sinθ≈tgθ≈θ在物理中的应用

Sinθ≈tgθ≈θ的关系式,是在角θ≤5°时利用微元分割法得出的近似关系.利用这一关系,不仅可以极为方便地证明一系列的重要公式,如单摆振动的周期公式T=2π~l/g(1/2)和火车转弯的线速度公式tgθ=v~2/Rg,还可以将非线性变量转化为线性变量,甚至恒量,使分析和解决问题的思路和步骤变得极为简捷.例1 .如图1,质量为4.5 ×10~(-3)干克的带电小球用2米长的线悬挂在带等量异种电荷的平行板之间,平衡时小球偏离竖直位置2厘米,求小球受到的电场力是多大?析与解:带电小球在重力mg、电场力F和线的拉力T作用下静止.由共点的平衡条件,得F=mgtgθ,θ角是线与竖直方向的夹角,所以tgθ≈sinθ=0.02/2=0.01 .由此得F=4.5×10~(-3)×9.8×0.01=4.4×10~(-4)(牛).     

单摆实验中sinθ≈θ近似对周期的影响

本文通过计算得出当θ＜5.515°时,sinθ≈θ近似处理会导致周期误差小于0.059%,当5.515°＜θ＜7.25时,sinθ≈θ近似处理会导致周期误差小于0.099%,与前者在同一数量级上,从θ与sinθ之间以及T与Tο之间的误差的数量级分析得出做sinθ≈θ近似处理的条件,对于学习单摆定律和相关内容的教学有一定的意义.     

对公式T=2π(l/g)～(1/2)的诠释

单摆也叫做“数学摆”.在细线一端拴一小球 ,另一端固定在悬点上 ,如果线的伸缩和质量可以忽略 ,球的直径比线长短得多 ,就组成了一个单摆 .若空气阻力不计 ,摆角θ<5°,单摆的运动就是简谐运动 .由此可见 ,构成单摆必须满足的三个条件是 :(1 )摆球线度比摆线长度短得多 ;(2 )摆线质量可以忽略 ;(3 )摆线的伸缩可以忽略 .单摆做简谐运动必须满足的三个条件是 :(4 )空气阻力可以忽略 ;(5)摆动角度小于 5°;(6)单摆在同一竖直面内摆动 .设悬点到球心相距 l,重力加速度为 g,摆球质量为 m,摆角为 θ.二、单摆在各种情况下的周期1 .摆球线度不能…     

单摆应用问题归类例析

单摆由一根不可伸长的细线和可视为质点的摆球构成.它是一种抽象的理想化模型.当单摆振动时,其回复力由重力沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ提供,如图1所示.当单摆的最大摆角θm<10°时,由于sinθ≈x/l(x为摆球偏离平衡位置0的位移,l为摆长),考虑到回复力F的方向与位移x的方向相反,有     

对公式T=2π√1/g的诠释

单摆,亦称"数学摆".在细线一端拴一小球,另一端固定在悬点上,如果线的伸缩和质量可以忽略,球的直径比线长短得多,这样就组成了一个单摆.若空气阻力不计,当摆角θ＜5°,单摆就做简谐运动,由此可见,构成单摆须满足三个条件:     

对公式T=2π（1/g）~（1/2）的诠释

单摆,亦称“数学摆”。在细线一端拴一小球,另一端固定在悬点上,如果线的伸缩和质量可以忽略,球的直径比线长短得多,这样就组成了一个单摆。若空气阻力不计,当摆角θ<5°,单摆就做简谐运动,由此可见,构成单摆须满足三个条件: ①摆球线度比摆线长度短得多; ②摆线质量可以忽略; ③摆线的伸缩可以忽略。     

单摆教学中的两个常见问题

1单摆周期与摆角真的无关吗?在计算单摆周期时,若摆幅θ_0较小,可采用一级近似sinθ≈θ,算出的周期为T0=2π2~(l/g),其中l为摆长.若θ_0不够小,就应取二级近似.本文试着导出单摆周期T与摆幅θ_0的关系.分析:不论摆幅多大,单摆摆动过程中机械能守恒,于是可从能量表达式求出角速     

单摆周期公式的理解和应用

单摆是一种理想的物理模型,它由理想化的摆球和摆线组成.摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供;摆球密度较大,而且球的半径比摆线的长度小得多,这样才可以将摆球看做质点,由摆线和摆球构成单摆.在满     

物理学中小角的处理——谈sinθ≈tanθ≈θ的应用

由数学计算发现在角度很小的时候，我们可以近似的看着θ≈sinθ≈tanθ，这种近似在物理的很多地方应用，下面列举几例：     

对单摆周期测定值误差的诠释

高中《物理》第一册(必修)第1 69面下的注释为:“由单摆周期公式算出的周期与实际测定值之间的误差,随着偏角的增大而增大.偏角为5°时误差为0 .0 1 % ,7°时为0 .1 % ,1 5°时为0 .5% ,2 3°时为1 % .”这些测定值是如何得到的?为此,必须弄清单摆周期公式的推导过程和推导条件,进而修正其近似级别.现讨论如下:一、周期T =2πlg 的单摆的物理模型如图1所示,单摆摆动的动力学方程为图1md2 sdt2 =-mgsinθ.　①其中m为摆球的质量,s为摆球的位移,摆角为θ.若设摆长为l,则s=lθ.令ω0 2 =gl,将上式代入①式,得d2 θdt2 =-ω0 2 sinθ.②用麦克…     

大偏角单摆运动的变化规律

众所周知 :单摆在摆角小于 5°时的运动可视为简谐运动 .如果偏角较大情况又是如何呢 ?设有一单摆 ,由不可伸长的长为l的细线 (质量不计 )和一端系一质量为m的小球组成 .把摆线的另一端系在O点 ,将摆球由平衡位置B拉至A点 ,使摆线水平 ,如图 1所示 ,然后释放摆球 ,下面我们分析摆球由A至B的运动过程中 (忽略空气阻力 )有关物理量的变化规律 .1　细线的拉力和小球的加速度的变化规律摆球在摆动过程中受到重力mg和细线拉力T的作用 ,其中重力是恒力而细线的拉力T在运动过程中是变化的 .当摆球在A点时 ,T =0 .当球摆到某一位置C点时 ,球所做…     

用等效法求单摆的周期公式

单摆是用一根不能伸长的细线,系一个视为质点的摆球构成.在摆角θ≤5°(新教材θ<10°)时,可视为简谐振动.其周期公式用等效法单摆的周期可以广义地表示为 (式中1'为等值摆长,g'为视重加速度).     

关于等效单摆周期公式的几点认识

单摆是高中阶段所要处理的一种重要的理想化的物理模型,它由理想化的摆球和摆线组成：1.摆线是质量不计、没有伸缩的无弹力细线;2.摆球密度足够大,且半径比摆线的长度小得多,即可以将其看作是有质量而没有大小、形状的一个质点：     

谈谈单摆的学习

一、单摆概念的理解我们都知道,用不可伸长的轻细线下端系一重小球,上端固定,在竖直平面内自由摆动,这就构成了一个单摆.可见,单摆是一种理想化模型:①要求摆线质量不计且不可伸缩,②摆球可以看做为质点.而且,一般情况下的单摆的来回摆动不属简谐运动.     

单摆振动中的“力”

单摆在振动过程中虽只受到重力和悬线拉力这两个力的作用,但在分析单摆运动时,经常涉及到“回复力”、“向心力”、“合外力”这三个力,且这三个力容易混淆,下面对此作一些分析. 如图所示的单摆模型,摆长为l,摆球质量为m,摆球在A、A’间来回摆动.O点是单摆的平衡位置,摆线与竖直方向的最大夹角为α(α<5°),摆球运动到任一点P时(摆线与竖直方向的夹角为θ),分析如下:     

也谈无限长单摆的周期

有的文献认为无限长(理想)单摆的周期为一个常量84min,而笔者则认为无限长理想单摆的周期应为无穷大。现利用高等数学和普通物理知识指导如下,仅供大家参考。一、推导在物理实验中,一根不可伸长的轻线悬挂一小球做幅角很小的摆动,这种装置通常称为单摆。单摆是实现数学摆的一种近似装置。由物理学知识可知:一个不计体积的质点,悬挂在无质量、不可伸长的悬线上,即可构成理想的数学摆。其运动方程由转动定理可知为mLd2θdt2+mgLsinθ=0①制作单摆时,应使悬线尽量轻,在运动中长度变化尽量小,而摆锤的形状、大小尽量与质点近似。但无论如何都不…     

单摆振动周期公式研讨

在重力场中的单摆,当摆角不大时(θ<5°),做简谐振动。摆线振动中心平衡位置为重垂线方向,振动周期T=2π(1/g)~(1/2),其中1为摆长,g为重力加速度。g值也可用单摆在平衡位置静止时,摆线张力F_o与摆球质量m之比来确定即:g=F_o/m,称为视重加速度。若使单摆处在非惯性系中,或使单摆处在电磁场中(摆球带电荷),或使单摆浸没在液体中,其振动是否仍是简谐振动?如是简谐振动,振动周期又怎样确定?笔者就以上问题分     

几种“单摆”周期的计算

单摆是一种理想化模型,摆线的质量不计且摆线不可伸长,摆球密度较大而直径比摆线的长小得多.当最大摆角小于5°,回复力F=(mg/l)x时,单摆的运动可视为简谐运动,惠更斯从实验中总结出作简谐运动的单摆周期公式为这里的“l”应是     

小角度条件下θ≈tan θ≈sin θ的应用

深入挖掘教材,对教材内容进行重新整合,探讨小角度条件下θ≈tan θ≈sin θ的应用,促进学生理解物理规律,培养学生追根问底、格物致知的学习习惯,提高学生的科学思维能力。     

切实理解T=2π(L/g)~(1/2)中的g与L的内涵

摆角θ≤5°时,单摆的运动可视为简谐振动。此时的运动周期为T=2πgL。要正确运用此公式求解实际问题,必须切实弄清公式中g、L的实质内涵。1关于“g”的理解T=2πgL中的g与单摆所处的物理环境有关。当单摆处于重力场的惯性参考系中且只受重力和摆线拉力时,公式中的g才是当地的重力加速度,(不同星球表面g的值一般不同)其它情况下,g的值等于摆球不振动时线的拉力与摆球质量m的比值,即mF。此时称g为“等效重力加速度”。1.1单摆处于重力加速度为g0的重力场中①摆球悬挂于相对地面有向上的加速度a的非惯性参考系中,由于摆球超重,摆球相对参考…