一道几何题的联想与推广

众所周知,在△ABC中,若乙B=乙c,则b=c,即b一‘=0. 在△ABC中,若乙B=2乙C,依据正弦定理,则有ae c’一乙’=o(a=域a今e). 联怒:在△ABC中,乙B=乙C,b一c=o,不妨记作:f:(a,石,e)=b一e=0。 当乙B=2匕C时, f,(a,西,c)=a·c c子一b’二0. 那么乙B=3乙C时, f3(a,b,c)=…=o?当乙B=n乙C时,f。(a,b,c)=…=o?(,〔N)-推广.在△ABC中,当乙B=一b年】二尸= ‘sinn乙Csin匕C.由棣莫弗定理、理及复数相等的条件,不难求出:n乙C时,二项式定 sin”乙C2,一ik一i=名(一i)资c七sin“乙e·cos“一“乙c(扎中,任N,k二:二__.(一1).十巴一1、一几,f—,. ‘根…     

关于分式不定方程的一个命题

命回设心、al、a、。E N,i— 1,2,…,n,a—p;,m,…,an】(最小公倍数),a‘j尸.素.则不定方程 OI Og d。d。 xZ x7 xk" W有无穷多正整数解. 证明;设 b、c、n;、n。、k;、k。 6 N,令。;一b,·。(i。 l, 2,…,n),y—b”J· c”。代入①,得 \4M di多”厂了7丁灭一d”i7ry7N;:·W *一否*一巨@〔-z工-1’l‘飞 取心一a,c一乙心,则②式化为 i——l ”;.c“。-‘一沪1·产。, ’(伽;一ahl一l,③即厂、“。“; 1叭一伽。一l.① 山于a与。互素,故不定人…     

一个三角形不等式

命题　设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 :　记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a …     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

一道课本习题的探究与应用

题目:如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19·1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:命题:如图1,若直线l1∥l2,则S△ABC=S△DBC,逆命题:如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2.不难证明两个命题的正确性·     

余弦定理的一个变形及其应用

将余弦定酗aA-杜猛冲生两边除以SinA,即得 e七gA=bz cZ一aZ 4△·(△为△ABC的 面积) 例1.设a、b、。为ABC三边.求证a乞、 b名、c忍成等差数列的充要条件是C七gA、ctgB、c七gc成等差数列. J沱卜片二_1_月._.__。1 址田士e七gA e七gC二-于一(b“ e“ 4△ 一a’ 。2 。2一。“)二     

关联三个三角形面积的一个命题

设△ABC的三边长分别为a、b、c ,面积为S ,△ABC的外接正三角形的最大面积为Smax,内接正三角形的最小面积为Smin.由文 [1 ]知 ,Smax=36 (a2 b2 c2 ) 2S ;①由文 [2 ]知 ,Smin=S236 (a2 b2 c2 ) 2S.②由此可知Smax·Smin=S2 .于是 ,有命题　一个三角形的面积是它的最大外接正三角形的面积和最小内接正三角形的面积的比例中项 ,即S2 =Smax·Smin.关联三个三角形面积的一个命题@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1]　张延卫.三角形外接正三角形的最大面积[J].中等数学,2002(5). [2]　邢进喜.三角形内接正三…     

多(口来)咪(韵律操)

1===D詈 .』盏j她业J堕业)堕)蛆5 5 5 5 l 5 5 5 5 I 5 5 5 5 I 5 5)0 5三’b f盟7 f 5小. 厂、f i 0:\5 5 5 l 6 6 7 l 5 5 I 5 .[5]6 7 I 5 5 I 3 2 J 1 O 1 1,i、5 f 5 5 53 1 3 3 52 l 3 —2 I 3 . 1 1墨8 4. [31]4 l 3 3 4 f 5一f l 2 f 3I_ >个If5 6 7 Of(.过门) ! ! ■ 下(1 1 7 6l:1.兰l 3 . !J 3 2.垒I箜丝韭l 4[39]3 . 堡l 5 墨l 5[43]4.曼l盟坠I 6 [47] 5.!f缝堑f 6 , ’ , T 5 4 3 2) 3 l 5 j —I 6 l6.兰{迅她{7 —2. 1 7 6l 7 -l 7 一 [57].缝亟l{ [6 O].{i盎l 6 4 I7 5 H‘(5 f 3 2钮一『i —l业盟I坐虹-f i 5 j i …     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

关于Petrovic不等式的探究

1 Petrovic不等式与已有结论1916年,M.Petrovic给出了如下一个三角形不等式[i]设△ABC的三边长分别为a,b,c,则1/3≤(a~2 b~2 c~2)/((a b c)~2)<1/2.①当且仅当a=b=c时     

关于三角形中线的一个不等式

196 7年 ,V .O .Cordon建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ a2h2b+h2c≥2 .[1] ①文 [2 ]将不等式①加强为∑ a2t2b+t2c≥2(ta、tb、tc 为三角形的内角平分线长 ,a、b、c为△ABC的边长 ,∑ 表示对a、b、c循环求和 ) .本文将证明 ∑ a2m2b+m2c≤2 (ma、mb、mc为三角形的中线长 ) ,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立 .证明 :∑ a2m2b+m2c=∑ 4a24a2 +b2 +c2=∑ 4a22a2 + (a2 +b2 ) + (a2 +c2 )≤∑ 4a22a2 + 2ab + 2ac=∑ 2aa +b +c=2 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .利用上述方法和凸函数的性质 ,易得∑ akmkb+mkc≤2 k- 1　 …     

数学奥林匹克问题

R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 .证明 :设BC =a ,CA =b ,AB =c ,AP交BC于点D .由重心性质知BD =DC .因为AG =23AD ,GD =13AD ,DP =BD·DCAD =a24AD,又AD2 =12 b2 c2 - 12 a2 ,所以 ,AG·GP =23AD 13AD a24AD =29AD2 16 a2=29× 12 b2 c2 - 12 a2 16 a2=19(a2 b2 c2 ) .易知a2 b2 c2 ≥bc ca ab .故AG·GP≥ 19(bc ca ab) .①设△ABC的三边BC、CA、AB上的高分别为ha、hb、hc.易证bc =ha2R ,ca =hb2R ,ab =hc2R .故bc ca ab =2R(ha hb hc) .②又ha=a b ca ·r,hb=a b cb ·r ,hc=a …     

模拟训练及复习指导——数学

毕业卷 一、填空题(缚小题3分.坫45分) l·嘲数j·一.一了三二=rII.f{变蟥,r的取值范嗣足 L,3’一7。 2·L二知P(6,j】≮Q(0,一4)的距离是lo.则6的值乃～…—一¨l_. 3.汁算:、,。2 sin45。一2 ctgl 50。.sml2()。= . {.住△/I做1ff,c(。q一一!匕0.f『{fj以一 . 5.小等式J一,一2』<3的解集足 . 6.抛彩,线_y==n.r。 2,).r c’n0 I叫象女fl壬iIq所爪.川,·_(Ⅱh.h)住“m啦怀彖莉～…一——象限内. 7.埂比例幽数y:睾叫陋。的增久I『fi增人,『l!{J^—一’ dn8._正j兰角形外接圆半径为4cm,则它的边心距勾。·如l果{。音一号‘·那么;÷专≤=…     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

三角形重心向量性质的再推广

文[1]提出并证明了三角重心的一个向量性质. 命题,已知a、b、c、分别为△ABC中解A、B、C的对边,G为△ABC重心,且a·GA+b·GB+c·GC=0,则△ABC为正三角形.     

外森比克不等式的一个有趣加强

设△ABC的三边长为a、b、c,面积为Δ,则a2 b2 c2≥43Δ①这是著名的外森比克(Weisenblk)不等式.现给出它的一个有趣的加强,即命题在△ABC中,三边长为a、b、c,面积为Δ,则2ab c2≥43Δ (a-b)2②证明在△ABC中,根据面积公式及余弦定理,有Δ=21absinc,c2-a2-b2=-2abcosc.所以2ab     

余弦定理的变形及应用

大家熟知的余弦定理是: △ABC中,AB=c,BC=a,CA=b则有a~2=b~2+c~2-2bccosA (1) 又由正弦定理:a=2RsinA,b=2RsinB,C=2RsinC(2R为△ABC外接圆直径)代入(1)得:     

sum((1/(a~2))的下界估计

文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界…     

平面向量易错点剖析

解平面向量问题,极易发生下面一些错误,本文举例剖析,找出错因,以利于同学们避免或减少错误的发生.一、遗漏零向量【例1】已知a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,则m值的个数是.错解:由a∥b得-mm=2-3m,即m2-5m≠0,解之,得m1=5,m2=0(舍).∴m的值只有一个,即m=5.剖析:零向量与任一向量平行,当m=0时,b为零向量,也与a平行.∴m的值的个数应为2个.二、误用运算率【例2】在△ABC中,已知BC=a,CA=b,且a·b=b·c=c·a,试判断此三角形的形状.错解:由题设知a、b、c均非0,又a·b=b·cb·c=c·aa·b=c·a,故a=cb=ab=c,从而a=b=c.∴△ABC为等边三角形.剖析:对于…     

探究三角形形状的九种方法

一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的…