关联四个圆的一个恒等式

文 [1 ]给出了关联三个圆的一个结论 :图 1命题　在圆内接四边形ABCD中 ,O、R分别是其外接圆的圆心和半径 ,I1、I2 分别是△ACD、△BCD的内切圆的圆心 ,r1、r2 分别是△ACD、△BCD的内切圆半径 ,O到I1、I2 的距离分别记为d1、d2 .则有R2 -d21r1=R2 -d22r2 .①本文将给出该命题的一个推广 ,得出涉及两个三角形、关联四个圆的一个恒等式 .命题　设△A1B1C1的外心为O1,内心为I1,外接圆半径为R1,内切圆半径为r1,O1I1=d1;△A2 B2 C2 的外心为O2 ,内心为I2 ,外接圆半径为R2 ,内切圆半径为r2 ,O2 I2=d2 .则有R21-d21R1r1=R22 -d2…     

关联六个圆的一个恒等式

定理　设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC内一点 ,△ABC、△ABD、△ACD的内切圆的半径分别为r、r1、r2 ,边BC、BD、DC外的旁切圆的半径分别为r′,r1′ ,r2 ′ ,则( 1 ) r1 r2r r1′ r2 ′r′ =2 ;( 2 ) 1r1-1r1′ 1r2-1r2 ′=4ha.证明 :如图 ,由文 [1 ]可得r=r1 r2 -2r1r2ha,①r′=r1′ r2 ′ 2r1′r2 ′ha,②rr1′r2 ′=r′r1r2 ,③r′×① r×② ,并应用③式 ,得2rr′ =(r1 r2 )r′ (r1′ r2 ′)r,两边除以rr′,即得 ( 1 )式 .r′×① r×② ,并应用③式 ,得(r1 r2 )r′ -(r1′ r2 ′)r =4r1r2 r′ha=4r1′r2 ′rha,两边除以r1…     

关联六个圆半径的一个恒等式

命题　设ha为ABC的边BC上的高,D为边BC上的任一点,且r、r1、r2分别是ABC、ABD、ACD的内切圆半径;设r′、r′1、r′2分别为对着∠BAC、∠BAD、∠CAD并分别与BC、BD、DC相切的三角形的旁切圆半径.则rr′=r1r2 r′1r′2 r1r′1 r2r′2.图1证明:如图1,易知r=Sp,r′=Sp-a.其     

平面凸四边形的一个恒等式

下面两个定理是大家所熟悉的:定理1平面凸四边形ABCD的四边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,面积为S,则当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,即有     

平面凸四边形的一个恒等式

下面两个定理是大家所熟悉的：定理1 平面凸四边形ABCD的四边长为AB=a,BC=b,CD=C,DA=d,面积为S,则当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,即有4S≤√（-a＋b＋c＋d）（a-b＋c＋d）（a＋b-c＋d）（a＋b＋c-d） （1）,当且仅当四边形ABCD内接于圆时,式（1）取等号．     

从平面到空间的类比

由平面到空间的类比推理题,不仅能将初中平面几何知识与高中内容有机结合起来,而且能较好地考查同学们的阅读能力、类比推理能力、逻辑思维能力．以下结合几例谈谈此类题的解题策略．     

从平面到空间的类比思维

类比是数学发现的重要源泉．随着数学课程改革的深入,对学生数学类比能力的考查已悄然升温．本文将对由平面到空间中的有关类比作一些初浅的探讨。     

也谈平面与空间的类比

类比就是一种相似.相似的对象在某个方面彼此一致,类比对象的相应部分在某些方面相似.本文试图对于平面与空间在位置关系,升维与降维的处理方法,平面中四个公式的推广等方面,从相似的结论及解决问题的过程进行类比分析.     

一个恒等式及其应用

恒等式(u-a)(u-b)(u-c)=u~3-(a b c)u~2 (ab bc ca)u-abc,具有式子优美、记忆方便的优点,同时恰当地运用这个恒等式的特征以及恒等式中的u在某些特殊数值时多项式的值,可使解题简便易行。从恒等式的特征来看,当数学问题中涉及三数a、b、c的和a b c与积abc及三数中每两个数的积之和ab bc=ca时,运用上述恒等式解之,显得非常奏效,兹举数例说明。     

平面向量中不得不提的一个恒等式

正高中数学中存在着大量等量关系,如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影,这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门甚至课本上都不出现,但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果,实现对问题的快速秒杀.1极化恒等式     

一个几何恒等式及其对几个不等式的改进

1一个几何恒等式 定理 设s,R,r分别表示△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径,则有     

一个代数恒等式及其应用

本文拟给出一个代数恒等式，并探讨它的一些应用．（1）式虽然简单，但很有用．它既可证明等式和不等式，又可加强不等式．下面举例说明．一、证明恒等式例2设a、b、c是△ABC的三边，△、P、r分别为其面积、半周长和内切圆半径．则证参照文[1]，（2）等价于因此，只要证由（1）、（4）易证（5）式成立．所以（3）成立，从而（2）得证．二、证明不等式例4设x，y，z是正数，则（6）式是W·Janous猜测，下面用（l）给出一个简捷证法．以上三式相加，整理得所以，（6）得证．三、加强不等式此即平均值不等式的加强．用a_i去替代上式中的a_i~2…     

一个三角恒等式及其应用

代入上式即得命题1．以下是命题1的几个等价命题．其中A,B∈R．命题2sin2A sin2B 2sinAsinBcos(A B)sin2(A B)命题3cos2A cos2B-2cosAcosBcos(A B)=sin2(A B)命题4sin2A＋cos2B-2sinAcosBsin（A＋B）=cos2（A B）;命题5cos’A＋sin’B—ZcosAsinBsin（A＋B）一。。S＼A十B）;台四6sin’A＋sin’B—ZsinAsinBcos（A—B）一幻DZ（A—B）;命囹7COS’A＋COS’B—ZCOOACOSBCOS（A—B）＝sin’（a一B）;命囹8sin’A＋cos’B—ZsinAcosBsin（A—B）一COSZ（A—B）;今囹＠。。s’A＋sin’B＋ZcosAsinBsin…     

一个面积恒等式及其应用

<正>三角形塞瓦线背景下有很多有趣的结论.笔者在学习、研究的过程中,关注到一个面积恒等式,利用该面积恒等式简捷地证明或解答了一组几何竞赛题,为一类几何竞赛题增添了一道亮丽的风景线.命题 如图1所示,点P是△ABC内一点,直线AP,BP,CP分别交线段BC,CA,AB于点D,E,F,     

一个重要的恒等式及其应用

完全平方公式（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2、（a-b）^2=a^2-2ab＋b^2的两边相减得 ab=1/4[（a＋b）^2-（a-b）^2]…… 这是一个极其重要的恒等式，它能使我们更便捷地解答一些题目，请看下面的例子．[第一段]     

一个向量恒等式的“四渡赤水”

正~~     

关联六个圆半径的一组恒等式

定理设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC边上的任一内点,且△ABC,△ABD,△ACD的内切圆半径分别为r,r1,r2;对着∠BAC,∠BAD,∠CAD并与BC边相切的这些三角形的旁切圆半径依次是r',r1',r2'.则有     

一个排列数恒等式及其应用

本文先导出一个排列数恒等式,然后举例说明其在数列求和中的应用。我们知道C_m~m,C_(m+1)~m,…,C_(m+m-1)~n分别是(1+x)~m,(1+x)~(m+1),…,(1+x)~(m+n-1)展开式中含x~m项的系数,又     

一个对数幂恒等式及其应用

定理　设x ,y ,a∈R ,且a≠ 1 ,则xlogay=ylogax.证明 :当x =1时 ,等式显然成立 .当x≠ 1时 ,应用换底公式logxy =logaylogax=lgylgx.∴logay·lgx =logax·lgy ,即lg(xlogay) =lg(ylogax) ,∴xlogay=ylogax.这个恒等式简单、对称 ,在处理幂指数上含有对数的表达式的相关问题时 ,可直接“换底”(幂底数与对数真数对换 ) .例 1　求 5 log54 2log3 53的值 .解 :原式 =5 log54 × 5 log3 59=4log55× 9log3 55=42 × 93=1 1 664.例 2　已知a ,b,c>0 ,且均不为 1 ,则alogbc blogca clogab-alogcb-blogac-clogba=　　 .解 :由于alogbc=clogba,…     

祖暅原理的平面类比及其应用

<正>祖暅原理的表述为:"缘幂势既同,则积不容异".翻译成现代汉语就是:夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.本文将其向平面类比,可以得到以下结论:定理夹在两条平行直线之间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的长度(或者截得的两组线段的长度和)总是相等,那么这两个平面图形的面积相等.