关于减少代数题中计算量的探讨

我们知道,解析几何等学科的问题都广泛地应用着代数知识,因此,对减少代数题的计算量,从某种意义上讲,具有普遍意义。因此本文就这个问题谈几点粗浅认识,请大家指教。一、恰当地应用定义例1 a、b、c为何值时,方程组解:把x=y=z=1代入方程组解关于a、b、c的方程组这样,比先解方程组后令x=y=z=1来得简单。例2 解方程(4x 5)~(1/2) (5x-4)~(1/2)=0。解:由算术根定义知4x 5、5x-4必同时为零时方程才有解。但4x 5、5x-4不能同时为零,故此方程无解。本题如果按常规解法:移项平方、解根再解验,就很麻烦。二、恰当地应用公式、法则等     

一类一阶线性常微分方程组的解法及其与中学数学代数方程的联系

给出方程组x′=P(t)x Q(t)y A(t)y′=Q(t)x P(t)y B(t)的一种初等解法,并将这种思想方法引入中学数学,给出一类方程组的解法.     

复合函数的初等性质

现行中学教材对复合函数的初等性质未作专门介绍。本文拟给出若干简捷的判别法则,以简化判断手续。定义:设函数y=F(u)的定义域为U_1,函数u=f(x)的值域为U_2,记U=U_1∩U_2,D={x|x∈R,f(x)∈U},则以D为定义域、以F[f(x)]为对应法则的函数y=F[f(x)]叫做D上的一个复合函数。为叙述方便计,构成复合函数的每一次复合步骤所形成的函数,可形象地称为该复合函数的一“层”函数是D上的递增(或递减)函数,若D     

三步法解不等式

中学阶段所要解的不等式,除有理不等式外,还有无理不等式,指数、对数不等式等。解法一般是根据具体情况,写出同解组,归结为解有理不等式。但我们也可以根据初等函数在它们的定义区间上是连续的;在区间(α,b)上连续的函数,函数值在(α,b)上处处不为零,那么在(α,b)上函数值有相同的符号。将各种不等式统一分三步求解。下面通过解不等式 (3x+7)~(1/2)-x-1>0,(1)来详细说明方法: 解:1)求定义域(使不等式两端都有意义的文字x的取值集合)易见为:x≥-7/3 。把定义域在数轴上表示出来。 2)解对应方程:(3x+7)~(1/2)-x-1=0,得x_1=3,x_2=-2,经     

第三章方程与不等式

一、本章导析本章的重点是 :方程与不等式的解法、解的定义的运用、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用以及列方程 (或不等式 )解应用问题 .难点是各种变形技巧及布列方程或不等式 .另外方程思想也是近年来的热点之一 ,关于这一点 ,我们将在后面的章节中专门讲解 .二、例题解析例 1　已知 x=2 ,y=1是方程 2 x+ ay=5的解 ,则 a的值是　　　　 .解析 :无论何时 ,只要题目中告知了方程或方程组的解 ,我们就可以考虑将其代入方程或方程组 ,进而求得题目的解 .本题答案为 a=1.例 2　在方程组 2 x+ y=1-m,x+ 2 y=2 中 ,若未知数 x、y满…     

含字母系数二元一次方程组的解法

我国古代对二元一次方程的研究源远流长,二元一次方程组的解法灵活多样,一个方程组有很多种不同的解法,并且在很多实际中常用到。因此,同学们应灵活掌握二元(三元)一次方程组的解法及其应用,对思维的扩散都有帮助。下面列举一二例,供同学们参考。例1已知方程组x+2y=32x+ay=b,试讨论它的解的情况。分析:我们知道,只要确定出未知数x(或y)的解的情况,就能进一步确定出方程组的解的情况,即一一对应关系。对于方程组,我们可以用代入法或加减法进行消元求出关于x(或y)的一元一次方程的最简形式,即ax=b的形式,然后再讨论解的情况(方程无解、有无数…     

解一元方程的一种方法——增元法

解多元方程组时,有一个大家熟知的消元法,即将多元转化为一元。本文介绍一种化一元为二元(或三元),从而改变解方程途径的方法——增元法,对于相当一类方程,特别是竞赛中出现的技巧性强、难度较大的一类方程,用此法时往往会奏效。下面举例说明之。例1 解方程x=(x~2-2)~2-2。若将右端展开变成一个四次方程,虽可解出,但解法麻烦。若设y=x~2-2,则原方程化为x=y~2-2未知数x,y受以上两个方程约束,故得方 x=y~2-2(1)程组: y=x~2-2,(2) 用代入法解此方程组是不适当的,因为(2)代入(1)的结果又得原方程。为此,改变解方程组的方法,用加减法解方程组:(1)-(2)得,x-y=y~2-x~2,即x=y或x+y=-1,方程化为:     

解二元一次方程组的技巧

解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法.同学们在解题时,除熟练运用这两种基本方法外,还应当结合方程组的特征,灵活使用一些巧妙解法,这样不仅可以简化解题过程,提高解题的速度,而且可以养成爱动脑的好习惯.一、整体代入法例1解方程组3x=4y+7,(1)9x-10y=25.(2 简析:由于方程(2)中的9x可化成3×3x,故可视3x为整体,用(1)中的4y+7代换,这样既消去了x,又可避免方程变形之烦.解:将(1)代入(2),得3(4y+7)-10y=25,解之得y=2.将y=2代入(1),得3x=4×2+7,∴x=5.∴原方程组的解是x=5,y=2 二、整体加减法例2解方程组3(x-2y)+4(y+1)=10,…     

应用三角方程的“判别式”求一类函数值域

求型如 y=a_1sinx b_1cosx c_1/a_2sinx b_2cosx c_2的函数值域,常规解法一般有两种,一是把原函数变形为 sin(x (?))=F(y)型,然后利用三角函数的有界性解不等式|F(y)|≤1(通常为无理不等式);二是利用万能公式变形转化为关于 tan(x/2)的二次方程,利用二次方程的判别式求解.这两种解法固然可行,但过程繁琐、冗长.下面介绍一种新的方法——三角方程“判别式”法,首先我们证明一个定理.     

函数方程的初等解法——代换法

含有未知函数的方程叫做函数方程。解函数方程的问题,就是求能使函数方程成立的一个函数或一类函数的集合。下面是四类函数方程的初等解法。一、利用函数的奇偶性解函数方程。若在函数方程中涉及函数奇偶性时,此时自变量x的位置具有互反关系。用-x代替x得一新方程,将新方程和原方程联立组成关于所求未知函数的方程组,再用消元法求出未知函数。 [例1] 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1987x(5-x~2)~(1/2)+x~(1988),求f(x)和g(x)。解:由已知得x定义域是[-5~(1/2),5~(1/2)],因f(x),g(x)分别为偶函数和奇函数,故用-x代替方程中的x,得一新方程,再将所得新方程与原方程联立得     

数学竞赛中特殊方程(组)的特殊解法

解方程(组)类型的问题是各种数学竞赛中较常见的,但竞赛中的方程(组)结构的特殊性,导致解法也是非常规的。下面笔者就多年辅导数学竞赛在此方面所得归纳如下: 1 应对称性解方程(组) 例1 方程组 有唯一的一组实数解,求实数a及方程组的解.(中山纪念中学1997年全国联赛预选题) 解 方程组关于x,y是对称的,若(x,y,z)是一组解,则(y,x,z)显然也是此方程组的一组解,由方程组有唯一解知,必有x=y,原方程组化为 消去z得2x~2 2x-a=0. 由△=0得a=-1/2,此时x=-1/2,y=-1/2,z=1/2。     

活代入巧消元

代入消元法是解方程组最基本的方法,但在解方程组时需要根据方程组的特点灵活运用.下面介绍几种代入法.一、直接代入法若方程组中两个方程同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍,就可以直接代入消元.例1解方程组3x-y=2,⑴3x=11-2y.⑵解:把(2)直接代入(1)得11-2y-y=2,解得y=3,把y=3代入⑵得x=53,∴方程组的解是x=35,y=3例2解方程组2s 3t=-1,⑴4s-9t=8.⑵解:由(1)得2s=-3t-1,(3)把(3)代入(2)得,2(-3t-1)-9t=8,解得t=-23.把t=-23代入(3)得s=21,∴方程组的解是s=12,t=-23二、变换代入法若方程组中的方程不具备直接代入的条件时,可换某一方程…     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

经济数学基础期末复习指导

第 1章　函数1　例题解析例 1:设 f(x) =x +1,则 f(f(x) +1) =(　　 ) .　A x　　　　　　B x+1　C x+2 D x+3解 :由于 f(x) =x+1,得　　　　f(f(x) +1) =(f(x) +1) +1=f(x) +2将 f(x) =x+1代入 ,得　　　　f(f(x) +1) =(x+1) +2 =x+3例 2 :下列函数中 ,(　　 )不是基本初等函数 .　A y=(1e) x　　　　　B y=lnx2　C y=sinxcosx D y=3x5解 :因为y=lnx2 是由y=lnu ,u =x2 复合组成的 ,所以它不是基本初等函数 .例 3:设函数 f(x) =cosx ,x ≤ 00 ,x >0 ,则 (　　 ) .　A f(- π4 ) =f(π4 )　B f(0 ) =f(2π)　C f(0 ) =f(- 2π)　D f(π…     

最值问题解法探究

<正>在高中数学中,经常会遇到最值问题,其出现的频率很高,解法也多种多样,处理这类问题,一定要具体情况具体分析。本文将对处理这类最值问题的解法用实例来进行讲解。1.利用已知函数性质求最值已知函数解析式,直接利用已知的基本初等函数的性质(最值、单调性、奇偶性)是函数法的主要类型之一。例1函数y=cos2x+2cosx的最小值是____。解析:因为y=cos2x+2cosx=2cos~2x     

一题多解殊途同归

解二元一次方程组的基本思想是消元,即化“二元”为“一元”,而消元的方法多种多样.下面仅举一例,介绍几种解二元一次方程组的常用方法.例:解方程组3(x-1)=y+5,5(y-1)=3(x+5) .解法1:代入消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 由(1)得:y=3x-8.(3)(3)代入(2),得:3x-5(3x-8)=-20.解得摇x=5,代入(3)得摇y=7.因此,原方程组的解为x=5,y=7 .解法2:加减消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 (1)-(2),得4y=28,所以摇y=7.把y=7代入(1)得摇3x-7=8,所以摇y=5.所以摇x=5,y=7 .评注:代入消元法与加减消元法是解二元一次方程组的基本方…     

初等函数不等式的一种解法

我们把f（x）＜0（或）称为函数不等式。本文中出现的函数f（X）都是指初等函数。初等函数不等式的解法很多．下面我们介绍一种新的解法——零点法。由于初等函数的连续性．我们很容易得到：命题1函数f（x）在其定义域内的某区间（a．b）上,对任意x都有f（x）一0．那么,在区间（a．b）上二对任意x都有f（X）＜0或f（X）＞人函数f（X）在其定义域内有fi个零点．设为：XI．XZ,……Xu。把定义战用这些零点划分成X个连续的小区间．记为：UI．U…··Un。称为定义域的一个分划。那么,命题1就是说,在每个小区间上,对任意的X都有f（）…     

64÷8x应视为64÷(8x)

不允许我们用第二、三种理解去解答。 (注,此题答得较快、较好的,还有遭县羊古学校陈教厚、望城县鱼尾洲学校余金初、嘉未县花溪东溪完小黄世太等许多同志。—编者》 《湖南教育》85年第2期《征解》中提出,方程t’64,8x二2”有三种解法, (1)把sx看成一个数去解,得:sx二64 2,sx二忿2,x=4, (2)把sx看成asx工”去解,得,64 sx二=2-8又x=2,x“0。25, (3)把sx看成“8个x”,即把它看成“x xs,,去。,,。。‘_.。。64‘,。解,得:64 x xs二2,一竺乙又8=2,x=156- X 这三种解法谁对?显然,只有第一种解法才是正确的。因为“sx”在这一方程中,是一个整体,…     

用函数观点研究方程

我们知道,每一解析函数式,当把其中的变量看成未知数时,它就是方程;反之,每一方程,当把其中的未知数看成变量时,它就是函数或函数的特殊情形.方程 f(x)=0就可说是函数y=f(x)在 y=0时的情形.对于方程 f(x)=g(x)的解,可看成是函数 y_1=f(x)和函数 y_2=g(x)在 y_1=y_2时的 x 值.用研究函数的观点去研究方程,可使一些难题的解答具有直观性,方法别致、巧妙.     

对一道例题解法的商榷——兼谈平面上两条直线位置关系的判定

我们认为,高级中学《解析几何》课本(甲)第47页例2的解法有不妥之处,为了便于说明问题,现将题目及解法抄录如下。例2 已知两条直线: l_1:x+my+6=0 l_2:(m-2)x+3y+2m=0当m为何值时,l_1与l_2(i)相交;(ii)平行;(iii)重合。解:将两直线的方程组成方程组 x+my+6=0 (m-2)x+3g+3m=0这时,A_1/A~2=1/(m-2),B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m.当