与函数方程相关的竞赛题举例

近几年的国际竞赛和中国冬令营考试中,函数方程是出现较频繁的一类题型,归纳起来,主要有三个方面:求函数值,确定函数的性质,解函数方程.     

关于高斯函数的竞赛题

1 高斯函数的定义和简单性质 设x是任一实数,用[x]表示不超过x的最大整数,函数y=[x]就是高斯函数.     

一类函数方程的求解——从一道奥林匹克竞赛题谈起

第28届奥林匹克数学竞赛第二有这样一道题: 求证;不存在这样一个函数试fN_0→N_0,N_0={0,1,2,3,…n,…},使得对于任何n∈N_0,有f(f(n))=n 1798, 证明,假设存在这样的函数f,记n_1=f(i),则A_1={i,n_1,i 1987,n 1987,i 1987×2,n_1 1987×2,…),显然,且n_1∈A_1(i=0,1,2,…,1986)。于是,对每一个固定的i(i∈N_0,i≤1986),存在一个k(k∈N_0,k≤1986,k≠i),使得n_i∈A_k。 若n_i=n_k 1687×m(m∈N_0),则f(u_k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(n_i 1987×m)k 1987×(m 1)矛盾。 若上_n_i=k 1987×m(m∈N_0,m≥2),则f(k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(k 1987×m)=n_k 1987×m矛盾。 故n_i=k或k 1987,若n_i=k,则n_k=f(k)=f(n_i)=i 1987,即n_k∈A_i;若n_i=k 1987,则i 1987=f(n_i)=f(k 1987)=n_k 1987,即n_k=i,从而n_k∈A,,因此,若n_i∈A_k,则必有n_k∈A_i。     

关于Smarandache LCM函数对偶函数的方程

摘要：对于任意的正整数n,著名的SmarandacheLCM函数的对偶函数SL（n）=max｛k：[1,2,…,k]｜K,K∈N}表示n的不同素因子的个数.利用初等数论和分析的方法研究函数方程SL（d）＋1=2^ω（n）的可解性,并获得了该方程的所有正整数解．     

怎样解函数竞赛题

函数是数学中的重要概念,也是数学竞赛的重要内容.在数学竞赛中,常见的函数有一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数,要正确解答函数相关的竞赛题,必须熟练掌握这些函数的概念,具备较强的数形转化能力和计算能力,现以竞赛题为例,说明这类问题的解法.     

用函数与方程思想简解几道竞赛题及其变式

函数与方程思想是高中数学中最重要的数学思想之一,本文用函数与方程思想来处理一类竞赛试题及其奇异变式与大家分享．     

关于Feigenbaum函数方程的解析解

<正> 近些年来,关于浑沌现象的有关课题已成为动力系统研究的一个重要方向。在研究非线性系统的普适性态时,有著名的Feigenbaum函数方程,它深刻地揭示了混沌理论中     

关于约数和函数的一个方程

对于正整数k,设σ(k)是k的约数和函数.本文运用初等数论方法证明了:方程σx(1+[y/x])+σy(1+[x/y])=2·3 [(x+y)/2]仅有正整数解(x,y)=(t,t),其中t是任意正整数.     

关于薛定谔方程中波函数的教学

根据量子力学发展过程中,波函数概念建立的曲折历程.结合本人多年的教学实践,总结出了几条关于函数通俗易懂的教学方法.     

构造方程巧解竞赛题

<正>~~     

面积·方程·竞赛题

几何竞赛题的解答,若能借助于代数方法,是打开解题思路的好方法之一。而在代数方法中,从面积入手,利用面积等式建立方程,然后利用方程的知识求解,更具有简捷明快、独树一帜的特点。现以一些著名的数学竞赛题为例加以说明。例1 如图,梯形ABCD的面积为     

封闭型函数曲线竞赛题的解法

封闭型函数曲线问题既具有一定的抽象性,对函数作图能力的要求也较高,是历年竞赛考查的重要内容.下面介绍其解法,供同学们参考.     

运用函数的性质解竞赛题

函数涉及的知识面相当宽，牵涉到数、式、方程和不等式等许多概念与运算，也是初中数学竞赛中的热点问题．下面我们一起研究用函数的性质解决某些竞赛题．     

函数方程

函数方程比较抽象,在高考或数学竞赛中时有出现,对训练学生抽象思维能力大有好处.文章给出了函数方程的概念,并举例着重介绍了解函数方程的五种方法.     

函数方程

我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程、三角方程、对数方程、指数方程等,这些方程的一个共同特点是有确定的函数.另外,我们也研究过在x∈D上有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),f(x+T)=f(x)(T≠0).这些等式中,都是以函数为未知数,像这种含有未知函数的等式,叫做函数方程,使函数     

函数方程

函数方程中不论是对未知函数式的求解,还是对未知函数性质的讨论,都需要具备较强的技能和技巧以及良好的数学素质和数学能力。本文介绍处理这类问题的方法和技巧。     

关于线性函数方程(组)的整函数解

本文给出一类线性函数方程(组)的整函数解的存在性条件。     

关于一类函数方程的周期解问题

本文给出了一类函数方程的通解和部分周期解。