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第42届IMO试题1是一道平面几何题。题目设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明:∠CAB+∠COP<90°. 文[1]给出了一个构思精巧的纯平面几何证明,文[2]给出一个三角证法.笔者在对该题作出研究之 相似文献
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第42届IMO试题解答 总被引:4,自引:2,他引:4
《中等数学》2001,(5):30-32
1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则 相似文献
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第42届IMO试题5为: 在△ABC中,AP平分∠BAC,交BC于P,BQ平分∠ABC,交CA于Q,已知∠BAC=60°,且AB+BP=AQ+QB.问△ABC的各角的度数的可能值是多少? 相似文献
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第42届IMO第2题是对所有正实数a,b,c,证明本文将其推广为对所有正实数a,b,c,及λ≥8,证明证明不等式左边可化为令bc/a2=x,ca/b2=y,ab/c2=z,则 xyz=1.从而只要证明对于满足xyz=1的一切正 相似文献
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本文给出了第42届IMO第二题的一个简捷证明与一个加强,丰富了权方和不等式的使用功能. 相似文献
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第39届IMO试题第一题充分性的证明 总被引:1,自引:0,他引:1
本刊1998年第5期刊登的第39届IMO试题解答中第一题的充分性是采用反证法完成的,本文给出充分性的直接证明. 题目 在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的 相似文献
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《中等数学》1987,(4)
第一试 地点:哈瓦那,日期:七月十日 (每题7分,时间4去小时) 1.命尸。帆)是集{1,2,…,。少爪保持无个点不动的排列的数「{.求证:」a,劣,nZ劣2汁‘”‘一“几忿“<卫二生-业 汤”一工乙。尸。(。犷、·二,!。 2.锐角三角形ABC的顶角山均内分角线交BC边于L,又交三角形的外接圆于万,过L分别作AB和AC边的垂线乙兀和L刃,垂足是K和M.求证:四边形」KNM的而积竹于三角形ABC的面积. 3.命z,,x:,二二n,是实数,满足条州、,2十:22+.二十‘二1.求证:对于何一整数无)2存在不全为。的整数a,,a:,…,。n使得」a‘J蕊无一l,对于所有的整数艺,井且 第二… 相似文献
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第一天1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选点A1、A2,在边CA上选点B1、B2,在边AB上选点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数.如果对每一个正整数n,整数a1,a2,…,an被n除后所得到的n个余数互不相同.证明:每个整数恰好在数列a1,a2,…中出现一次.3.正实数x、y、z满足xyz≥1,证明:x5-x2x5 y2 z2 y5y 5z-2y 2x2 z5=z5x-2z 2y2≥0.第二天4.数列a1,a2,…定义如下:an=2n 3n 6n-1(n=1,2,3,…).求与此数… 相似文献
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第一天1.给定实数a1,a2,…,an.对每个i(1≤i≤n),定义:di=max{aj|1≤j≤i}-min{aj|i≤j≤n},且令d=max{di|1≤i≤n}.(1)证明:对任意实数x1≤x2≤…≤xn,有max{|xi-ai||1≤i≤n}≥2d.(2)证明:存在实数x1≤x2≤…≤xn,使得式①中的等号成立.(新西兰供题)2.设A、B、C、D、E五点中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BCED是圆内接四边形.设l是通过点A的一条直线,l与线段DC交于点F(F是线段DC的内点),且l与直线BC交于点G.若EF=EG=EC,求证:l是∠DAB的平分线.(卢森堡供题)3.在一次数学竞赛活动中,有一些参赛选手是朋友,朋友关系是相互的.如… 相似文献