一道竞赛题的又一证法

题目 证明：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1=1，那么x＋y=0．（第31届西班牙数学奥林匹克试题） [1]给出了该题五种证法，笔经探索发现了又一证法，介绍如下，供参考．     

一道奥数赛题的解析证法

2013年第54届国际数学奥林匹克第4题:已知日是锐角△ABC的垂心,BM、CN是它两条高,W是BC边上一点,与顶点B,C均不重合,WX是△BWN的外接圆的直径,WY是△CWM的外接圆的直径,求证:X、H、Y三点共线.本文用解析法给出它的一种证明,供大家参考.     

一道竞赛题的另两种证法

题目如图1,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,M是OC的中点,AM的延长线交⊙O于点E,DE与BC交于点N．求证：BN=CN．     

一道数论题的新证法

第5届女子数学奥林匹克的第8题是： 设P为大于3的质数．求证：存在若干个整数a1,a2,…,at满足条件     

一道初中数学竞赛题的几种证法

题目如图1,等腰△ABC中,P为底边BC上任意一点,过P作两腰的平行线分别与AB,AC相交于Q,R两点,又P′是P关于直线RQ的对称点,证明:P′在△ABC的外接圆上。     

一道ＩＭＯ赛题的九种证法

题目设ａ，ｂ，ｃ为正数且ａｂｋｃ＝ｌ，求证１／ａ＾３（ｂ＋ｃ）＋１／ｂ＾３（ｃ＋ａ）＋１／ｃ＾３（ａ＋ｂ）≥３／２．（第３６届ＩＭＯ试题）本题是一道非常难得的好题．它的九种证法，充分展现了对称不等式的内在魅力，值得探究．     

一道巴尔十赛题的巧妙证法

有一道巴尔干地区数学竞赛试题如下： 设a,b,c为正实数,求证： 1/a（1＋b）＋1/b（1＋c）＋1/c（c＋a）≥3/1＋abc^＊①笔者曾在本刊2006年第11期上,将不等式①推广为：     

一道竞赛题的新证法

2005年全国高中数学联赛加试第二题为:设正数a、b、c、x、y、z满足cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=1 x2x y21 y 1z 2z的最小值.本文给出不同于标准答案的一种简捷证明.证明:由已知得b(az cx-b) c(bx ay-c)-a(cy bz-a)=0.即2bcx a2-b2-c2=0所以x=b2 2cb2c-a2同理y=a2 2     

一道不等式赛题的多种证法

题目 设3/2≤x≤5,证明：不等式 2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.     

对一道伊朗奥赛题证法的指正

2007年伊朗数学奥林匹克有这样一道不等式证明题：设a、b、c是三个互不相等的正数．证明：｜a＋b/a-b ＋ b＋c/b-c ＋ c＋a/c-a｜〉1.     

一道伊朗数学竞赛题的简单证法

第20届伊朗数学奥林匹克中有这样一道代数不等式题目： 问题1：设a,b,C∈R^＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3． 文[1]通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明．笔者的思考是,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢？事实上     

一道IMO试题的另一证法

《中学数学月刊》2 0 0 2年第八期上 ,蔡玉书老师在《两条直线合成技巧的应用》一文中用解析几何法证明了下列竞赛题 :△ ABC是等腰三角形 ,AB=AC,假如 :(1) M是 BC的中点 ,O在直线 AM上 ,使得 OB⊥ AB;(2 ) Q是线段 BC上不同于 B和 C的一个任意点 ;(3) E在直线 AB上 ,F在直线 AC上 ,使得 E,Q和 F是不同的和共线的 .求证 :OQ⊥ EF,当且仅当 QE=QF.(第 35届 IMO试题 )这里再给出一种平几证法 .证明　题目所求证即为 QE=QF是 OQ⊥ EF的充要条件 .充分性 :过 E作 DE∥ AC交 CB延长线于 D,连 OE,OF,OC.∵ DE∥ AC,…     

一道竞赛题证法再探究

本文对一道内含丰富且具有探究价值的数学竞赛题进行了再探究,并给出几种不同的证明方法.     

一道三角奥赛题的多种构造性证法

题目证明：证明cos 2π/5＋cos 4π/5=-1/2（1939年第五届莫斯科数学奥林匹克）     

一道竞赛题的两种证法及推广

文 [1 ]中提到这样一道竞赛题 :设 a>1 ,b>1 ,求证 :a2b- 1 + b2a- 1 ≥ 8.(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )并运用丢番图恒等式给出了一个巧妙证法 .本文再给出两种证法并将其推广 .另证 1　 (参数法 )证明　设 a=1 + t1 ,b=1 + t2 ,由于 a>1且 b>1 ,所以有 t1 >0 ,t2 >0 .代入欲证不等式左边 ,得( t1 + 1 ) 2t2+ ( t2 + 1 ) 2t1=1t2+ 1t1+ 2 t2t1+ 2 t1 t2+ t21 t2+ t22t1≥ 4 + 1t2+ 1t1+ t31 + t32t1 t2=4 + 1t2+ 1t1+ ( t1 + t2 ) ( t21 - t1 t2 + t22 )t1 t2≥ 4 + 1t2+ 1t1+( t1 + t2 ) t1 t2t1 t2=4 + 1t2+ 1t1+ t1 + t2 ≥ 4 + 2…     

一道波兰数学竞赛题加强的简单证法

2007年数学奥林匹克训练题中有这样一道三角不等式题目：     

一道几何赛题的另证

本刊2013年第4期“一道几何赛题的多种证法”一文运用几何构造给出了第（2）问的四种证法．这里再给出另外两种不同证法,供读者参考．     

一道国际竞赛题的面积证法

题目设a,b,c是正数,且abc=1, 求证(a-1+(1/b))(b-1+(1/c))(c-1+(1/a))≤1. (2000年41届国际数学竞赛试题)     

一道三角题的构图证法

题目:求证tan420°-4√3tan320° 6tan220° 4√3tan20°=3. 该题是<数学通报>1997年第6期刊登的数学问题1 076题,由于恒等式的左边是含同一个角的正切函数值.指数较高,系数复杂,证明有一定的难度,本文给出该题一个构图证法,供参考.