1991年中国数学奥林匹克试题及解答

1991年中国数学奥林匹克(CMO),即第六届全国中学生数学冬令营,于1991年1月11日至15日在武汉市华中师范大学举行。1月12日及13日上午各用4.5小时进行竞赛考试,与此同步还用同一份试题进行了第二届陈省身杯团体赛(部分省、市、自治区各派出3名营员参赛)。下面是这次竞赛的6道试题及解答。(每题满分21分,最高得分为117分) 第一天 (1991年1月12日上午8:00—12:30) 一、平面上有一个凸四边形ABCD, (1)如果平面上存在一点P,使得     

1995年中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 (i)如果a_1≤b_1,则由递推关系式立知a_i≤b_i,i=2,…,n,结论显然成立。 (ii)如果存在2≤i_0≤n-1,使a_i_0≤b_i_0且a_(i_0 1)≤b_(i_0 1),则当i_0=n-1时,立得结论;而当2≤i_0≤n-2时,由递推关系式亦知,对一切i≥i_0 2,均有a_i≤b_i,从而结论亦成立。     

2002年英国数学奥林匹克第2轮试题及解答

1.自锐角△ABC的一个顶点引其高线交对边于D.从D引另两条边的垂线段DE和DF.证明无论选择哪一个顶点,EF的长度总是相同的.     

2004年中国数学奥林匹克冬令营试题解答

第一天 一、解:(Ⅰ)若EF∥AC,则BE/EA=BF/FC,代入条件式得DH/HA=DG/GC,∴HG∥AC.     

1994中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 连接EF,在梯形AEFD中,显然有 sin∠AGD =sin∠DGF =sin∠EGF =sin∠AGE, (1) S_(△AGD)=S_(△AED)-S_(△AEG) =S_(△AEF)-S_(△AEG)=S_(△EGF)。(2) 由(1)和(2),有     

1991年日本数学奥林匹克试题及解答

1.设以t:(1一t)f自l匕例内夕)△ABC的三边BC,CA,AB的点分别为P,Q,R,以线段Ap,BQ,cR为三边的三角形面积为K,△ABc的面积为L,求尽(用,表示). 为 2.设N为全体正整数的集合,从N到N的映射P,q定义如下: P(1)=2,P(2)=3, P(3)=4,P(4)=1, 当n)S时,P(哟=氏 q(1)=3,q(2)=4, 口(3)=2,q(4)=工, 当n李5时,q(”)=:. (1)试找出一个映射f,使得当恰当地构造由N到N的映射f时,对任意的,任N,有f(f(二))=P(:)+2成立. (2)试证明:不存在从N到N的映射f,对于所有的:任N,f(f((,))=尽(。)+2都成立. 3.设A为拓位的正整数.证明:可以从A中恰当地取出相邻的…     

03年加拿大数学奥林匹克试题及解答

1.Consider a standard twelve-hour Clock whosehour and minute hands move continuously.Let m be aninteger,with 1≤m≤720.At precisely m minutesafter 12:00,the angle made by the hour hand andminute hand is exactly 1°.Determine all possible valuesof m.2.Find the last three digits of the number2003 2002 2001。3.Find all real positive solutions(if any)tOx3 y3 z3=x y z,andx2 y2 z2=xyz.     

1989年加拿大数学奥林匹克试题及解答

1.整数1,2,…,n的排列满足:每个数或者大干它之前的所有数,或者小于它之前的所有数.试问有多少个这样的排列? 2.△ABC是面积等于1的直角三角形.A′,B′,C′分别是A,B,C关于各自对边的反射点.求△A′B′C′的面积.     

2003年加拿大数学奥林匹克试题及参考解答

1.一个时针与分针连续转动的12小时标准时钟.设m是整数,且1≤m≤720.恰好在12:00后的m分钟,时针与分针的夹角恰好是1°.求所有可能的m的值.     

2007西部数学奥林匹克试题及解答

一、试题1.已知T={1,2,3,4,5,6,7,8},对于A (?)T,A≠φ,定义S(A)为A中所有元素之和,问:T有多少个非空子集A,使得S(A)为     

1990年西班牙数学奥林匹克试题与解答

到目前为止,西班牙数学奥林匹克已举行了28届。每届有两轮,跨年度进行。这里提供的是1990年下半年举行的第27届第一轮的试题,根据前苏联《量子》的俄文稿译出,部分解答参考了《西班牙数学奥林匹克》(OLIMPIADA MATHEMATICA ESPA(?)OLA)。第一天 1.设a,b,c为直角三角形的边长。证明,若这些数是整数,则其乘积abc能被30整除。证明整数a,b,c为直角三角形的三边长,则有c~2=a~2+b~2(不妨设c为斜边)。(1)若a,b中有偶数,则2|ab,否则2|c,所以2|abc;(2)若a,c中有3的倍数,则3|ac,否则b~2=(c-a)(c+a)能被3整除,因为3是素数,所以3|b,因此有3|abc;(3)若5不整除a,b,c中的     

1989年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克试题及解答

1.已知乙ABC内接于圆S,点S为圆心.直线P垂直于直线AS且与直线AB,AC分别交于点D,从求证;方,C.D,,圈点止圈.:,之下分入 证明(1)直线P与i,/心训N之且BC的两次积交且与石七一一甲,节c圆S交于两点M,N(图一1)。图1 由于月S上河N,故有AM“AN。从而寸J 二一乡(厨一成,的度数二匕石·所以B,C,D,E四点共圆. 类似地可以证明,当直线、:分别与边AB,AC的延民线相交时结论也成立。 2.在平面上给定仆个点,它们之间连有 /一:一1、、二1、。。_。.、一、二_一~_tltm刀三衍气-蕊一)东玖仪。水址什仕且小书通 、乙,,。二、1,,万六j.几,、‘t_*‘…     

第24届中国数学奥林匹克冬令营试题及解答

一、给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A,D分别是边PB,PC上的点,连接AC,BD,相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,线段BC,AD的中点分别为M,N．     

1992中国数学奥林匹克(CMO)试题及解答

1992中国数学奥林匹克(第七届全国中学生数学冬令营)于1992.1.11～1.15在北京举行.香港张百康先生、台湾孙文先先生参加了本届冬令营活动.16个省、市组队参加了本届冬令营的“陈省身杯”团体比赛.经过两天比赛,湖南、四川、北京、黑龙江、广东、江苏荣获团体前六名.上海建平中学张健、安徽安庆一中何斯迈、天津耀华中学唐宁等21名营员入选中国数学奥林匹克国家集训队.     

1991中国数学奥林匹克试题及其主要部分解答

1991中国数学奥林匹克试题一、平面上有一个凸四边形ABCD. (1)如果平面上存在一点P,使得△ABP,△BCP,△CDP和△DAP的面积都相等,问四边形ABCD要满足什么条件     

2002年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题(只有一个结论正确 1、设a相似文献   

1993年圣—彼得堡数学奥林匹克试题及解答选编译

1993年俄罗斯圣——彼得堡(即前列宁格勒)数学奥林匹克共进行四轮(第4轮为决赛),分6、7、8、9、10、11年级进行(对6、7、8年级只进行三轮).这里只选编译了相当于我国高中程度的9、10、11年级的第2、3轮及决赛的部分试题.其中选择了一道涉及微分学的试题,是为了说明俄罗斯中学数学程度与我国有所不同,这些题目的难易程度不同,但都有一定的灵活性和启发性.     

2002小学数学奥林匹克决赛试题

A卷1.计算:(8.4×0.25+9.7)÷(1.05÷15+84÷2.8)=——。2.已知[2+(5.55×1(1/3)-2(7/10)÷□)]÷0.913=10,则□=3.恰有两位数字相同的三位数共有——个。4.在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而     

2002小学数学奥林匹克预赛试题

A卷1.(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)=2.4×5(3/4)+5×6(4/5)+6×7(5/6)+7×8(6/7)+8×9(7/8)=——。3.把3/4表示成最少的几个分子为1、分母尽可能小且互不