蝴蝶定理衍化与统一处理

蝴蝶定理,这个产生于1815年“男士日记”上的问题,横跨两世纪,经历了178年,各种衍化形态和不同的证明方法已不下十数种,各种衍化和证法还在不断翻新,我们在这里对部分衍化蝴蝶定理仅用初中几何知识(主要用“共角定理”),通过面积证法进行统一处理,这样的处理来得简洁明了,易于掌握。 (下面证明过程中△ABC表示三角形的面积)。命题1(蝴蝶定理)设AB是圆O的一条弦,过AB的中点M,作两条弦CD和EF,设ED、CF     

蝴蝶定理加强推广与统一处理

蝴蝶定理是初等几何中的一个著名定理,自其于1815年出现以来,近年各种推广和证法又有创新,如文[1]、[2]、[3]皆用解析方法推广该定理到一般二次曲线,文[4]用同一法得到了该定理的一种初等推广结果,文[5]用面积证法得到了该定理的几个初等推广结论。本文借助轴反射变换,利用共圆点证法及三角形合同对蝴蝶定理进行加强推广与统一处理。 定理1(蝴蝶定理)从圆心O向O的弦EF作垂线OM,过垂足M任作两弦AB和CD,设AD与BC分别交EF于P_1和Q_1,则P_1M=Q_1M。     

“蝴蝶定理”的一种证法及其联想

著名的“蝴蝶定理”已有一百七十多年的历史了.它之所以取了这个美丽的名字,是因为题目的图形象一只展翅欲飞的蝴蝶.自从1815年霍纳(Horner)作出了“蝴蝶定理”的第一个证明以后,许多人研究了这个问题,找到了多种证法,但大多比较复杂,有的需要引一些巧妙的辅助线,使人不易想到.直到1972年,艾维斯在他的《几何概观》一书中还写到:“如果限用高中几何知识的话,这的确是一个棘手的问题.”可是1973年斯特温(Steven)却利用三角形的面积关系给出了一个漂亮而简捷的证明.本文利用三角形面积的另一个性质,给出了“蝴蝶定理”的一个纯几何的初等证明.     

一条辅助线简证蝴蝶(坎迪)定理

<正>如图1,过⊙O的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF,CF、ED分别交AB于点P、Q,则PM=MQ.它就是闻名数坛200年的蝴蝶定理,它以其美丽的图形和诗意化的名字,引起近代数学家的研究兴趣,使得数学爱好者为之痴迷推广,时有佳文出现,《中学数学杂志》2016年第6期刊登了曹嘉兴老师的"蝴蝶定理的新证法"(文[1],用2条辅助线,采用比较复杂的面积证法),阅后深受启发.笔者另辟蹊径,独创出仅用一条辅助线(较之文[1]更简单)的证法(只用初中知识和常见的相交弦定理),同一证法亦可证明另一著名的坎迪定理,     

“斯坦纳—莱莫斯”定理证法的综述

本文较全面的介绍了“斯坦纳——莱莫斯”定理在各个时期具有一定代表性的重要证法,所涉及证法包括了国内外目前较新成果。更重要的是笔者用纯几何直接证法,统一的解决了定理及其拓广的“井上难题”和“蒋声问题”,充分揭示了:两相等角平分线与等腰三角形的关系。     

利用调和点列研究筝形定理和蝴蝶定理的相关性

筝形定理和蝴蝶定理是平面几何中两个优美的定理.关于这两个定理的研究论文较多[1～7],主要是从射影几何的观点来研究其相关性[3～7].本文利用正弦定理先给出调和点列的角元表示和几个关于调和点列的常用结论,再利用这些结论给出筝形定理和蝴蝶定理的两个新证法,最后对这两个定理的相关性进行研究.     

蝴蝶定理的推广

古典的“蝴蝶定理”是以圆为基础给出来的,它具有很大的局限性,将“蝴蝶定理”推广到一般二次曲线上进行讨论,并给出了新的“蝴蝶定理”,它弥补了古典“蝴蝶定理”的不足,使“蝴蝶定理”得到了更加广泛的应用。     

对Lagrange中值定理证明方法的讨论

对Lagrange中值定理的证明，在高等数学的传统证法中，通常都是采用引入一个“辅助函数”，将适合定理的函数转换成适合Rolle中值定理的函数的办法．为了进一步开阔思路，更好地理解和掌握Lagrange中值定理，本文给出了行列式证法、旋转变换证法和区间套定理证法等几种证明方法。     

基于“四个理解”的三角形内角和定理教学设计

文章从“四个理解”出发对三角形内角和定理进行教学设计.实验操作—直观理解,获得感性认识,感悟数学的抽象性;定理证明—深度理解,引导学生亲历探索三角形内角和定理,感悟数学的理性精神;反思证法—反思理解,对三角形内角和定理不同证法的观察和分析,感悟方法本质;历史回顾—文化理解,体会定理发现与再创造的过程,感悟数学文化.     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”,这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理.1840年,德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证.但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来.”斯坦纳答应研究这个问题,但是,直到1844年,斯坦纳才发表这个定理的证明方法.于是,这个问题便以“斯坦纳—雷米欧司”定理而闻名于世.斯坦纳的证明发表后,引起数学界的极大反响.论证这个定理的文章发表在1844年至1864年几乎每一年的各种杂志上.后来,一家数学刊物公开征解,竟然收集并整理出了60多种证法,编成了一本书.直到1980年,美国《数学教师》月刊还给出了这个定理的研究现状,而且他们又收到2000多封来信,增补了20多种证法,其中包括一个最简单的直接证法.经过几代人一百多年的研究“,斯坦纳—雷米欧司”定理成为数学百花园中最惹人喜爱的名花之一.“斯坦纳—雷米欧司”定理为何魅力无穷?一方面,它是初中教材上的最基本、最常用、最简单的定理之一——“等...     

一道经典几何命题的多种证明与推广

本文通过研究,给出一道经典几何命题--蝴蝶定理的六种证法.同时,利用射影变换知识,易将此命题进行系列衍变推广.     

平行线的“类型题解证法”

在初中数学课程中，平面几何对学生来说是较生疏较难学的内容。在证题过程中，学生常常觉得束手无策。在十几年的教学生涯中，针对学生证题难度较大的现状，我注重培养学生的想象力，从而逐步培养和提高学生运用数学知识去分析和解决实际问题的能力。同时，我在教学中，采用了类型题解证法，类型题解证法就是把类型相同或相似的题归纳在一起，用同一个判定定理进行解析和证明的方法。下面就平行线的证法谈谈我采用“类型题解证法”的一些体会和做法。一、平行线判定定理在“类型题解证法”中的应用例１：如（图１）自圆外一点A作圆的切线A…     

用七法证(a+b)/2≥(ab)(1/2)(初二、初三)

定理如果a,b均为正数,那么(a b)≥(ab)/(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。现行教材对该定理已作了证明,本文再介绍几种别的证法以拓宽思路。证法1用二次根式的性质     

从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用

用高等几何方法证明了用初等几何方法较难证明的“蝴蝶定理” ,并给出定理的推广命题 ,从中显示出高等几何在初等几何中的作用     

蝴蝶定理在仿射几何中的推广

历史上关于蝴蝶定理的各种推广和证明,纷繁复杂.本文试图整理出蝴蝶定理在保留中点的情况下,在仿射几何中最好的推广方式,并给出综合法的证明.本文得到的主要结果是定理1,2,3,这三条定理可以包扩蝴蝶定理在仿射几何领域的各种推广.最后通过定理4验证了上述结果.     

从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用

用高等几何方法证明了用初等几何方法较难证明的“蝴蝶定理”，并给出定理的推广命题，从中显示出高等几何在初等几何中的作用。     

Napoleon定理的一个初等证法的改进

《数学通报》今年第1期刊登的刘运宜老师《Napoleon定理的一个初等证法》一文,给出了用正弦定理与余弦定理证明Napoleon定理的漂亮证法,但在欣赏这个定理的和谐美和对称美之暇,醒悟到这个定理的证明过程似有繁琐之嫌,从而启发我们改进其证法,彰皿数学问题解决过程的自然性、简洁性和优美性．     

等腰三角形一个判定定理的直接证法

等腰三角形两底角的平分线相等,是大家很熟悉的易证定理。而它的逆命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”却成了众所关注题。日本的井上义夫在文[1]中给出了它新的直接证法后,该杂志又三次发表有关文章[2——4]提供了各种直接证法。苏联《数学教师》杂志于1980年12月也刊出这一问题,并征求新的证法,引起一些数学教师们的广泛注意和极大兴趣。这里,笔者将日本杂志中介绍的有关证法摘编介绍给读者。一、几何证法证法1 如图,设BC=a,AC=b,AB=c。①     

蝴蝶定理的猜想推理推广

1蝴蝶定理的介绍 蝴蝶定理是初等几何中的近代名题之一,它于1815年在西欧出版的杂志《男士日记》上问世．题目是：过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD与EF,连结ED、CF交AB于P、Q,求证：PM=QM,如图1．由于题中图形的圆内部分像一只蝴蝶,因此取名为“蝴蝶定理”．     

利用基本性质证题——一道高斯函数辅导题的简证

在高斯函数有关“正整数分解式中含质因数的幂次问题”的定理证明中,要用到一个高斯恒等式,“题目为”已知XER,nen。求证:。在各种辅导材料的介绍中,这个恒等式的证明多用的是中学教学中的常规证法,诸如