两个组合公式及其应用

我们知道,有这样两个组合公式: C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1); C_r~r=C_(r+1)~r+C_(r+2)~r+…+C_(r+n+1)~r =C_(r+n)~(r+1)现在,我们来考虑组成这两个公式的各个组合数的倒数是否也能组成相应的公式?下面我们分别来讨这两个问题。定理1 设m,n为自然数,且m≥2,m≤n,则     

原型构造法及其在证明组合数恒等式中的应用

一、什么是原型构造法先来看一简单例子:例1:证明组合性质C_(n 1)~m=C_n~(m 1) C_n~m．常规证法是利用组合数公式验证,现根据组合的意义,构造一个问题原型:考虑从n 1个运动员中选m个参赛,其组合数为C_(n 1)~m．分两种情况:队长上场和队长不上场,分别有C_n~(m-1)和C_n~m种组合,由加法原     

公式教学小议

数学公式是学生解题的重要依据和工具,但学生在运用公式时常常发生乱套、错用公式的现象。为了加强对学生运用公式能力的培养,我在要求学生理解公式意义的基础上,注意从以下五个方面加以训练。 1、可逆性数学公式以等号形式出现,学生在运用时仅习惯于自左至右的顺用,忽视逆用,在教学中必须重视培养学生顺逆并重运用公式的能力。例如对组合性质公式C_m~n C_m~(n-1)=C_(m 1)~n,教师必须强调“一分二”与“二合一”的可逆性。 2、变换性一个数学公式含有几个不同的量,如果已知其中若干个量要求其他的量,就必须将公式变换。例如在等差数列和等比数列中,归纳起来     

组合恒等式的证明

一、直接利用组合数公式证明二、利用组合定义证。 [例1] 求证 C_n~(m 1) C_n~(m-1) 2C_n~m=C_(n 2)~(m 1) 证:从n 2个不同元中取m 1个元的组合可分四类:i)含指定元甲、乙的有C_n~(m-1)种,ii)不含甲、乙的有C_n~(m 1)种,iii)、iv)含甲不含乙与含乙不含甲的各有C_n~m种。由加法原理得原式。三、利用组合性质证。如例1原式左=(C_n~(m 1) C_n~m (C_n~(m-1) C_n~m)=C_(n 1)~(m 1) C_(n 1)~m=C_(n 2)~(m 1)。     

“发现法”教学尝试

发现法教学，是指在教师的启发引导下由学生自己探索发现尚未掌握的知识，寻求尚未知晓的事物规律的一种教学方法 .发现法教学的关键是启发学生自己动手动脑，充分调动学生学习的主动性 . 下面是笔者用发现法进行教学的一节尝试课 .　　[课题 ]组合数的两个性质 　　首先复习组合数公式　　　　Cmn=（其中 n． m∈ N， m≤ n） 　　然后让学生做题：　　1求的值； 　　2比较上题中的结果，你有什么发现 ?(让学生讨论 )请学生回答：　　=6， =15， =20， =15， =6．　　比较其值，发现 =， =，从而猜想．这时教师指出：从几个具体例子猜…     

“不够商1”问题教学的一点意见

两三位数除多位数教学中“不够商1”问题主要有两种处理方法:一种是通过判断“某数被一个数除不够商1”进行计算,另一种是通过判断“某数个百(或某数个十)被一个数除不够商一个百(或一个十)”进行计算。我们在教研活动中发现这两种方法教学效果差异较大。用第一种方法教学时,学生计算和叙述算理基本没有出现问题;而用第二种方法教学时,学生大都出现了叙述算理错误的现象。例如,让学生叙述2835÷27的算理,当被除数的十位     

一个组合公式的引伸及推论

本文对组合公式C_m~n=C_(m-1)~n C_(m-1)~(n-1)的引伸进行了讨论,也就是说,我们反复应用该公式,可得到另外一个组合公式.最后,当这个组合公式满足所给条件时,我们又得到两个组合公式.     

公式K·C_n~k=n·C_(n-1)~(k-1)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但是把它和准确、形象、生动的实例联系在一起,困难便消失了。组合数的两个性质就是这样。C_n~m=C_n~(n-m)表示从n个元素里挑m个元素出来和挑n-m个元素留下是一回事。公式C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)表示从n个元素中挑m个元素可以分两种情况。不挑元素A的有C_(n-1)~m种,一定挑元素A的有C_(n-1)~(m-1)种。“无A”、“有A”是这个公式的“题眼”,抓住“题眼”,问题就迎刃而解了。 C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了     

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,     

贾宪三角形的有趣应用

贾宪(杨辉)三角形(“开方作法本源”图)的发现是宋元时期中国数学家的一项杰出贡献,是十一世纪中国数学的优秀成果之一,它是由全体组合数构成的一个无穷尽的三角形图表,其构成方法是:边上的数全写上1,中间的数等于其肩上两数之和。这说明关系式C_n~0=C_n~n=1,C_n~k+C_n~(k+1)=C_(n+1)~(k+1)(0≤k相似文献   

排列、组合与二项式定理复习指导

一、知识要点(一 )两个基本原理加法原理与乘法原理是推导排列数、组合数公式的理论依据 ,也是分析、解决排列组合问题的基本思想方法———分类与分步的思想方法 ,必须熟练掌握“分类”用“加” ,“分步”用“乘”的思想 (二 )排列数、组合数概念及公式 1 排列、组合的定义及区别与联系 排列与组合都是研究从一些不同元素中取出几个的问题 ,但本质区别在于前者有顺序而后者无顺序 2 排列数、组合数定义和计算公式 ( 1 )排列数公式 :Ｐｍｎ =ｎ(ｎ -1 )… (ｎ -ｍ+1 ) =ｎ !(ｎ -ｍ) ! ( 2 )组合数公式 :Ｃｍｎ=ｐｍｎｐｍｍ=ｎ!ｍ !…     

活跃思维 学活知识——用字母表示数的教学

用字母表示数,是列代数式表示数量关系的基础,用代数式表示各种数量关系则是列方程解应用题的前提。因此用字母表示数的教学,是教学方程知识的“前期工程”,必须教得扎实,让学生把知识学懂学活。这就得引导学生运用已有的数、式和数量关系的知识,进行主动积极的思维,由形象向抽象过渡,并进行多角度、多方面的辩证思维。 为了激发学生的学习兴趣,教学开始时我板书:a、b、c、d、x、y,问:“老师写了些什么?”(英文字母)“这英文字母用来做什么的?”(拼英语的)我说字母的用途多着呢?随即出示小黑板,上面写着: (1)《阿Q正传》,《W的悲剧》,A姑娘的喜悦。“其中的字母表示什么?”学生一看就说:“表示人的名字。”     

“百分数的应用”教学实录与评析

教学内容人教版六年制小学数学第十一册第五单元第三节“百分数的应用”例3。教学目标1.通过教学让学生学会求一个数比另一个数多(或少)百分之几的方法,并能用这一知识解决生活中的实际问题。2.培养学生的应用意识。教学准备学生课前收集的有关百分数的问题,多媒体软件。教学过程(一)运用已有知识对两个数量进行比较。师:今天在上课之前,我想请问6年7班班长一个问题。(班长站了起来)师:我们6年7班男女生各有多少人呢?班长:男生25人,女生17人。多媒体演示:六年七班有男生25人,女生17人。师:请同学们用已学过的知识对这组数量进行比较,看哪一…     

一个恒等式的另证

全日制十年制高中数学课本第三册有这样一道习题:“证明:C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 …… nC_n~n=n·2~(n-1)”[P160.第23题(2)]。此题在教学参考书上给出的证法是先证kC_n~k=nC_(n-1)~(k-1)成立,再对等式左边变形导出右边的结果而得证。笔者通过对该题的钻研发觉还有两种运用组合数性质对此题进行证明的方法不仅过程简捷,而且紧扣本章的基础知识,在教学中向学生讲解效果很好。现介绍如下,供参考。证法一:用数学归纳法证明。当n=1时,左边=C_1~1=1,右边=1·2~(1-1)=1 ∴左边=右边,即等式成立。设n=k时等式成立,即C_k~1 2C_k~2 3C_k~3 … kC_k~k=k·2~(k-1)成立。现将该式两边同加上“C_k~0 2C_k~1     

试用发现法教学一例——分数、小数四则混合运算

运用“发现法”教学,可以启发学生发现问题、研究问题、解决问题,积极主动地获取知识。下面是我试用发现法教学“分数、小数四则混合运算”的一例。 1.以旧引新,为发现新问题做好铺垫。上课时,教师首先板书例题6.3×1(1/3)-1(5/6),然后提问学生:①这道题与以前学     

让学生成为学习的主人

一、让学生明确目标目标是教学活动的起始和归宿,清晰的教学目标能为教与学指明方向。因此,教师应根据大纲、教材和学生实际制定教学目标。教学时,可在课始直接出示给学生,让学生有一个明确的学习目标。如教学“圆的面积”时,教师首先出示这节课的教学目标：(1)能够理解圆面积公式的推导过程;(2)掌握圆面积的计算公式;(3)会运用公式计算圆的面积。有时,     

教代数《乘法公式》的点滴体会

最近我参加了一段新編十年制教材代数(试用本)试教工作,試教的教材是《乘法公式》这一节。现在来談談这段試教工作中的几点体会: 一、突出規律和加强基本訓練的重要性乘法公式是基本知識,必須让学生熟练掌握。但是学生常觉得記忆公式很是枯燥,并且公式多,容易混淆。通过这次试教感到,要使学生在理解的基础上記忆公式,达到牢固掌握并能灵活应用,突出規律和加强基本訓练,是很重要的。从突出規律来說,例如多項式平方是旧教材高中一年級的內容,現在十年制教材在复习运用公式(a b)~2=a~2 2ab b~2的基础上,举(a b c)~2=a~2 b~2 c~2 2ab 2ac 2bc为例,讲透公式     

“先教”与“先学”的思考——数学解答题教学的一点启示

教学教学。不教怎么学——这是学生的观点。不教用教师干什么——这是领导的观点。教吧教吧，先教既让学生满意(可以不动脑筋或少动脑筋)也让领导放心(听课时有据可查)，何乐而不为——这是部分教师的观点。于是。就数学而言，在教师手下就出了试题的归类、入手点的选择、解法的固定、思路的确定方法等等，都成了不成公式的公式。学生受到的是模仿教育，     

教学相长 教无定法——教学三得

教要得法：在教学《长方形面积计算》这一课时，许多教师历来的做法是：让学生剪下许多1平方厘米的小正方形纸片，再用这些正方形小纸片去拼摆出长方形并数出长方形的面积，最后推导出面积计算公式。这样做，既费时，又费力。一次，我无意间发现学生写字用的小字格纸有个特点，就是每个字格正好是边长为1厘米的小正方形。于是，我在教《长方形面积计算》时，有意采取以下方法，收到了很好的效果。     

用组合性质推导(sum from i=1 to m ai)~n(n≥1,m≥1)的项数

在学习过程中,我们遇到求形如(1+2x+3x~2)~5的展开的项数问题,通过分析,我们猜测如下命题。我用已学过的组合性质C_(n+1)~m=C_n~(m-1)+C_n~m及二项式定理证明了这一命题。命题:(sum from i=1 to m a_i)~n(n≥1,m≥1)的展开项数为C_(m+n-1)~n项。证明:我们对自然数m用数学归纳法。①、当m=1、2时,对一切自然数n命题显然成立。②、假设m=k时,对一切自然数n命题成立。当m=k+1时, 据归纳假设,上式右端展开后,其项数分别为:C_k~0项,C_k~1项,C_(k+1)~2项,C_(k+2)~3项,…,C_(k+n-1)~n项。又由于上式右端a_(k+1)的方次不同,它们之间不可能再合并同类项。故有 (sum from i=1 to k+1 a_i)~n展开项数=C_k~0+C_k~1+C_(k+1)~2+C_(k+2)~3