中D∶＋1 解 由于积分区域D关于x…     

无穷积分的收敛与被积函数极限之间关系的探讨

文章讨论无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→+∞时的极限情况。方法:利用函数f(x)在[a,+∞)上一致连续的一些性质、结论和一些新颖的实例。结果:给出了无穷积分∫_a(+∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→+∞时的极限情况。方法:利用函数f(x)在[a,+∞)上一致连续的一些性质、结论和一些新颖的实例。结果:给出了无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx的被积函数极限limf(x)x→+∞的一些条件及其证明。结论:若无穷积分∫_a(+∞)f(x)dx的被积函数极限limf(x)x→+∞的一些条件及其证明。结论:若无穷积分∫_a^(+∞)f(x)dx收敛时被积函数极限为零,必须附加一定的条件才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是有差别的。     

均值不等式在高等数学中的应用

作为基本不等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作用。本文从重要极限lim↑n→∞（1＋1/n）^n=e的存在性的证明出发,介绍了均值不等式在高等数学的积分、极限等领域的重要作用。     

闭的实连续统R^—ΩП上的无穷小微积分学（Ⅱ）

在21中陈述了R^-ΩП中区间的分类及测度，得到线段中无穷小微积分的基本公式，用穷举法构造性地列出R^-ΩП的四类不可割的子连续统，π^+－其测度为π^＋、a+ω^-+-其测度为ω^＋－、a-ω^+-－其测度为ω^＋－和π^＋－其测度为π^＋，这里a∈R。在22研究了R^-ΩП中有穷的矩形的测度，首先定义关于dx的连续运算：连续相加 和连续相乘记作 ，得到矩形面段无穷小微积分的基本公式，由矩形面积公式出发证明他（1）实数集合R[a,b]的测度为零，全体实数集合R的测度也为零。（2）m(Φ[a,b])＝b-a，其中Φ[a,b]是R的空集合，这是本文中对Lebesque测度提供的第二和第三个反例，因此应该在R^-ΩП之上建立新的测试论，最后定义了dθ对dx的微商．23和24中将R中序列极限结果的精密化了，极限的结果共分为七类，有不同的波动和点驻型，自变量的极限有更精密的表示，如lim/n→∞n=π^＋≠∞和lim/x&;gt;c∧x→c＝c|n≠ω^-+-c等，对函数的极限点进行了仔细的讨论．25中用极限精确化的方法将R中的函数扩大为R^-ΩП的一个多值或单值函数关系，并对R^-ΩП的函数关系引入极限协调的概念．26中研究了用极限精确化的方法将R中的可导函数在R^-ΩП中的扩大，特别研究了单值扩大的问题，最后定义了dθ（x)对dx的微商。因为实数集合的测度为零，所以27中的R^-ΩП中在极限协调性的条件下对实数集合定义了对实数集合定义了新的测度．在28中首先指出：因为实数集合R的测度为零，所以实数函数f(c)在a和b之间的积分需要重新定义，接着把R^-ΩП中的单值和多值函数的积分定义为一个变量，根据部分量不超过全量的基本原则，并引进了曲边梯形a-b-f(b)-f(a)的本源几何形式的概念，我们证明了有关积分的基本不等式。进一步把实数函数f(c)扩大成为R^-ΩП中的单值和多值函数，再定义其积分，总结了积分方法：正问题的求积分法是求原函数；反问题的求积分法－根据被积分函数f(x)的某些性质，在R中用极限方法估算，随之得到连续函数无穷小微积分的基本公式，在假设a,b,c∈R且a&;lt;b,f(c)是定义在a≤c≤b上的实数函数，并对每个满足a≤c≤b的实数c,f(c)在c点的左极限和右极限都存在的条件下，用极限精确化的方法将f(c)扩大为R^-ΩП中的单值或多值函数，然后证明了积分∫^baf(x)dx可以取到确定的实数值，并得到有关的无穷小微分求和基本公式。这些公式已超出连续函数的范围，本节最后对物理上的右瞬时、瞬时速度和瞬时中的平均速度作了合理的解释，29中做出了七点评述。（1）总结了关于不可分割的连续统的研究。（2）对Zeno的总格言进行了评述，（3）肯定了庄周的无厚不可积的猜想，（4）肯定了Aristotle否认数能够产生一个连续统的猜想，（5）肯定了庄周的不测猜想。（6）在27和28中为R^-ΩП的测度论和积分论提供了的基础，但要使这种测度论圆满，还有很多事情要做。（7）肯定了非标准分析的创始人Robinson所得到的新的推演过程，主要是[2]中所得到的转移原则，具有划时代意义。Robinson把引进新的数学对象的任务交给后人去完成，本文所引进的不可分割的连续元是新的数学实体，回答了数学中的一个根本问题：数量（测度或距离等）是从哪里来的？本文的数学结论是：数学中的测度来源于连续元π^＋、a+ω^和π^＋，这种不可分割的连续元才是数量的实体，它也代表实x轴上空间的实体，而实数只是分割这种不可分割的连续元的没有测度的标签，一条有向直线，例如实x轴，不能被实数点填满，这个结果在数学史上从来没有搞清楚过。