三角形内关于外接圆半径的美妙性质

本文主要给出并证明了三角形关于外接圆半径的一组优美性质.     

如何求三角形的内切圆与外接圆的半径

同学们常常会遇到求三角形的内切圆与外接圆的半径的问题．在知道一个三角形的三边长的情况下，如何求此三角形的内切圆与外接圆的半径呢？现举例如下：     

关子三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式，这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1429题（2003年第5期）与1531题（2005年第2期）．     

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法探究

在初中教学中,圆与三角形都属于”空间与图形”领域中很重要的内容,这些知识对于培养学生的数学能力,形成数学的思想方法具有重要的价值,同时这两者之间有着密不可分的关系,对于任意一个三角形来说,三角形是圆的内接三角形或是外切三角形．而对于圆来说,三角形必定有它的外接圆和内切圆．那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？     

巧用三角形外接圆

任意一个三角形都有外接圆,但人们往往只见三角形,不见其隐藏的外接圆.笔者发现了一些能利用三角形外接圆巧妙地解决的问题,现举例如下.     

与三角形外接圆半径有关的基本图形

在解关于三角形外接圆的题目时,我们经常会遇到与之有关的半径问题,我对这类问题的基本图形进行了归纳,觉得它对提高我们的解题能力大有帮助．     

四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法

已知三角形的三边,如何求三角形的外接圆半径R和内切圆半径r？     

外接圆一定的整边三角形

在直径为整数的圆的内接三角形中,有多少三边都是整数的三角形(整边三角形),如何求出它们,是一个较困难的问题.本文通过两个引理,给出整边三角形的一种求法.引理1 若整边三角形△(a,b,c)的外接     

巧作三角形的外接圆证题

在处理某些看似与圆无关的三角形问题时,若能根据题意巧作三角形的外接圆,则可应用圆的有关性质,简便快捷地将题目证出.下面举例说明.     

一道解三角形题的多视角探究

加强对与解三角形有关问题的多视角探究,一方面可以促进学生对解三角形与三角形全等、三角形相似及解方程等知识的灵活运用,另一方面可以有效渗透数形结合思想、转化与化归思想,提高学生推理能力和运算能力,进而提升数学核心素养。     

有约束条件的完全四边形与数学竞赛题(下)

4 不相交两条对角线为圆中不相交弦的完全四边形 例4 在完全四边形ABCDEF中，B、C、E、F四点共圆（⊙O），点肘为完全四边形的Miquel点。[第一段]     

一道几何题的深入探究

题目 如图1，已知ΔABC的外接圆⊙O，D为边AB上一点，⊙I与线段BD、CD、⊙O均相切，⊙J与线段AD、CD、⊙O均相切．证明：若A、B、I、J四点共圆，则D为边AB所对的ΔABC的旁切圆的切点．     

正三角形外接圆周上点的性质的推广

众所周知 ,正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离 ,其最长者必等于较短二者之和。若将其推广到一般的三角形 ,则得 :定理　Ｐ是△ＡＢＣ外接圆上一点 ,Ｐ与Ｃ在ＡＢ的异侧 ,则ＰＢ·ｓｉｎＢ +ＰＡ·ｓｉｎＡ =ＰＣ·ｓｉｎＣ ,证明　连结ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ ,由托勒密定理 :ＰＢ·ＡＣ +ＰＡ·ＢＣ =ＰＣ·ＡＢ。在△ＡＢＣ中 ,设它的外接圆半径为Ｒ ,由正弦定理得 :ＡＣ =2Ｒ·ｓｉｎＢ ,ＢＣ =2Ｒ·ｓｉｎＡ ,ＡＢ =2Ｒ·ｓｉｎＣ ,将它们代入上式得 :ＰＢ·ｓｉｎＢ +ＰＡ·ｓｉｎＡ =ＰＣ·ｓｉｎＣ。推论 1　如下左图 ,Ｐ是△ＡＢＣ外…     

关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^1/2.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明:如图,在△AEF和△ABC中分     

探析高考试题 引导思维延展——从一道高考试题探究圆锥曲线四点共圆问题

圆锥曲线上四点共圆问题是高考常见题型,本文从2021年一道高考试题入手研究,得出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件,并给出此结论的相关应用.     

一道几何题的再探究

<正>~~     

浅析平面向量在三角形外接圆中的简单应用

平面向量作为一种基本工具,在平面几何问题的求解中起到比较重要的作用,在这类平面几何问题中,三角形的外接圆问题一直是学生比较难处理的。如能合理地运用向量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则以及向量平行、垂直的条件,结合平面向量的基本定理这些几何意义,以及三角形外接圆自身的性质,解决这类问题就会比较直接、简单。     

三点共线赛题的多种解法与探究

针对2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试中三点共线问题,挖掘题设条件的几何关系,结合四点共圆、三点共线、平行四边形及相似三角形等知识,进一步探究以平行四边形对角线为直径所得圆的特征.     

对一道家庭作业题的解法探究

<正>~~