三谈等轴双曲线的典型性质

贵刊曾在2000年第5期和2006年第7期分别刊登了本人的拙作《等轴双曲线的几个典型性质及其证明》和《再谈等轴双曲线的典型性质》,经进一步深入研究,笔者发现等轴双曲线还有另外的一些典型性质,现一一列出,并给出证明.     

等轴双曲线的一个性质的推广

等轴双曲线有很多性质,与等轴双曲线相关的命题也是多种多样。在文中就等轴双曲线的一个性质及其推论的证明进行介绍。以期对等轴双曲线有一个更加深刻的认识。     

双曲线生成的旋转曲面

讨论不同类型的双曲线绕其渐近线旋转生成的旋转曲面方程,其中包括双曲线为等轴双曲线的情形;双曲线为实轴长大于虚轴长的情形;双曲线为虚轴长大于实轴长的情形.并分别通过方程讨论这些旋转曲面的一些相关性质.     

再谈等轴双曲线的典型性质

文[1]给出并证明了具有高度对称美的等轴双曲线所独有的五个典型性质.经过本人的进一步研究,发现等轴双曲线还有另外几个典型性质.下面一一列出,并加以证明.性质一等轴双凸线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直.证明:如图1,设等轴双曲线 x~2-y~2=a~2     

等轴双曲线和圆相交时的几个优美性质

在高中数学新课程人教版《数学》（必修2与选修1—1）中，对圆及双曲线的特例——等轴双曲线虽都有涉及，但没有进一步探求它们的相关性质．事实上，等轴双曲线和圆不但图象都具有高度的对称美，而且当它们相交时还具有一些优美的性质．下面列出其中几条，并加以证明．     

关于双曲线xy=k（k〉0）的探究

笔者在引导学生进行高三总复习过程中。发现学生对特殊等轴双曲线xy=k（k〉0）的性质很是生疏,解题时不知何处下手,     

“优双曲线”性质的探究

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(上)讲述了一般双曲线的性质,本文针对特殊的双曲线做进一步的探讨和研究.为行文方便,我们规定:离心率e=(5~(1/2)+1)/2的双曲线为优等双曲线,简称优双曲线.通过探究可以得出优双曲线的以下性质.性质1 双曲线是优双曲线的充要条件是以双曲线的实轴的一个端点及离它较远的焦点为直径的圆过双曲线的虚轴的端点.如图1所示,双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1的左顶点为 A,右焦点为 F,B 是虚轴的一个端点.     

再谈双曲线焦点三角形的若干性质

以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的两个焦点 F_1、F_2及双曲线上任意一点 P(除实轴上两个端点外)为顶点的△PF_1F_2,叫做双曲线的焦点三角形.双曲线的焦点三角形有一系列耐人寻味的性质,这些性质深刻地揭示了双曲线的一些有趣的几何特征.     

双曲线中"虚近点"的一些性质

笔者经过研究发现双曲线的渐近线与一些特殊直线的交点有着特殊的性质,本文就此谈谈双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a>0,b>0)的渐近线与直线y=±b交点的有关性质.     

有心圆锥曲线的一组性质的补充与推广

张淑萍在《中学数学教学参考》1999年第 9期《有心圆锥曲线的一组性质》一文中给出了有心圆锥曲经的一组性质 (如图 1所示 ) :性质 1:若双曲线 C1 的弦 PQ和实轴 A′A所在直线垂直 ,则直线 A′P与直线 AQ的交点的轨迹是以已知双曲线 C1的实轴为长轴 ,虚轴为短轴的椭圆 C2 (以下简称椭圆 C2 ) .性质 2 :若双曲线 C2 的弦 PQ和实轴 A′A所在直线垂直 ,则直线 A′P与直线 AQ的交点的轨迹是以已知椭圆的长轴为实轴 ,短轴为虚轴的双曲线 C1 (以下简称双曲线 C1 ) .性质 3:若双曲线 C1 上任意一点与两顶点 A′,A的连线与椭圆 C2 相交于…     

有心圆锥曲线的一组性质

在《平面解析几何》的教学中,我发现椭圆和双曲线有这样一组性质．性质１若双曲线Ｃ１的弦ＰＱ和实轴Ａ′Ａ所在直线垂直,则直线Ａ′Ｐ与直线ＡＱ的交点的轨迹是以已知双曲线Ｃ１的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆Ｃ２（以下简称椭圆Ｃ２）．图１证明：不妨设已知双曲线Ｃ...     

讨论直线与圆锥曲线位置关系时应注意之点

双曲线的渐近线有两个特殊性质,它使直线与双曲线位置关系的判定和直线与其它圆锥曲线位置关系的一般判定有所不同.现将这两个特殊性质及证明叙述如下:性质1 与双曲线的渐近线平行的直线(不包括渐近线),和该双曲线只有一个交点(即直线方程和双曲线方程所成的方程组只有一组实数解).     

与双曲线渐近线关联的一组有趣性质

<正>双曲线的渐近线作为和双曲线位置关系最为特殊的直线，有着它自身所独有的一些典型性质．本文以双曲线C:■(a>0,b>0)为例，介绍并推导一组与渐近线有关的有趣性质，其中有的性质甚是优美，我们既可以从解题的角度分析、运用它们，也可以从数学美的角度去欣赏它们．     

双曲线切线的几个典型性质及其证明

在对直线与双曲线位置关系的研究中,笔者发现,双曲线的切线作为和双曲线位置关系最特殊的直线,有着它自身所独有的一些典型性质.下面给出其中的几条,并加以证明.性质1双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线,平分该点处两条焦半径的夹角.证明如图1,设双曲线方程为图1x2a2-y2b2=1,F     

巧用三角形剖析双曲线的几何性质

<正>双曲线几何性质的内容繁而杂,学习后,从领会性质及应用性质两方面都存在一定的困难,这里我借助一个三角形对双曲线的几何性质进行剖析.1三角形的构建及其三边的几何意义双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的图象如图1所示,过实轴的     

“黄金椭圆”的几个有趣性质

在研读了双鹂先生的论文《有趣的“黄金双曲线”》的基础上,对“黄金椭圆”的性质做了一些探讨,旨在使这类特殊的圆锥曲线的性质研究更加完备.     

二次曲线定垂轴弦的一个性质

我们把垂直于二次曲线对称轴的弦称为它的垂轴弦.二次曲线的垂轴弦有许多性质,以下分椭圆或双曲线、圆、抛物线几种情形给出它们的垂轴弦的一个性质.     

“优双曲线”性质的探究

全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）讲述了一般双曲线的性质，本文针对特殊的双曲线做进一步的探讨和研究．为行文方便，我们规定：离心率e=√t＋1/2的双曲线为优等双曲线，简称优双曲线．通过探究可以得出优双曲线的以下性质．     

浅探“优美双曲线”的一些有趣性质

我们把离心率为槡((5)~(1/2)+1)/2的双曲线叫做优美双曲线.优美双曲线有一些有趣的性质,本文列举其中的一些性质,并给予证明.     

一道中考试题的延拓及证明

文章从一道中考试题的选项提出问题,追寻问题本源,借助坐标法给出相应结论,并进一步推广得到等轴双曲线的一条性质.