从一道试题谈数学归纳法和放缩法的综合运用

数学归纳法是高中数学的一个难点，有关自然数的命题常常可以运用数学归纳法解决，但是有时直接运用却又难以实现，本文通过一道试题的求解历程，谈谈数学归纳法的运用．     

关于数学归纳法

为什么说数学归纳法是严格的科学的证明方法?数学归纳法的原理是什么?数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式?这些问题是笔者参与编写上海市高一数学新教材时常常思考的，希望本文能澄清数学归纳法教学中的一些模糊认识．     

数学归纳法证明不等式的解题策略刍议

数学归纳法重在考查归纳、探索的能力.近几年利用数学归纳法证明不等式已成为高考命题的一道亮丽的风景线.但是,各种参考书或杂志在研究此类问题时,都只谈到与n有关的不等式可用数学归纳法证明,并罗列了一些题解的过程,而没有深入探讨:数学归纳法证明不等式的本质是什么?什么时候能用或不能用数学归纳法证明不等式?又如何把一些不能用数学归纳法证明不等式的题,转化为能用数学归纳法证明?本文拟针对上述三个问题,进行分析研究.     

数学归纳法教学的难点及其对策

在数学归纳法教学中,学生主要会遇到两个学习难点,其一,对数学归纳法原理不理解。在教学中,常常会有学生问,为什么这样证明是对的? E.Fis-chbein等的《理解数学归纳法原理的心理困难》一文充分说明了这一问题存在的普遍性,“利用归纳法原理作证明,……更令人注意的问题是,即使是学生具有应用数学归纳法的技巧,也常常不能真正理解它的意义”。其二,在由假设p(k)成立,推得p(k+1)     

关于与自然数有关的命题的两个问题

一、与自然数有关的命题是否都可以用数学归纳法证明? 高中代数(甲)第二册指出:“对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常采用下面的方法来证明它们的正确性,……这种证明方法叫做数学归纳法。”可见与自然数有关的命题并不是都可以用数学归纳法证明的。数学归纳法并非是“万应灵丹”。但是,如果教     

数学归纳法的教学探讨

数学归纳法是一种证明关于自然数的命题的重要方法,学生在初学时往往感到困难。他们不大能理解数学归纳法的精神实质,常常对它产生怀疑,怀疑这种证法是否真正可靠,他们不大相信数学归纳法能把所有的自然数都归纳过,都验证过。认为它还是不完全归纳法,有的     

让学生对数学归纳法原理的理解变得更容易些

数学归纳法原理,由于它的高度的抽象性,使得学生在学习时碰到了很大的困难,即使学生具有应用数学归纳法的技巧,也常常不能真正理解它的意义．因此,数学归纳法原理的教学就成为大家探讨的一个课题．《数学归纳法的教学设计》（以下简称《设计》）,从生活经验中（倒砖...     

真的不能使用数学归纳法证明吗

那么,真的不能使用数学归纳法证明吗？罗增儒教授在文[2]中针对于此类问题指出：“这么简单的不等式,威力强大的数学归纳法真的就无能为力了？到底是方法本身的‘功力不足’,还是我们‘使用不当’？”在此启发下,我们尝试着使用数学归纳法来证明这个不等式．     

证明数列不等式中的常用方法

证明与自然数有关的不等式的常规方法是数学归纳法和放缩法,但数学归纳法的证明过程比较烦琐,而放缩法的技巧性很强,难度较大,可用构造数列的方法证明此类不等式,可使证明过程思路清晰,简洁明快.     

回避数学归纳法的常用策略

与正整数n有关的命题的常规证法是数学归纳法,但是证明过程常常较繁,特别是由n=k到n=k 1时证明过程灵活多变,不易操作.其实很多与正整数有关的问题,若能避开数学归纳法的定势思维,利用其命题特点,另辟新径,采用非数学归纳法证明,往往能避开繁杂的计算.本文介绍几种回避使用数学归纳法的常用策略.     

数学归纳法教学再探

本刊92年第5期发表的《关于数学归纳法的教学初探》一文,主要针对学生“学”中存在的一些问题提出了若干处理措施,对数学归纳法的教学很有指导意义,值得一读,受该文启发并为完善计,本文将针对教师“教”中存在的一些问题谈些粗浅的看法,不妥当之处,还望读者不吝赐教。一、数学归纳法与归纳法的关系问题不论是听公开课还是看教案或是查阅有关出版物,在应用数学归纳法证题时,常常看到有“对n用归纳法”“数学归纳法是一种完全归纳法”的语句出现。有一本复习应试参考书甚至提得更为明确:     

一个数列型不等式的多种证法

<正>纵观近几年江西高考数学理科试题,数列的难度整体下降,但仍然经常与不等式结合出题,有时甚至是关于自然数n的证明题.解决此类问题,常常使用的方法有放缩法、数学归纳法、基本不等式法等,有时甚至用到构造新数列的方法,使得题目迎刃而解.本文就一道数列型不等式的证明问题,从多角度进     

一类递推关系的建立

数学归纳法是一种常用的数学证明方法，用途很广，一些与正整数或负整数有关的命题，而且有递推关系时，往往用数学归纳法加以证明．递推关系比较明显时，比较容易．有时需要一定的技巧来构造递推关系．本就此类问题作些研究．     

归纳递推 探索层层规律

数学归纳法是一种很重要的证明方法,其实质就是递推思想．我们只要把握住递推关系,就能巧妙地对命题进行转换．数学归纳法在证明和计算与自然数有关的试题中往往行之有效,并常常用在恒等式、不等式、数列的通项与和、几何图形的证明中．而“归纳”“猜想”“证明”是数学归纳法所体现出的比较突出的思想．     

数学归纳法教学的几点思考

数学归纳法是高中数学教材中的一个重难点内容。教学过程中常常会遇到学生提出的一些疑问和出现的失误。现就涉及内容本质、知识间的相互关系及观点方法等,提出以下看法和相应的处理方法,供参考。一、数学归纳法是不是完全归纳法规行教材是在给出了“归纳法”的定义之后,接着叙述“数学归纳法”的概念的。教学中我们也是按照“归纳法（完全的,不完全的）—一数学归纳法”这种顺序来讲授的。这便于新的信息进入学生原有的命题网络,并成为其中的一部分,然而这种学习顺序也正是学生产生疑问的直接原因之一。如就‘’数学归纳法”是不是完…     

一类函数问题的解题策略

在国内外数学竞赛中,关于函数y=f(x)的问题经常出现在竞赛试卷中、这类题目综合性强,解法灵活。本文试探讨此类问题的解题策略。 一、归纳法 归纳法是数学发现的有效方法,它是对有关含有自然数的问题,从特例出发、探路,从而归纳猜想出一般的结论,再用数学归纳法来证明其结论的正确性。在求满足一定条件的函数f(x)时,常用此法。     

运用第二数学归纳法经常出现的一个错误

在数学证明中常常要用到第二数学归纳法,它的叙述是第二数学归纳法原理:设有一个与自然数有关的命题.如果1~0当 n=1时命题成立;2~0假设命题对于一切小于 k 的自然数来说成立,则命题对于 k 也成立;那末命题对于一切自然数 n 来说都成立.     

巧证数列不等式

数列不等式的证明,在许多资料、练习册上频繁出现,它的证明方法一般都是采用放缩法和数学归纳法．而放缩法的技巧性太强,大部分高二学生难以掌握,数学归纳法又是高三选修内容,高二学生更是不可能用．那么怎样证明此类不等式呢？下面仅以两例说明,供参考．     

改进数学归纳法教学的探讨

数学归纳法是数学教学中一个传统的重点和难点,是一种常用的不可缺少的推理论证方法,没有它,许多与自然数有关的命题难以求证．同时,其思维方式对于开发学生的智力有着重要价值．但这种方法是利用两个简捷的步骤证明。取任意自然数时无穷多种情况的正确性,十分抽象,因而初学者往往领会不过它的原理,机械套用证明步骤而导致错误．传统的数学归纳法教学是按教材的知识结构,从不完全归纳法引出数学归纳法的概念,然后通过例题学习数学归纳法的应用．教学中学生常常提出这样一些疑问：在第一步证明中,为什么只验证。所取的第一个值,而…     

“加强命题” 数学归纳法的好帮手

在用数学归纳法证明问题的过程中,有时会遇到这种问题：关于正整数n的命题P（n）,直接用数学归纳法时难以实现从n到n＋1的过渡,然而对比P（n）更强的命题Q（n）,在使用数学归纳法时更简单．因此,在处理此类问题时,我们需要主动加强命题．加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化：二是加强结论．本文将对加强命题在证题过程中的应用进行探讨．