用张角公式证三点共线

本文介绍张角公式及其在平几三点共线证明中的应用. 张角公式如图,巳知由点尸发出的三射线为尸A、尸B、尸C,且乙A尸C=a,匕CPB==口,艺APB=a 口<1800,如果 sin(a,口)_sina、sin刀。,,,。。一二一竺共器井‘=‘认等 竺若二犷,则A、C、B三点 尸C尸B’尸A,,:一、一、一一二sin45。 1.sin45。甲‘一二F-=创兰 2训百=3侧2 2sin乙MAB_sin乙MAQ AQ一一ABsin乙QAB AM共线。 证明,J,/八怜\\二sin(a 口) 尸Csin吞万万’故B、Q、M三点共线。 例2已知AB是圆的直径,尸A、尸C是圆的切线,A、C为切点。作C刀一l一且B于D,设O为CD的中点,尸…     

费马点一性质

若△ABC各内角均小于1200,则在△ABC内必存在点p,使乙A尸B~艺B尸c~乙C尸A-1200,这时PA+尸B+尸C最小.点尸常称费马点.P具有如下性质. 定理设△A刀C的费马点尸到三边距离为x,y,z,三边为。,b,‘.则有 2(x+y一升z)石PA十尸B十PC(了了,二分乞(a+b J+‘).等式当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明先证右边不等式.为此,以△ABC边为一边向外作△ABE,△BCF,△ACD,设其中心分别为,E‘,F‘.则尸同在它们的外接圆上.故正Dl b互3 一一旧.FI公尸只尸一一一一一一CD甲万 3 亡夸 一一FE心=APC刀FEAB丑于是,PA+尸B+ 了万,。=2下兰{a…     

一道几何题的推广

〔题目如图,在锐角△.八刀Cll‘,ADk-:BC边上的高,尸为△ABC的垂心,B尸、CP的延长线分别交月C和A刀于刀、F。求证A刀平分乙EDF。证明丫O尸为△刁BC的垂心, .’.刀、刀、.尸、F四点共圆,则匕1,匕3, 同理刀、P、斤、C四点共网,则匕2=乙4, 又B、C、方、FI,中从)卜回,则乙3二乙4, :.乙1=2,即AD平分匕刃月夕。这道常见题可作如下的推广:当尸点是A刀上一道几何题的推广@程金保$安徽南陵东河中学~~     

每期一题

卜题:在四边形ABcD中,己知刀B二1, BC=1+训丁,AD=、/万,乙刃BC=120。, 匕刀AB=75”,求CD。 解一:连结月C.由余弦定理: AC二了月BZ十BCZ乙巨刀介动小c石几功厂二了6十3召二- 由正弦定理:艺D月厂二45“,刃E二2只Beos30“=训丁, 在△A刀E中,由余弦定理:刀E=亿丁。 故△大厂D是等腰汽角一二角形。 .’.艺C厂D二尸C/’i-.一j考价一’sin乙C左B“l了Csin12O“ 月C告、/丁 1 80。又丫C厂一30“一90。=60“。二刀E,…△CD刀是正三角一‘1+侧了)。二了丁。 召6十3侧丁=士亿丁。形,故CD 解四:二A刀.’.乙C月B二45。,匕刀才C二30。…     

2006年各地中考数学试题精选 六、南京市

1.如图1,点A、B、C在00上卜A口// BC,艺〔卫C一200,则艺AOB的度数是() (A)100.(B)200. (C)400.(D)700. 2.如图2,电灯尸在横杆八召的正_L方,AB在灯光下的影子为CD,AB// CD刀飞日一Zm,CI〕一sm,点尸到CD的距离是3m,则点尸到AB的距离是()的坐标分别是(O,O),(5,O),(2,3),则顶点C的c坐标是() (A)(3,7).(B)(5,3). (C)(7,3).(D)(8,2). 4.图4是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.全年支出/元、\//B、一C刀︸少刃月乞少翻︸尸八一︸记/︺勺万二B口以p了,"一/‘沪、月,,C乙一一一一一一二D图2 5 L了、…     

立体几何能力训练题

一、选择题1.异面直线a、b成600角直线b与。所成角的范围是(,直线。土a,则)A)[300,gOOjC)〔600,1200(B)[6()o,900〕(D)[300,1200〕 2.在空间四边形ABCD中,若AB=CD,BC=AD,AC二BD,则乙刀通C 乙CAD 乙DAB的度数() (A)等于1800(B)等于900 (C)小于1800(D)在区J’q〔900,1800〕内 3.异面直线a,b互相垂直尸Q为公垂线段,尸。a,QEb,A。尸Q,且不同于尸、Q,B。a,C二b,则△ABC是() (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (c)钝角三角形 (D)以上结论都有可能 4.在三棱锥卜一ABC中,B认BA、BC两两互相垂直,且BV二BA=BC,若M是以的中点,则异…     

1989年全国初中数学联赛试题

入丫么第一试 一、选择题 1.己知最简根式a侧2万不荡-与卜b了下是同类根式,则满足条件的a,b的值(), (A)不存在.(B)有一组. (C)有二组.(D)多于二组。 2.如关于x的方程mxZ一2(优 2)x m十5二0没有实数根,那么关于x的方程(二-5)x,一2(二 2)x 。=o的实根个数为(). (A)2.(B)1.(C)0。(D)不确定. 3.己知二次函数,“a扩十扛 c的图象如图所示,则下列6个代数式别在刀C,CD上,D尸J CE__兰会=1,甚冬=2.FC一’EB一’若△ADF的面积为二。四边形AEC尸的面积为n(n>m),则四边形ABCD的面积为_。 a乙,ac,a b c, a一b e, Za b,Za一b中,其值为正的式子…     

一道例题的推广及其应用

题目如图1,Rt△ABC中,匕八CB一’八刀一八B;(2)C〔)2=AD一BD;(3)政〕,刀D .AB. 证’:艺八CB~90。,〔刃土月刀, :’ Rt△ACD的Rt△(泪D的Rt△八刀C.900,CD土AB.求证:(1)月CZ=D一DB一C 一一.八C AD〔刃‘’丽一入乙’入万五〔刀DAB BCAD图1 :.八CZ一AD·八刀,CDZ~乃D·BD,孩二2~BD·八刀. 此题实际上是人教版《初中几何》第二册第226页例2的推广,旧教材把这个结论称为“射影定理”.近几年的中考题中,经常出现以本题结论为背景的题目,现举例如下. 例1如图2,BC是半圆O的直径,延长CB到尸,作尸A切半圆于A,AD上BC于D,…     

借用平面几何知识巧解立体几何题一例

题:△尸AB在平而a内的射影是△QB刀(图1),试比较匕且尸B和乙AQB的大小。 凭直观想象,一这结论对不对?是否还有其它情况呢?木文就此作一个而探讨。 ]。、场匕刀Q召为90“时,有JQ’十BQ“=、1刀“。 在△I〕、更I了,},,Ll1余弦定卫},般认为乙A尸B<乙刀QB。(图1)份念中学数单教学1992年第6期‘05乙且I,IJ二l少妊I:卜尸刀, 2尸‘理.P‘护l少艺、.AO: BO,一只B“_。二。z尹一一一下万一石一.函—石-认--一U,J:t 乙才J了气.广尹万匕A尸B为锐角,:.匕A尸B<乙A OB。 2.当艺AOB为钝角时,用上述方法已无法比较,只好另辟途径。班刀方…     

一道几何题的联想与推广

众所周知,在△ABC中,若乙B=乙c,则b=c,即b一‘=0. 在△ABC中,若乙B=2乙C,依据正弦定理,则有ae c’一乙’=o(a=域a今e). 联怒:在△ABC中,乙B=乙C,b一c=o,不妨记作:f:(a,石,e)=b一e=0。 当乙B=2匕C时, f,(a,西,c)=a·c c子一b’二0. 那么乙B=3乙C时, f3(a,b,c)=…=o?当乙B=n乙C时,f。(a,b,c)=…=o?(,〔N)-推广.在△ABC中,当乙B=一b年】二尸= ‘sinn乙Csin匕C.由棣莫弗定理、理及复数相等的条件,不难求出:n乙C时,二项式定 sin”乙C2,一ik一i=名(一i)资c七sin“乙e·cos“一“乙c(扎中,任N,k二:二__.(一1).十巴一1、一几,f—,. ‘根…     

1990年南昌市初中数学竞赛试题及解答

=:△D。二贝},卜匕值畜贾等于1,。、—.叱l〕,3-4工5.7.刃 D2一5一、选择题1.设二<0,一1a乙>a.(B)ab>a>ab2. (C)a>a乙>a乙“.(D)a乙>a乙“>a.2.下列四个等式:3作“了一多噜,斌西丁名7面二训功一3,(A)(C) 1 9 215=2191弓,错误的有(). (A)一个. (Q)三个. 3.能使2二一1,Zu 4一2(Zn) 2(2” 3)(B)二个.(D)四个. 4二 5,20一二这三个7一8 一一D丑数作三角形三边的整数二共有(). (A)二个.(B)六个. (C)十二个.(D)十八个.,,。、二J。二舌二、、二。。。国,,离二1气守妆山直刀州,膝理刀七厄网长阴万’自底边上任意一点P引…     

一道竞赛题的几何解法及其他

题目:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、。.若角A,B,c的大小成等比数列,且护一a“二a。,则角B的弧度数等于_.(1985年高中联合数学竞赛第一试第二题第1题) 下面用数形相结合求解,给出该题的四种几何解法. 分析:将犷一。2==a。变为bb二aa+ac,此式形似托勒密定理,构图如下:作圆的内接等腰梯形ABCD,使AD=DC二CB=a,AC=b,ABbZ一aZ二ae.C作直径E刀,设AB=c,BF=a,则△ABC满足题设条件b’一扩二aC. 解二据相交弦定理有 BF·BA 二刀B·BD。又据已知有EB·所以,BC“B尸-BD二B口·BA=。,则△ABC满足题设乙BO尸二乙B尸C,乙ABC…     

张角公式在平几证题中的应用

一、张角公式 已知尸A,尸B,尸C三条射线,且匕APC二a,/C尸B=声,艺APB二a+刀<1800.则A,B,C三点共线的充要条件是sin(a+刀)_sinaPC尸B5 in刀尸A(1)证召乙尸月B如图1,如A,B,C共线,则二S△,,。+S占,c,,即1 oJ。。_.,.。、,汽尸f八.fU吕In气口+P)乙一合pA·尸Cs‘”“·PB sin刀.同除以工pA. 艺PB·尸C即得(1). 反之,如(1)成立, 图反推可知刀八尸j刀S△月刀口=S八尸摊口+召。尸e刀s。一s一:·…!=。 故A、B、C三点共线. 二、应用 例在二ABC的边CB,CA上,各向外作正方形CBRS,CA尸口,作CH止AB.求证:CH、BP、AR三线共点.(图…     

2003年9月号“211杯”初中数学综合知识竞赛参考答案

一r1一A 2.B 3.D二二‘6一20027一34 .C 5.C8.1十V丁9·誉10·‘50’IL解:(l)将△Al理了绕点B顺时针方向旋转90。得到△CQB,连结产叼、AC,则△CQB望△Al公,乙产召Q=乙产叨C+乙C刀Q=乙产心C+乙了理切=900·只少B=乙召尸口=45“J刀=Zv厄esa,Qc=AP=。,故乙尸口C二900,乙尸口C=135“.故乙AIU=乙B口C=1350. (2)_V5+2丫丁a. 12.证明:延长AD和卢℃.交于点C.过点C作C刀// BF.交AG于点H,则由平行线分线段成比例定理得:月9=DH,AD二DG,Aj、HG,AH曰U·故AH:一庄尸甘咫:HG=PF:Hc,cH:PE=AH:AP.故cII:PE=PF:Hc,C刀2=产省…     

2003年11月号“初二数学潜能系列知识竞赛(4)”答案

1。CZ。A3。C4。DS。B6一3 7.670 8.(2x+y一l)(x+3少+5)9.略10.2、11.延长BC到F,使C石七刀E,联结A厂在Rt△AC户、和Rt△召百刀中, AC=BE,C声’== DE, △AC声,哭△BED,A石’= BD,乙双刁C二乙B.又乙B十乙召月C=900,故乙声刀C+乙召八C二900,△刀月F为直角三角形.因为刀e+。君=2刀刀.故刀c+c作劲只即A凡工召厂 212.乙B=300. 。、b、c是△ABC的三边长,且a一bl+口6 b一e十、…万一 1咔.OC+二上卫 1十c。=0 a、b、e均为正数,且(a--b)(l+be)(l+ea)+(b一e)(l+ab)(l+ea)+(e一a)(1+ab)(l+be)=0. 而(a一b)(l+be)(l+ea)=a一b+aZc一bZ…     

一个定理的推导及其应用

一、L砂贬再主」已大,乙月刀七Ll刁。bl卫一点D,若乙BAD二a,乙CAD=刀,lli_匕几BD刀C ﹄,个卜︺叮忿巴︸七、口 工e︺.‘‘目L斗rl岁龟、沙、一内周 \沙井卜M厅?C心叮。一\l一劝创习 月CSinabsin刀(图1)灵证明:鲤AD攀华煞5111刀四DCsinC51二刀幼卫夕~夕月.妊旦~DC月D DC旦担黑SlnP创旦里5 in方CSinabsin刀A入刃B一2.又CM=MB罗丫块故在△ACN和△BMN中,乙CHN二乙B 月C田顶歹石=巡NB.2乃B(图!)(图之) 显然,这定理也可用面积的比获证、下面给出几个推论. 立 成 一cl乙 一一D﹂CB]D,存时〔推论一1:当a=刀时,〔推论二〕:当a …     

集合搭配数的三个公式

设,1、B(二I={az,月!二么 l)若A门B二{al,(乃,刀)个数为3“; 2)若二1日B二{a,,(A,B)个数为3:‘; 3)若A自B二{。J.(I2,… .“泞la”干”!z)场则,1日B=了,则(,1,B)个数为2“.证:设A自B二资a:,…“了)1a了r孟.从A、刀’!J将。,,…,。,。去掉分别得A‘、召‘,则矛nB产二小,且(A产,Bz)个数与(A.刀、一样多.又A,,B’里Ia,、J,…,a。二。冬,故(A‘,丑,)个数为C之·2“+c几·2’卜,+…毕口:.2。二3”.类似可证其它两个公式,集合搭配数的三个公式@罗增儒$陕西师范大学数学系~~…     

巧用线段的定比分点解题

利用线段定比分点的结论,可以巧妙地解决一些数学问题.下面举例证明. 例l求证三点A(1,一1),B(9,5),C(一3,一O在同一条直线上.(中师课本几何第二册尸27例3) 证明:设Bl(9,刃是AC上一点,Bl点分ACz一3 一 一一的比又- 9一1一3一9 2、,一1州卜L一二了八一4, J 21一忿丁 J了百 B(9,5)和B‘(9,5)重合故B在AC上,A、B、C三点共线.例2设a>0,b>o,且a并厂丁b,证明: ’,一a‘a十2b~~必在于与冬一牛之间.刀阵b刁a b~’,’证明:设尸1、尸2、P’的坐标分别为粤、~,J‘认一l、“、一HJ~内’/J刀刁7子b、竺 “ Zb十b、丫万尸为尸l尸:的定比分点.则:…     

解直角三角形

A组 一、选择题 1.(大连市)在Rt△ABc中,乙c二卯。,a=l,。二 4,则sinA的值是() (A)令 (C)含 (B)专 (D)平 二、填空题 7.(沈阳市)在Rt△ABc中,乙C二oo。,tanA= 2‘一一.一一 .于.AC二4.则BC二 3’一”产,一— 8.(青海省)如图,在高为2米,水平距离为3米楼 梯的表面铺地毯,地毯的长度至少需—.米. 2.(呼和浩特市)在△ABC中,乙C=90“,AC= ,2,c。‘=婴,则:anA等于( iJ (A)音 (C)普 (B)贡 洲”日 尸夕产{卢!、·、厂{ 1/}A匕一六片一目 一乙 ,~、5 又u)万 3.(昆明市)在△ABC中,已知乙C=oo。,sinB= 夸,则C。“的值是‘’ 〔A)备〔B)…     

每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…