数学问题与解答 1989年第1期问题

176.△ABC中,a b e=,(定值),匕A=0(定值),试求△ABC面积的最大值. (四川周余孝供题) 177.若三角形三边成等比数列,求证:以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形.(湖南高成香、陈万龙供题) 178.设A B C二二,二笋>O,求证:‘。。S’普 ,一粤 二。。,誓 (工刀 嘴 z劣)2咬一. 4劣夕z (浙江李世杰供题)‘79·△ABC中,求证:以。。:普、·。一粤、·。二号(”<俨<2,为三边长亦能构成一个三角形.(江苏罗纬供题) 180.设△ABC的内心I到顶点A、B、C的距离分别为二、夕、:,△ABC、△ABI、△刀口了、△〔少月I的外接圆面积分别是S、S:、…     

任意凸多边形面积平分线化归作法

在文[1]中阐述了用"三角形等积定理"(等底等高的两个三角形面积相等)作任意三角形面积平分线(使面积平分为二的直线)的方法和过任意四边形一顶点作其面积平分线的方法.阅此文后,经过进一步探索,得出了从任意位置作任意凸多边形的面积平分线的很简单而通用的作法.下面从过顶点和边上任意一点两方面介绍作法:1过任意凸多边形的顶点作面积平分线①任意三角形时,如图1,取BC边中点D,连接AD,显然S△ABD=S△ACD(三角形等积定理),即AD为面积平分线.     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

1985年第4期问题

76.求证:如果凸四边形一组对边的中点和两条对角线的交点共线,那么这个四边形是平行四边形或梯形. (安徽黄全福供题) 77.试求出顶点在原点,其它两个顶点在,,二,.犷_,L二一‘、‘且小二。、椭圆奋十素=‘上的三角形的最大面积,并指出这时三角形的特征. (上海杨卫生、陈士明供题)78.设数列{a。}:1,9,8,5,…,是a。+a‘十。的个位数字(落=a全.5。+a翌.5。+…+a羞。。。是4其中a‘,‘),试证: (湖南70.求搜「息(击)‘的倍数. 沈文选供题),其中K>1 (湖南草红云供题) 80.把1985。(e为自然对数的底数)分成若干个正数的和,其积最大为多少? (湖北叶年…     

关于四面体的几个定理

本文在三角形的边角关系和解三角形理论的启示下,从数量关系方面对四面体的性质作一些探讨,给出几个定理。在四面体ABCD(图1)中,记顶点A所对的面△BCD的面积为S_A,顶点B所对的面△ACD的面积为S_B,……;将二面角A-BC-D记作二面角BC,将二面角B-AC-D记作二面角AC,……;设棱长BC=a,CA=b,AB=c,DA=a_1,DB=b_1,DC=c_1;将长为a和a_1的一双对棱所成的角记作(a a_1),它们之间的距离记作d(a a_1),长为b和b_1的一双对棱所成的角记作(bb_1),它们之间的距离记作d(bb_1),     

1989年第2期问题

181.求证:梯形两条对角线的平方和小于它的四条边的平方和。(安徽黄全福供题) 182.三角形外接圆上任一点到三个顶点的距离平方和为常量,求证此三角形是正三角形。(山东汤永臣供题) 183.设两锐角x、y适合sin~(10/7)x sin~(13/3)y=sin~3(x y),求证x y为锐角。 (江西漆效群供题)     

错在哪里

1.江西遂川二中肖是明来稿(邮编:343900)即/APO连AO、 在△DPO一/DPO,DO 题若a渭是方程xZ一Zx+乏盆二o的两个根,且a,a+夕,夕成等比数列,求h的值。 解:’:a渭是方程扩一Zx十kz=0的两个根,△APO中丫AO二DO,┌─────┐│、\ ││ “、O │├─────┤│ J ││ / ││ / ││ / ││/ │└─────┘:.,,达定理得{a+夕二2a,夕=kZ①又‘:口,a+夕渭成等比数列.:.(a+口),=。·夕② 将①代入②得2,=尸解得k二土2 将k=士2代入原方程得 xZ一Zx+4=0,.’乙=(一2)2一4义1丫4=一12<0 :’满足条件的k值不存在。此题无解。 解答错了,…     

阿波罗尼斯定理的推广

阿波罗尼斯定理:平行四边形两对角线的平方和等于各边的平方和,即在ACBD中AB2 CD2=2(CA2 CB2)(如图图11),由此可得三角形中线公式,设E为△ABC中AB的中点,则CE2=12(CA2 CB2)-AE2,所以,阿波罗尼斯定理也可叙述为三角形两边的平方和等于所夹中线与第三边一半的平方和的两倍。阿波罗尼斯定理是众所周知的一个几何定理。本文作出该定理的几个推广,旨在将初等几何中的某些有关内容有机地联系起来,使之系统化。推广1　把中点E向边上的任意点推广图2定理1　设E为△ABC中AB边上的点,则CA2.EB CB2.AE=CE2.AB AE.EB.AB证明　如图2…     

抓住关键来思考

应用面积射影公式求二面角的大小 ,对于 (一 )平面角虽可作出 ,但比较困难 ,计算繁琐 ;(二 )平面角无法作出 ,或很难下手 .如 :1.直三棱柱ABC-A1 B1 C1 中 ,∠BAC=90° ,AB =BB1 =1,直线B1 C与平面ABC成30°角 ,求二面角B -B1 C -A的余弦值 .解 :易知∠BCB1 =30° ,作AD⊥BC于D ,则AD ⊥面BCB1 ,△AB1 C在面BCB1 上射影是△DCB1 .设二面角为θ ,cosθ =S△DCB1S△AB1C,其中AC =2 ,AB1 =2 ,S△AB1C =1,B1 C =2 ,CD =2 33,S△DCB1=12 B1 C·CD·sin30°=33,即二面角的余弦值为 33.1题图 2题图2 .正方体中 ,求二…     

梯形面积的一个性质及其应用

定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。     

数学奥林匹克问题

本期问题初,.有四张大小完全一样的三角形纸片,将它们重合在一起,用针垂直地把纸扎透,依次在纸片上把针孔记作O,,O:.03,O‘,然后把四张纸片0;多户09拼成一个大三角形(如图),这样可以得到一个四边形0:。:030‘.假设三角形纸片的面积为5,请你在纸片上选定一个位置扎孔,使四边形O:仇。。O;的面积 4_一若-S 3一 (万金寿长吞市二道河子教师进修学校,130031) 初10.求不定方程月+式+…十划。一1992的所有非负整数解,并求出解组的个数. (蒋茂森吉林大学数学系,130023) 高,.设尸为△ABC所在平面上的任意一点,其面积为△.a’,夕,日,△‘为△月‘刀…     

椭圆的焦点三角形

<正>由椭圆的两个焦点F_1,F_2和椭圆上任意一点P构成的三角形称为焦点三角形。由椭圆的定义,得椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和为定值,即|PF_1|+|PF_2|=2a,所以焦点三角形△PF_1F_2的周长为定值2a+2c。解答与焦点三角形相关的问题(如求△PF_1F_2的面积等)时,     

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有     

四面体的几个新性质

四面体是三角形在空间的推广 ,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去 .本文以向量为工具 ,把三角形的余弦定理、勾股定理以及“在直角三角形中 ,30°的角所对的边是斜边的一半”等 4个定理推广到四面体上 .定理 1　 (四面体的余弦定理 )四面体C-AOB中 ,若CO垂直于平面AOB ,平面AOC与平面BOC所成的二面角为α ,则四面体的四个面的面积之间有如下关系 :S2△ABC =S2△AOC S2△BOC S2△AOB -2S△AOC·S△BOCcosα证　以O为原点、OA为x轴 ,OC为z轴建立空间直角坐标系 ,设四个顶点的坐标分析为A(a ,0 ,0 ) ,B(b ,d ,0 )…     

抛物线与三角形面积一文的补充

本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结     

余弦定理和韦达定理的结合使用

余弦定理和韦达定理是初中数学中的两个重要的定理．余弦定理反映了三角形中三边与一角余弦的等量关系，而且又是关于三角形边的一元二次方程．因此可以将这两个定理有机结合在一起，解决有关“两边之和或两边之积”型的几何题。例1已知△ABC是圆的内接正三角形，P是BC上的任意     

灵活运用完全平方公式

同学们都知道:(a±b)2=a2±2ab b2是完全平方公式。即:两个数的和(或差)的平方等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍。在完全平方公式中,左边是一个二     

求阴影部分的面积技巧

一、利用叠合法求解例1 如图1,分别以边长为a的三角形顶点为圆心,a为半径的三段圆弧所围成图形(即阴影部分)的面积为________________________. 解:因为三个相同的扇形都覆盖了三角形,所以阴影部分的面积等于一个扇形面积的三倍减去正三角形面积的2倍.     

Weitzenb(o)ck不等式一个加强的三种证法

1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式.     

数学问题与解答——1989年第1期问题解答

176.△通刀C中,a十乙 。=。(定值)之A=0(定值),试求△ABO面积的最大值. 解:’:a十乙 。=。, a,二石, c,一2乙。eoss, .‘.Zb。 Zb口eoso二Zb。 b, 沪一a, =(b o)’一a,二(乙 口 “)(b 。一a) =饥(饥一2“),b宁冷一a=口二一= 2竹鑫2厂z 。in旦、’ \2/b。=杭(饥一Za)万孔 。o。夕)’1一2 一一召。,。o一乙。Sin口二勿(饥一2亿)sins 4戈1十eos夕) 177.若三角形三边成等比数列,求证,以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形. 证:设△通丑口的三条高线为凡,h,,h。,且△三刀口的面积为刀,则 2习,2习,2尽入。二二竺立,无。二牛,.瓦二上竺…