巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

2004年10月号“二次函数知识竞赛”获奖名单

解分式方程产生增根的主要原因是方程两边同乘以各分母的最简公分母，从而在转化为整式方程的过程中，未知数的取值范围扩大了．因此，解分式方程过程中产生的增根，虽不是原方程的根．但一定是所得整式方程的根．我们可据此讨论含参数的分式方程根的问题．     

分式方程有增根"到底是谁的错"——再论"悟透本质方可游刃有余"

《中学数学杂志》（初中版）2007年第3期《利用分式方程根求参数值》（以下简称文[1]）一文有如下段落： 2分式方程有增根 分式方程有增根，相当于知道了去分母时方程两边同乘以的最简公分母为0，从而求出增根．把增根代人到所化成的整式方程中，就可以求出相关字母的取值．[第一段]     

分式方程验根四法

分式方程转化为整式方程时，未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根．因此，解分式方程必须验根．就初二而言，分式方程有哪些验根方法呢?     

用辩证法看分式方程的增根

解分式方程时可能产生不适合原方程的根,这样的根叫做方程的增根．不可否认,增根的出现给同学们的解题带来了一定的麻烦．然而任何事物都有其两面性,让我们用辩证的眼光看待分式方程的增根．由增根的原因知道,分式方程的增根一定是去分母后所化成的整式方程的根,同时还能使其最简公分母的值为零,据此可以解决一些相关的问题．现举例如下,供同学们赏析．     

例谈分式方程的增根与无解

分式方程的增根与方程无解,它们之间既有本质的区别,也有密切的联系．分式方程的增根是由于去分母将分式方程转化为整式方程的变形中,扩大了未知数的允许值范围而产生的．它可以通过检验决定其取舍;分式方程无解则是因为原方程本身就是矛盾方程,即不论用任何实数代替原方程中的未知数,方程都不成立．原方程有增根不一定无解,     

分式方程的增根与无解

甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程时,把分式方程转化为整式方程这一变形中．由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．比如解方程：     

妙用分式方程增根

分式方程化为整式方程后，由于未知数的取值范围扩大，会产生增根，所以遇到分式方程时一定要考虑增根出现的情况．现举几例加以说明．     

巧用分式方程的增根解题

同学们都知道在解分式方程时，可能产生憎恨，这是因为分式方程中各分式的未知数都有各自的取值范围（即分母不能为零），这些取值范围的公共部分就是分式方程的未知数的取值范围，只能在这个范围内求它的根．但当它化成整式方程后，因去掉了分母，所以未知数的取值范围扩大了，从而就产生了两种情况：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的很不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，这样就产生了增根．由此可见，分式方程的增根一定是所化…     

巧用增根求分式方程中的待定系数

同学们都知道,在解分式方程时,可能会产生增根,增根必须舍去,但利用增根可以求方程中的待定系数．解这类题的解题过程是先将分式方程转化为整式方程。然后根据增根的定义使问题解决．下面分类举例说明．     

利用“增根”求相关系数

解分式方程的一般方法是，通过去分母化分式方程为整式方程．若转化后的整式方程的根，使原分式方程分母的值为0，则此根为原方程的增根．因为增根满足去分母后的整式方程，所以相关待定系数可由增根代入整式方程求得．以下举例说明：     

分式方程的增根不等于无解

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念.两者既有区别,又有密切的联系,主要表现在以下几方面:一、产生增根的原因。解分式方程时,由于去分母把分式方程转化为整式方程变形中,扩大了未知数的取值范围,从而产生了不是原方程的根,叫做分式方程的增根.     

分式方程的根与增根

在解分式方程时通常都是先把分式方程去分母,转化成整式方程,然后求整式方程的解,求解后还要进行验根。那么在教学中学生经常会有这样的疑问:解分式方程为什么必须要验根呢?增根是如何产生的?增根是分式方程所特有的吗?分式方程的根与增根能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根;增根是在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0(根使整式方程成立,     

正视分式方程的增根

现行苏科版教材《数学》中指出：如果由变形后的方程求得的根不适合原方程,那么这种根叫做原方程的增根．然而,就是这“不适合”三个字让许多同学费解,究竟增根是什么？增根是怎样产生的？本文结合实例探讨分式方程增根的有关问题,希望对同学们的学习有所帮助．     

利用增根性质解决问题

在初中数学《方程》一章中,有些方程在解答过程中,由于两边平方,去分母或去绝对值符号等原因,产生增根,我们便把它们舍去.但是,增根能使化简后的整式方程成立,这一性质在解决许多问题中却有着不可低估的作用,竞赛中有,有的教师上课已经提出,笔者把它归为两大类,都是利用增根性质来解决的.     

检验增根遗根偶得

一九七七年中国科技大学招生有这样一道试题,解方程(5+x)~(1/3)+(5-x)~(1/3)=5~(1/3)学生不难求出方程的二根是:x=±(10)/9 (21)~(1/2)。但把这两个根代入原方程验算,却要花很大的气力。这里就提出了这样一个问题,解这类根式方程时,把方程两边立方会不会产生增根?如果有增根,又是怎样产生的?     

换元法解分式方程、根式方程的检验问题

初中学生在学习分式方程(方程组)时,课本强调指出;用同一个含有未知数的整式去乘方程的两边,约去分母化为整式方程时,有可能产生增根(增解),因此解分式方程(方程组)必须进行检验。同样,在学习根式方程时,课本明确指出:为把根式方程变形为有理方程,须将方程的两边都乘方相同的次数,就有产生增根的可能,因此解根式方程也必须进行检验。我们知道,解分式方程(方程组),根式方程,有     

分式方程增根的妙用

在解分式方程时,把分式方程化为整式方程后,由于未知数的取值范围扩大,会产生增根,所以解分式方程一定要验根,有的同学由于不验根而出错,因而对增根很厌烦,怎会想到增根还会有妙用呢?现举几例加以说明。     

活用增根性质，讨论参数取值

解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解．若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根应舍去．由此定义可知：增根有两个性质：(1)增根是去分母后所得整式方程的根；(2)增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，结合分式方程“解”的情形，适时运用分类讨论思想和因式分解及配方法，可快捷地确定分式方程中参数的取值，请看以下几例。     

关于分式方程的增根

分式方程是代数方程中的重要内容,但在解分式方程时,有时会产生增根.下面就有关增根问题谈几点. 一、弄清产生增根的原因 因为在将分式方程变形为整式方程时,扩大了未知数的取值范围,所以转化后的整式方程的根有可能不适合原分式方程,即产生了增根. 在什么情况下会出现增根呢? 在将分式方程转化为整式方程时,方程的两边乘以同一个含未知数的整式,而这个含有未知数的整式有可能等于零,因而就有可能产生增根.