关联六个圆的一个恒等式

定理　设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC内一点 ,△ABC、△ABD、△ACD的内切圆的半径分别为r、r1、r2 ,边BC、BD、DC外的旁切圆的半径分别为r′,r1′ ,r2 ′ ,则( 1 ) r1 r2r r1′ r2 ′r′ =2 ;( 2 ) 1r1-1r1′ 1r2-1r2 ′=4ha.证明 :如图 ,由文 [1 ]可得r=r1 r2 -2r1r2ha,①r′=r1′ r2 ′ 2r1′r2 ′ha,②rr1′r2 ′=r′r1r2 ,③r′×① r×② ,并应用③式 ,得2rr′ =(r1 r2 )r′ (r1′ r2 ′)r,两边除以rr′,即得 ( 1 )式 .r′×① r×② ,并应用③式 ,得(r1 r2 )r′ -(r1′ r2 ′)r =4r1r2 r′ha=4r1′r2 ′rha,两边除以r1…     

关联六个圆半径的一组恒等式

定理设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC边上的任一内点,且△ABC,△ABD,△ACD的内切圆半径分别为r,r1,r2;对着∠BAC,∠BAD,∠CAD并与BC边相切的这些三角形的旁切圆半径依次是r',r1',r2'.则有     

关联四个圆的一个恒等式

文 [1 ]给出了关联三个圆的一个结论 :图 1命题　在圆内接四边形ABCD中 ,O、R分别是其外接圆的圆心和半径 ,I1、I2 分别是△ACD、△BCD的内切圆的圆心 ,r1、r2 分别是△ACD、△BCD的内切圆半径 ,O到I1、I2 的距离分别记为d1、d2 .则有R2 -d21r1=R2 -d22r2 .①本文将给出该命题的一个推广 ,得出涉及两个三角形、关联四个圆的一个恒等式 .命题　设△A1B1C1的外心为O1,内心为I1,外接圆半径为R1,内切圆半径为r1,O1I1=d1;△A2 B2 C2 的外心为O2 ,内心为I2 ,外接圆半径为R2 ,内切圆半径为r2 ,O2 I2=d2 .则有R21-d21R1r1=R22 -d2…     

关联三个圆的一个定理

定理 圆内接折四边形ABCD,边AB、CD交于点H(图1).O、R分别是外接圆的圆心和半径.O_1、O_2,r_1、r_2分别是△ADH和△BCH的内心和半径.O到O_1、O_2的距离分别为d_1、d_2,则     

关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^1/2.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明:如图,在△AEF和△ABC中分     

关联五个三角形内切圆半径的一个等式

命题　设D、E分别是△ABC的边BC上与顶点B、C不重合的任意两点 ,△ABD、△ACE、△ABE、△ACD、△ADE的内切圆半径分别记作r1、r2 、r3、r4 、r5.则图 1r1r2=r3-r5r4 -r5.引理[1] 　已知△ABC ,边BC上的高为h ,N为边BC上一点 ,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1、r2 .则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2 - 2r1r2h .命题证明 :如图 1 ,不妨设△ABC的内切圆半径为r,边BC上的高为h ,则由引理可得r=r1+r4 - 2r1r4 h ,①r=r2 +r3- 2r2 r3h ,②r3=r1+r5- 2r1r5h ,③r4 =r2 +r5- 2r2 r5h .④把④代入①、③代入② ,化简整理得2r1r4…     

垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422…     

垂足三角形旁切圆半径之间的一个恒等式

关于垂足三角形旁切圆半径之间有下面一个恒等式: 定理 若△ DEF 是锐角△ ABC 的垂足三角形,且 BC = a,CA = b,AB = c , p = (a b c) /2, △ ABC 的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为? 、R 、r ,△ DEF 的旁切圆半径依次为rd 、re 、rf ,则有 rd = re =     

等半径圆相交的一个特点

两个半径相等的圆相交,有如下的一个特点:如图1,两个半径相等的圆相交于A、B两点.则圆O₁上过B点的切线与圆O₂上过A点的切线平行.     

六个组合恒等式的证明

利用组合计数理论、数列和级数知识，采用构造证明的方法给出并研究了六个组合恒等式，这些结果在其他学科中得到广泛的和深入的应用。     

郑重声明

命题 设ha为△ABC的边BC上的高，D为边BC上的任一点，且r,r1,r2分别是△ABC，△ABD，△ACD的半内切圆半径；设r',r1',r2'分别为对着∠BAC，∠BAD，∠CAD并分别与BC，BD，DC相切的三角形的旁切圆半径。     

关于M-矩阵谱半径的估计

M-矩阵是一类特殊的矩阵.运用矩阵分析理论,给出了估计M-矩阵谱半径的一种方法,并且对其相关结论略作阐述.     

关于共轭半径两个性质的几种解释

文章分别从解析几何、坐标表示、正交矩阵表示及仿射变换四个角度,对共轭半径的两个结论作出解释.     

浅析原子半径和离子半径

本对原子半径和离子半径的概念进行了较为详细的讨论，以便在教学过程中更好的理解、使用原子半径和离子半径。     

关于包含奇下标契贝谢夫多项式的恒等式

研究了第二类契贝谢夫多项式的性质,给出了奇下标第二类契贝谢夫多项式的一组恒等式及一个推论.     

一个有关旁切圆半径的不等式链

本文约定：在△ABC中，a，b，c表示三边长，ra、rb、rc表示旁切圆半径，R、r、s、△表示外接圆半径、内切圆半径、半周长以及面积，∑、П表示循环和与循环积.     

实习生教师专业身份建构探析

实习生教师身份可概括为专业身份、情境身份和个人身份。通过对某师范学院的个案研究发现,多数受访实习生以"学生"或"大学生"而不是"实习教师"定位自己。为此,需要建立高校与中小学校共同培养的合作关系,提倡认知学徒制,注重转变学生的角色意识和学习方式。     

关于埃尔米特多项式的一组恒等式

运用埃尔米特多项式的性质和微积分方法，得到一组有趣的恒等式．