平面上两点关于直线或二次曲线位置关系的判定

设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0.     

圆锥曲线的切线公式

定理设P(x_0,y_0)为非退化曲线f(x,y)=ax~2 2bxy cy~2 2dx 2ey f=0所在平面上一点.若过P向曲线f(x,y)=0所引切线存在,则切线方程为: [(ax_0 by_0 c)(x-x_0) (bx_0, cy_0 e)(y-y_0)]~2 =[a(x-x_0)~2 2b(x-x_0) c(y-y_0)~2] ·f(x_0,y_0)。 (1) 证设由P引f(x,y)=0的切线,切点为     

二元二次多项式的配极形式在平面解几中的一些应用

二元二次多项式 F(x,y)=Ax~2 2Bxy cy~2十2Dx 2Ey F 式中,A、B、C、D、E、F∈R 用矩阵表示,即为 定义1 称为二元二次多项式的配极形式。 配极形式F~*(X_0,y_0;x,y)有如下一些性质: (1)对称性 F~*(x_0,y_0;x,y)=F~*(x,y;x_0,y_0) (2)还原性 F~*(x_0,y_0;x_0,y_0)=F(x_0,y_0) 利用矩阵的运算性质,不难证明性质(1)和性质(2)。 (3)设a、b∈R,且a b=1,则     

直线与抛物线的位置关系

求直线y=kx h与抛物线y=ax~2 bx c的切点坐标,需要解方程组 y=ax~2 bx c, y=kx h. 此方程组有没有解?如果有解,又有几解?这是直线与抛物线的位置关系问题.这个问题可通过以下方法解决: y=ax~2 bx c, y=kx h ax~2 bx c=kx h ax~2 (b-k)x (c-h)=0. 其判别式为△′0=(b-k)~2-4a(c-h). ①△′>0 直线与抛物线相交,设交点为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2);     

浅谈二元一次不定方程特解的求法

对于二元一次不定方程ax by=c,这里a,b,c为整数,且(a,b)=1,在利用通解公式{x=x_0 bt y=y_0-at;(t为整数),求它的整数解时,特解x_0,y_0的求法是难点,也是关键.     

用代换法求轴对称

求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m)     

双曲线切线的一条性质

定理过双曲线上一点 P 作切线交渐近线于点A、B,则(1)PA=PB;(2)△OAB(O 为双曲线的中心)的面积为定值.证明:不妨设双曲线的方程为 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),渐近线为 y=±(b/a)x,P(x_0,y_0)为双曲线上任一点,则 AB 的方程为 xx_0/a~2-yy_0/b~2=1,与 y=±(b/a)x 联立,     

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

每期一题

题:如图,椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1的切线与两坐标轴分别交于A、B两点,求三角形OAB的最小面积。 (下面一些解法是解析几何极值问题的常用解题方法。) 解法一利用二次函数极值知识。设切点为(x_0,y_0)(x_0>C,y_0>0),则切线AB的方程为     

内接于抛物线中的三角形面积公式及应用

二次函数 y=ax~2 bx十c(a≠0),当判别式△=b~2-4ac>0时,设抛物线与x轴的两支点为A(x_1,0),B(x_2,0),则 AB=│x_2-x_1│ △~(1/2)│a│. 若△ABC为内接于抛物线中的三角形,设C点坐标为(x,y),易得 S_(△ABC)=1/2AB·│y│=│y│△~(1/2)/2│a│(1) 特别地:     

二次曲线动弦中点的轨迹方程及应用

定理设二次曲线方程为F(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey +F=0。(1)过平面上任意一定点M(x_0,y_0)(除去曲线的中心)作动直线,与曲线(1)交于P_1、P_2两点,则弦P_1P_2的中点轨迹方程是Φ(x-x_0,y-y_0)÷F_1(x_0,y_0)(x-x_0) ÷F_2(x_0,y_0)(y-y_0)=0(2)并且曲线(1)与曲线(2)同族。其中Φ(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2 F_1(x,y)=Ax+By+D F_2(x,y)=Bx+Cy+E 证明:设过定点M(x_0,y_0)的动直线为     

向量与其他数学知识的交汇

向量具有数字化的形式,同时又具有形象化的特征,故成为联系多项数学知识的媒介.一、与代数的交汇【例1】设实数x、y、z、a、b、c满足条件:(x2 y2 z2)(a2 b2 c2)=(ax by cz)2,求证ax=by=cz.证明:设m=(x,y,z),n=(a,b,c),且m与n的夹角为θ.∵m·n=｜m｜·｜n｜cosθ,m·n=ax by cz∴ax by cz=x2 y2 z2·a2 b2 c2cosθ由已知得cosθ=±1,即θ=0或π.∴m∥n由向量平行充要条件是ax=by=cz.评注:在等式证明中,利用数量积公式,建立数形对应关系,从而问题得解.【例2】已知a,b,c,d∈R,求函数f(x)=(x a)2 b2 (x-c)2 d2的最小值.解:设m=(x a,b),n=(c-x,…     

数学科

例一:已知幂函数图像过点M(2,1/4),则f(0.5)=( )(A)2~(1/2)/2 ;(B)1/4;(C)4;(D)2~(1/2)[评析]这道题考查了函数的基本概念,初等函数的解析表达式,当x=x_0时求函数值y_0=f(x_0),及待定系数法等重要内容.解答本题首先要清楚幂函数的解析式是y=x~n,其次对函数图像的概念:“设函数y=f(x)定义在数集A上,则坐标平面上的点集{(x,y)|x∈A,y=f(x)}称为函数y=f(x)的图像”有明确的认识.一般的函数图像过点M(x_0,y_0).可以理解为x=x_0时y=y_0由已知幂函数     

对称点在二次函数问题中的应用

<正>二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1,A(2,1)、B(m,1)为抛物线上     

我为高考设计题目(1)

<正>题1(1)在平面直角坐标系xOy中,已知不同的两点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).(ⅰ)求直线AB的一般式方程;(ⅱ)当点O不在直线AB上时,求△OAB的面积.(2)若A、B是椭圆C:x²3/+y23/+y²=1上的两个动点,且点O不在直线AB上,求△OAB面积的最大值.解(1)(ⅰ)当x_1≠x_2且y_1≠y_2时,可得直     

结构式x_1y_2-x_2y_1的几何意义及其应用

1 定理及推论 定理 在直角坐标系中,设;△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),且点O,A,B按逆时针方向排列,记∠AOB=θ(下同),那么x_1y_2-x_2y_1=2S△OAB=|为OA|·|OB|·sinθ. 证明 设直角坐标系中,以坐标原点O为顶点,射线O_x为始边,OA,OB为终边的角分别记为θ_1,θ_2,不妨设θ_1,θ_2∈[0,2π),记|OA|=r_1,|OB|=r_2,     

从一道例题说起

例1 已知分别过抛物线 y~2=2px 上点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的两条切线相交于 P(x′,y′).求证:x′=(y_1y_2)/2p,y′=(y_1 y_2)/2.证明如图1,由文献[1]可知过 A,B 两点的切线方程为:l_1:y_1y=p(x x_1);l_2:y_2y=p(x x_2).又 P 在 l_1,l_2上,有y_1y′=p(x′ x_1); (1)y_2y′=p(x′ x_2). (2)式(1)-式(2)得(y_1-y_2)y′=p(x_1-x_2).又 x_1=y_1~2/2p,x_2=y_2~2/2p,代入上式整理得y′=1/2(y_1 y_2), (3)将式(3)代入式(1)得1/2y_1(y_1 y_2)=px′ py_1~2/2p,由此得 x′=y_1y_2/2p,所以     

数学竞赛问题（12）

,459.设a是一个给定的实数,函数f(x)(x≠0)满足方程2f(x) f(1/x)=3x,(x≠0),请解不等式f(x)≥a.460.问:是否存在这样的一个函数f:R→R,使得对于每个x≠kπ π/2(k为任意的整数),都有f(sinx)=tanx?请说明理由.461.求证:若a,b,c是三角形的三边长,则有不等式2ab(b c?2a)(b c?a) bc(c a?2b)?(c a22?b) ca(a b?2c)(a b?c)≥0.注本题于2005年2月19日为《美国数学月刊(Monthly)》“问题解答栏”而提出并解答.462.设a是实数,2A={x|x∈R,使得x 2ax 3≥0},2B={xx∈R,使得x?ax?4≤0},记S={aa∈R,使得闭区间[?2,2]?AUB},求S.463.求f(x)=(1 3?x)(1 …     

复数运算求轨迹方程例谈

例1.正△ABC的顶点B坐标为(m,0)(m>a为常数),A点沿椭圆b~2x~2+a~2y=a~2b~2运动,设A、B、C按逆时针排列,求C点轨迹方程。设A,B,C三点分别对应复数x_0+y_0i,m,x+yi,贝BA:(x_0-m)+y_0i,BC:(x-m)+yi。由于BC按逆时针方向旋转π/3即得BA,     

应用“韦达定理”改进“十字相乘法”

由一元二次方程根与系数的关系知道,二次三项式ax~2 bx c=a(x-x_1)(x-x_2)(?)x_1 x_2=-b/a,x_1x_2=c/a。由此可对“十字相乘法”作如下改进: 作变换ax~2 bx c=1/a[(ax)~2 b(ax) ac]。令ax=y,则ax~2 bx c=1/a(y~2 by ac)。若有x_1、x_2,使x_1x_2=ac,x_1 x_2=-b,则ax~2 bx c=1/a(y-x_1)(y=x_2)=1/a(ax-x_1)(ax-x_2),于是有定理对于二次三项式ax~2 bx c,若能找到x_1、x_2,使得ac=x_1x_2,x_1 x_2=-b,那末,ax~2 bx c