数学问题与解答 1989年第1期问题

176.△ABC中,a b e=,(定值),匕A=0(定值),试求△ABC面积的最大值. (四川周余孝供题) 177.若三角形三边成等比数列,求证:以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形.(湖南高成香、陈万龙供题) 178.设A B C二二,二笋>O,求证:‘。。S’普 ,一粤 二。。,誓 (工刀 嘴 z劣)2咬一. 4劣夕z (浙江李世杰供题)‘79·△ABC中,求证:以。。:普、·。一粤、·。二号(”<俨<2,为三边长亦能构成一个三角形.(江苏罗纬供题) 180.设△ABC的内心I到顶点A、B、C的距离分别为二、夕、:,△ABC、△ABI、△刀口了、△〔少月I的外接圆面积分别是S、S:、…     

1990年第六期问题

231.已知四边形ABCD,AD//Bo,刃、F、a、H分别为边AB、刀口、CD、刀通上的点,刀口交丑万,于P,求证丑尸万尸A刀。DG几一、‘-+人一,;二;.丑万刀Ul十入(湖北叶年新供题)232.证明不等式:。。”合C。“合·“S14.,.。。一赢 (湖南>(骊黔赫)’·曾忍江供题)233.设“为任意自然数,求。1OO的最后三位数(即百位、十位和个位数).(上海曲智明供题) 234.设a,、a,、…、a。同号,且a,>aZ>…>“一”邓,试证:燕“飞时一>忽‘时一‘约定气+,=a,). (江苏罗纬供题) 235.设fl(二)=二十〔奋石一〕,人(二)=fl(人_,佃))(。)2),其中无是大于1的整数,〔如是…     

1991年沈阳市数学奥林匹克学校高一年级培训班入学试题及解答

一、填空题1.设集合A二{夕ly二2x2一2‘一3},3xJ一14x3+10x2+14x+3二0.设a:,aZ,…,a。,…〔N.称+一一一工一一一一是无穷连分数.例如,口z+ 1“吕十—a‘+.”订丁=1+(训丁一1)=1十二1+ 12+(记丁一1)=1+2+ 1训丁+1 1 1。,i‘个-一一-2+,·,其中a;,a:,a3,一分别是1,2,2,·… 试将侧了也写成无限连分数,并写出ax一口2一aa- 四、边长为a,b,动勺三角形的三个顶点的坐标值都是整数,R是三角形外接圆半径.求证:abc》ZR. 五、在△ABC中,乙C=3乙A,BC=9,AB二16.求AC的长. 六、圆内接四边形ABC刀的内切圆的圆心是O‘求证: 1OD2.1一OBz 一一1一…     

数学问题与解答

66.如图,四边形ABCD。四边形通刀:C:D:。四边形B:B:C:D:,…。四边形万,_:刀几Do.求证:AD+DC+CB二AD一+DICI+Cl丑,+BID:+刀:C:+C:万:+一+B。_一D.+D.C.+CoB. _C。卜长{q介月乃.落厂~落万一8(湖北叶年新供题)67.证明不等式:。(~一1)<,十合+合十·…斋<一 九一1”一,了万(价少3). (湖南付杰供题) 68.若实系数方程护十哪+2乙二。的一个根在0与1之间,另一根在i与2之间,求(b一2)/(a一l)的范围. (河南刘道金供题) 69.求证:直角四面体(一个三面角的面角都为直角的四面体)的非直角的二面角之和大于枷/4而小于龙 (湖南沈文选供题) 70.…     

一个不等式的证明及应用

定理设n任N,n)2,。r,t,s>0,a气+a头+…+a二=A,a互a蚕十a妥a匀+…+‘试~B.则 月下~,~r十,十‘D乙一共=二),兰一亩=工乃一“矛刀一l(1)等号成立的充要条件是al~a二证明令氏-a下+‘A一可,i一1,2,…,二,则b,簇热簇…簇b,.(用视差法可证)又a’l簇姚落…(试,由排序原理知云。:。‘)习。:。‘+,,j一:,2,…,,一1.(z) i=l矛,1(k>,时,约定b一b卜.).(2)中各式相加得 (。一1)e)习(,一。:),‘一万a:+1.(3) ‘,l亩.1其中C表(z)左边.因a互蕊a笼蕊…镇a二,a二镇a岌…簇心,故艺。户一艺。:.。渗‘姚+。诚+…+a二a悦=B.(4)(4)代入(3)得C)典n—1,此即(l)式.…     

凸四边形绝对值方程又一形式

②中给出凸四边形的一般形式.本文给出另一形式,它不含二重绝对值(符号). 引理若A(a,b),B(c,d),C(e,f),D(g,h)是凸四边形四顶点,令川刊川|川fd人尸‘g 一一 D弓.人,工‘.几bd召心g 一一 D 0. 笋D oD 事实上,因A,B;C,点,D:,D:非零且异号,0}D为凸四边形顶故,上︸.上‘.工11b d fh口c eg 一一 D D一}D,iDZ一}DZ}D,尹0. 定理凸四边形ABCD顶点为A(a,b),B(。,d),C(e,f),D(g,h).则其绝对值方程可写为 }a:x十b,y十‘,1+rlaZ二十饥y+。:}+a3x 十b3少十e3一0.(*) 其中a,,b,,。.,r(i~l,2,3)可由a,b,…,g,h确定. 可仿③定理l的证明.现举一…     

1993中国数学奥林匹克(CMO)

一、设n是奇数.试证:存在2n个整数al,由,””久办,瓦,…,b.,使得对任意一个整数k,o相似文献   

1985年第1期问题

61.证明:如果三角形三边的平方成等差数列,那么这个三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真. (安徽黄全福供题) 62.试将(a,+bZ产(”为正整数)或(a,一b:).表成两个整式的平方和或平方差. (福建李昌斌供题) 63.在复数域内解方程组工+夕+:=3-x告+夕2+习,=3,劣6+y‘+名5二33. (甘肃韩毅供题) 64,求证:四面体任意两个面面积的平方和减去这两个面的面积及其所夹二面角余弦之积的两倍,等于其它两个面面积的平方和减去这两个面的面积及其所夹二面角余弦之积的两倍。 (江苏辞大庆供题) 65.已知:p为非钝角△ABC所在平面上任意一点,△AB…     

一道题的错误解答的改正

本刊89一9期《高中代数系列复习训练题》一文中有这样一道题: 设数列{a,}中,a,=3,a。十,=25。+Zn+1(n任N),S。二a,+aZ+…十a,求该数列的通项公式. 该文给出的简解如下: 解:,.’a,+:=25。+Zn+z, .’.a、=25。一i+2(n一1)+1, .,.a。+:一a。二Za。+2, …a”+:+1二3(a。+1), …a。+i=3钻(3+1)一1…。。一4·3。一‘一1.气 事实上,由a:=s,a,十;=25。+Zn+1(:任N)可得 a,=9, a3“29, 而由a、二4x3’‘一工一1,则得a,=11,a、=35,·…显然,a?‘=4 x3”一1一1不是原题的正确答案. 现笔者作如下解答: 解:,.’a。+,=25二+2,:+1 (刀〔N)。 (下转第27…     

1993年亚太地区数学奥林匹克试题

1.如图,四边形ABCD各边相等,且匕ABC为600.直线l过D点,但与四边形A方CD。~max(1。.、,},}。.}证明:手成,+‘·,…,}‘。)}.不相交(D点除外).1与AB,BC的延长线分别交于E,F.M是CE与AF的交点.证明:CAZ一CM x CE.2.对于实数x(0簇x镇100),求函数f(二)一〔二〕+〔2二二+巨粤〕 O 十〔3x习+g4x〕所取的不同整数值的个数.3.设f(x)~公了十a二x”十…十a。,g(x)一‘。一:工”一’十‘.犷+··一向均是实系数的非零多项式,且对于某实数r有g(二)一(x+:)f(.T).如果a=max({a,},}a二{,…,}a。}) 4.求出使得方程 x,十(2+x)’十(2一x)’一0具有…     

1981年第四期数学问题

1.已知sinα=xsin(β-γ),sinβ=ysin(γ-α),sinγ=zsin(α-β),求证 xy+yz+zx+1=0 (合肥六中柴雍提) 2.在圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,试证:圆心O到一边的距离等于对边之长的一半。 (浙江师范学院舟山分校俞朝晖提) 3.求以(0,0)、(x,0)、(x,y)为顶点的所有三角形面积之和,其中y=7X~2+3X+1,x∈{x:x=(1/2)~(n-1),n为自然数}。 4.若x∈{x:x=3y,y≤0},试求(-1+|2~(-x+1)-2~(-2x)-2|)~(1/2)的最大值。 (3、4两题,太平县太平中学数学教研组提)     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

几何图形在解题时的应用

借助几何图形的直观,往往可使某些代数、三角题迎刃而解。下面列举数例。 例1设a、乙、c、d都是正数。证明存在着边长为了乙“+c“、了a“+e“+以‘+Ze改、了‘“+乙2十d’+2a乙的三角形,其面积可以表达为含。、b、c、d的有理式。 证明:以“十b和。+d边长作一矩形,如图所示的△ABC,其三边BC二侧b“十。“;A召二了(:+砰下万‘二侧。2几‘十d‘十Zcd;月C=了(::+b)“+aZ二了‘“+b“+d“+Zob, 此时S。、:。=矩形面积一外侧三个直角形面积=(a+b)(e+d)一士〔a(c+d)+吞。+d(a功)〕 =士(。c+乙c+乙d)。由于a、乙、‘、d皆为正数,所以士(Qc+乙…     

美国数学竞赛题和解答

第七届(1 9 78年),已知。、b、。、d、e为实数,且满足a+乙+c+口+e二8,a:+bZ+c艺+d,+已2== 16试确定己的最大值。 解:对于一切实数二、:,不等式2x,三二2十yZ成立,并且当且只当:二,时取等号。下面,我们要多次用到这个不等式,只不过是将。、乙、c、反来轮流替换二、夕罢了。由题没条件可知 (8一约2二(口十b+‘+d)2 二尹+b名一卜产+d之+2口b+宕a‘ +2‘d十2乡c一于Zb己十Zc叮三(al+乙,+c“+dZ)+(。2+乙“) +(aZ+c“)+(aZ+dZ) +(乙忿+cZ)+(乙“+d名) +(cZ+dZ) =4(aZ+乙2+cZ+dZ) =4(16一e艺),.’. 64一16￡+eZ三64一4。艺,即5e2一16e三0,由…     

三角形的一个面积公式

..孟,几心.‘在解析几何教学中,我们碰到下列习题 求直线Zx+,==7,5二一59=1,二一su”9围成的三角形的面积。 解此题可先求出三个顶点的坐标,再用 1戈:y:1}面积公式“二引丸如1}的绝对值计 1戈:g。1}算即可。 由此,我们联想到这个问题的一般情况. 问题如果三角形的三条边所在的直线为月B:a:二+b:刀+c,=0,刀C.a:二+b:夕+c:=o,CA:a:x+b沼+c:=0,那么试从而,二一…c Ic:c·}月:B:C:As B3 CsA xB一CI,.’.’.巳知的三条直线围成三角形,“卜“:、“。中至少有两个不等于1一叭零.不妨设a:沪0. IA,B‘c: 则{A,BoC。 !A:B:C:"乙 An甘八U1一…     

数学问题与解答

1984年第5期问题解答~二a+b_01.石忿犷一订~ .月ee口迪0一C己十a心eea(*)证:由合比定理,得sinA+sinB+sinC sinZA+sinZB+sinZC求证:(1)a二+,+b,.+,+ea.+,二O; (2)a.件+,+b二+,+心5.+,=o; (3)la二卜}bs.卜}ca”}(”〔J). 证:由条件(.)知。、b、c两两不等,且动。铸。.,,,、、~二.、.,一_,。ab口、...一对(·)式用合分比定理得于=芬二份=x钾1,从而 ,一、,··~,,!~~一‘J b ca Sin口对于三角形,已知有sinZC。in、+sin。+s‘。c一景,c=a忿,b“此=a砂,a二比=盯3 。inZ通+sinZB+s还ZC=2S‘/R.,其中p是三角形的半周,R是它的内接圆半径.因…     

每期一题

题:椭圆苏+拼,(a>。>0)与!轴、y轴正方向相交于A、B,在第一象限的椭圆周上求一点C,使四边形的OACB面积最大,最大面积是多少? 解法一连AB,设C(x。,g。),C点到AB的距离为h, 则S。,。:二S‘,,。+S‘J,。二告ab+告}ABI·无二告(ab+训a泛不石万.h) :.5。刁。,的面积与h同取极大。直线AB的方程是:bx+ay一ab二0,气,=一“/a。过C点平\斗行AB的椭圆的切线方程是bZx:。+aZy双。一aZb么=0则b“x。2丰aZ夕。2二a 2b2,连OC-则S。,。,,了。。,。+S‘,:,=一参(a夕。+bx。)① (a少。+bxJ)2+(ay。一bx。)2 二2(a“召。“+b么戈。2)=Za“bZ·‘…     

一个不等式的推广

_~‘___.2匕知a、O、‘夕U,则下〔万二~十 口,~‘ 2c+Q.三卜a+b气击、.这是一个常见的不等式·本文将证明它的推广形式‘’‘· 引理设a‘>o(s二1,2,…,n),二(N,S二ai+a:+…+a.,则有不等式(”一1)s用》(s一a1)m十O一aZ).+…+(s一a。)二 证:对。用数学归纳法.当。=1时,左边二(ft一1)s,右边=(s一a,)+(卜aZ)+…十(卜a.)二(移一1):.命题成立.假设二=权>1)时命题戍立,即(。一1)s‘)(s一a,)‘+(:一a:)‘+…+(S‘u。)“.那么(。一1)s为+i=[(:一a:)而+…+(s一a.)‘]·,‘》(s一a,)寿+,+(S一a:)人+‘+…+(卜a,)k+1.故命题对任意自然数。都成立. …     

错在哪里?

一、浙江临汾县杜侨中学郑美罗来稿 题:△刀刀C一卜,乙B=士二,_注}A川=b,!RCI=。(a>b,a、b分别为定值),顶点A、C分别在戈轴和y的正方向上滑动,且月BC为逆时针方向,求顶点B的轨迹。 解:如图一,设动点刀的坐标为(二,夕)。丫匕AOC十乙月BC二二,戈二、念,、一;一即、在厂“,J,=a;当O=“一alc‘g}即顶点爪F.’ a2二=侧。犷布砂礼时.’.O、A、B、C共圆。设匕BAX=O,则匕BCO二O,劣=asin乙B口O=:、ino,=6sino。消去参数,得 ,二b丸 a>b, 因此,顶点刀上的一段,。::一b ab,(工久侧a‘+石2火、/。,十尸(\叽的轨迹为过原点一条分全线二(万年…     

一九八六年全国高中数学联合竞赛参考解答

第一试一、选择题 ‘·(”,·取特殊值“一子,“一0代入,否定‘、t),‘B),(C),从而肯定(D)对. 2.(B). ,.’z为复数,…:一l也为复数. 令‘=“一l=“一卜bt’,则已知条件可变为中不共面的棱共三对,如图中的AB与cD,AC与BD,BC与、ID.这三对棱长分别相等时为此题所求,故应选(A). 5.(刀). 此题可用画图作出,如下图所示. 故x一。或、二:. 从而,。一b一。或b~o,此,二二:十l为实数. 3.(D). 了az一be一吕a一卜7=O,得x为实数.因Lb“+c艺+bc一6a+6=0。②一①,整理得 b+。=士(a一」).又由卫,得 b。=aZ一sa+7_ 此题还可通过分析导出一般的公式: 若…