“如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线”议

在高级中学课本《平面解析几何》全一册(必修本)第129页关于极坐标方程ρ=ep/(1 ecosθ)表示的曲线的讨论中有这样一句话:“如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线。”对于这句话应该如何理解呢?事实上当e>1,如果ρ>0方程表示双曲线的左支是确定无疑的;而对于ρ<0方程表示双曲线左支的情形,究其根源还是得从双曲线的第二定义而得到,那么只须在课本推导圆锥曲线的统一极坐标方程基础上,推导双曲线左支的方程。     

数学教学拾零

一、析双曲线的极坐标方程 我们知道:极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)(极点位于一焦点上,极轴为从焦点背向顶点的射线,其中,e表示离心率,如图1所示)当e>1,ρ>0此方程表示双曲线的右支,如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线。对此,初学者往往感到困惑不解,本文给以解析。     

解析一得

《平面解析几何》(必修)关于圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=(epJ)/(1-ecosθ)的分类讨论中有这样一句话:“e>1时,方程只表示双曲线右支……如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线。” 对此教学参考书中也没有做任何解释或证明。若学生问:“为什么允许ρ<0,方程ρ=     

双曲线及其渐近线的极坐标方程

在中学《平面解析几何》课本中,根据圆锥曲线的统一定义,得出了圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecos)θ。同时指出了:~e>1时,方程只表示双曲线的右支,定点F是它的右焦点,定直线l是它的右准线,如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线。     

圆锥曲线统一极坐标方程的补充解释

在高二《解析几何》教材3.5节圆锥曲线的统一定义中,多数学生在对第三种e>1的情形感到费解,在复习此节内容时,经常有学生提出:为何ρ>0,方程ρ=eρ/1-ecosθ只表示双曲线的右支,而允许ρ<0,方程ρ=eρ/1-ecosθ就表示整个双曲线呢?本文在此对教材的解释作一补充。     

极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ中顶点的极径的应用

圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)……(1)中,当01时,它表示有心的二次曲线(椭圆,或双曲线),如果极坐标方程(1)化成直角坐标方程是(x-m)~2/a~2±y~2/b~2=1……(2),下面给出极坐标方程(1)中顶点的极径ρ与直角坐标方程(2)中a、b、c之间既简单又便于记忆的转化公式。 [定理一] 在极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)中…(1) 当01)时,设椭圆长轴两端点(或双曲线或实轴两端点)的极坐标分别是(ρ_1,0)和(ρ_2,π),则:     

极坐标系下的双曲线焦点弦问题探究

圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ=ep/1-ecosθ一般情况下,对于椭圆和抛物线上的任一点A（ρ,θ）,ρ〉0表示A到极点的距离,θ为以极轴为始边按逆时针方向旋转的旋转角．而对于双曲线,若以右焦点为极点建立极坐标系,则右支上点的坐标与椭圆和抛物线意义相同,而左支上点的坐标将有所区别．     

关于方程ρ=ep/1-ecosθ的一些补充

部编高中数学课本第二册提到了圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ),并且指出:当e〈1时,方程表示椭圆;当e〉1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示抛物线。至于由方程ρ=ep/(1-ecosθ)本身直接去求曲线的顶点、焦点、准线等问题,课本未予深入探讨。笔者认为,若能引导学生对此方程作进一步的研究,对于前后知识的沟通,是大有裨益的。本文拟就这个问题对方程     

关于圆锥曲线统一极坐标的探讨

论述了极坐标方程　中当ｅ＞１，ρ＜０时表示的点（ρ，θ）在双曲线的左支上，而这一点的另一坐标形式（）（）不满足该方程；当极轴方向与教材中相反时，三种圆锥曲线的统一的极坐标方程为　利用极坐标来解２０００年高考理工数学最后一题。     

对三种圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ的两点注记

《平面解析几何》(全一册)教材根据椭圆、双曲线、抛物线的统一定义推出了它们统一的极坐标方程,方程形式为ρ=ep/(1-ecosθ)当 0 < e<1时,方程表示椭圆,定点是它的左焦点,定直线是它的左准线;e=1时.方程     

双曲线焦点弦的弦长求法

本文通过几例双曲线焦点弦的弦长问题说明这类问题的一般求法.例1 在极坐标系中,过双曲线ρ=2/(1-3cosθ)的右焦点下作一倾角为60°的直线 l,求它被双曲线截得的弦长?     

圆锥曲线统一极坐标方程的妙用

圆锥曲线统一极坐标方程的妙用长庆一中席进忠圆锥曲线的统一极坐标方程ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ（ρ∈Ｒ）揭示了ρ和θ的函数关系，即ρ是θ的函数，记作ρ（θ）＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ．由此观点，可得以下结论．１．对θ取一些特值便可求出椭圆、双曲线在直角坐标方程中...     

有关极坐标系双曲线方程的探讨

极坐标系中圆锥曲线的统一方程ρ=(ep)/(1-ecosθ),无论从方程的推求,方程的作图,或方程的应用来说,均以e>1,即双曲线的情况最复杂。原因在于当e≤1时,方程中ρ恒取正值,而当e>1时,ρ既可取正值也可取负值。本文就此作一点探讨。一、关于方程的推导《数学》课本第二册第179页引入了方程ρ=(ep)/(1-ecosθ),推导过程是在ρ>0的限制下进行的,这对e≤1时,是没有异议的,但对e>1时,却有进一步分析的必要。     

退化双曲线在解题中的应用

在解析几何中,退化双曲线可以表示两条相交直线。反之,斜率互为相反数的两条相交直线也可以用退化双曲线来表示。将相交直线写成退化双曲线的形式后,可使解题简单,现举例说明如下: 例1 过P(3,4)作动直线L和直线L_1:3x+y+2=0相交于A,和直线L_2:     

学习双曲线需关注四方面

一、双曲线的定义双曲线的定义用代数式表示为||MF_1|-|MF_2||=2a(a>0),这里要注意2a<|F_1F_2|,这点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF_1|- |MF_2|=2a(a>0)时,曲线仅表示焦点F_2所对应的双曲线的一支;当     

选修模块测试题

1．若以μ表示水的摩尔质量,V表示在标准状况下水蒸气的摩尔体积,ρ为标准状况下水蒸气的密度,NA为阿伏加德罗常数,m、Δ分别表示每个水分子的质量和体积,下面的四个关系式：①NA=Vρ/m,②ρ=μ/NAΔ,③m=μ/NA,④Δ=V/NA,其中正确的是（ ）     

运用共轭双曲线系求双曲线方程

运用共轭双曲线系求双曲线方程湖北省京山一中梁克强我们把与双曲线有共同渐近线的双曲线的集合，称为共轭双曲线系．下面讨论方程所表示的曲线系．１．当λ≠０时，方程①可化为，它的图形是以直线为渐近线的双曲线．λ＞０时，焦点在ｘ轴上；ＩＭＯ时，焦点在ｙ轴上．２...     

曲线p=aSin n/mθ的最小正周期

中学教材中极坐标的一般定义规定:ρ≥0,0≤θ<2π。在实际应用中,取消限制,规定ρ、θ可取任何实数,即-∞<ρ<+∞,-∞<θ<+∞。由于(ρ,θ)和(-1)~tρ,θ+tπ](t为整数)在平面上表示同一点,故若F(ρ,θ)=F[(-1)~tρ,θ+tπ]表明极角θ增加tπ时,对应点[(-1)~tρ,θ+tπ]又回复到(ρ,θ),这种特性叫极坐标方程表示曲线的周期性,tπ称为周期,其中最小正值为最小正周期。     

压强公式P=ρgh的另一种用法

看到公式P=ρgh,大脑闪出它是液体压强的通用公式,无论液体的种类如何,盛放液体的容器如何,都用之计算。其中ρ表示液体密度,h表示从液面到所求压强处之间的竖直     

解析一道好的实验探究题

题目实验可以得出;在温度不变时,导线的电阻跟它的长度成正比,跟它的横截面积成反比,写成公式为:R=ρ.SL,其中R表示导线的电阻L表示导线的长度,S表示导线的横截面积,ρ表示比例常数,叫电阻率,不同材料的ρ不同。现有一段粗细均匀的细电阻丝,用你在初中物理实验中使用过的仪器和掌握的实验方法如何用公式R=ρ.SL测这段金属丝的电阻率ρ?要求(1)写出实验步骤(2)直接写出ρ的表达式(为简单,每个物理量只测一次,需要电路图的要画出)。解析(1)用刻度尺测出这段细电阻丝的长度L。(2)将电阻丝紧密地绕在铅笔杆上,数出其度所绕L的匝数n,用刻度…