每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…     

数学问题与解答

181.求证:梯形两条对角线的平方和小于它的四条边的平方和. 证:设△AB叮的外接圆上任一点尸使!尸以I’ {尸刀l, !Pol,为常量.取△ABO的重心O为原点建立直角坐标系,并设顶点A、刀、O的坐标为(二:,万。),1《玄(3,P点坐标为(二,功,则有 1,_、1 言(气 “ 几)=言(,,十“: 夕。)=。· !.尸通1’ !尸刀l, }PO 1. 证:如图在梯形通丑口D中,AD// BO.记滋口二仍,BD=”,AD=a,BG=b,通丑=c,刀口== d.显然a尹b,不妨令a相似文献   

数学问题与解答——2004年第2期问题解答

606.设锐角△ABC的外接圆00的半径为R,AO、BO、CO的延长线分别交BC、CA、AB于D、E、F,求证: 1 1 12 丽+丽十厉=元·因而,二下二+二二二十入刀万刀 1CF一矗(3+。。t口一‘:+一‘甲。。‘a+C。‘a一‘口,一是,这里用到三角形中的恒等式eo七口eot甲+eot守eot。+eot a eot口=1607.在△ABC中,C AB CO石二,CO不一口左nZ,2{-曰声目—万呼—气一 口一CC一aC()t, 2a一b=0,求证: 证:如图1,延长AD交庆少于点M,连CM,过A作AN一BC,垂足为N.设乙BAC=a,艺ABC二刀,乙ACB二7,由正弦定理AN=AB Sin月=ZR sin守sin尽 又乙M=乙ABC,乙A…     

第二题

(必要性证明) 【证法一〕因△ABC为锐角三角形,故它的外接圆心O在△A石亡,内.于是 S△,。c=50;注F SoF刀。 Sozoc七. 过点刀作④O的切线尸Q,贝}IOA上尸。, 乙尸AB“乙AcB. 又B,C,E,F四点共圆,:’匕月CB=艺AFE,艺尸AB二艺AF五. .’.尸Q 11 FE.则。A土F石. :·“口,月*一;0“EF 同理“。pB。一;。‘·FD, ‘。D。,二一三oc .D五 。_。、2-- 从而s。,。二令(。A .EF 。B.FD 。c.OE) 分、”幼一.月习专?、一--一一’一一-一’一~一一尹 R,一___一、 .下戈乙厂 户I,十Lj己). ‘ [证法二〕设O为△ABC的外心,连AO并延长交…     

数学问题与解答

241.AB为半圆O的直径,在半圆中有、个圆,它们分别与半圆弧和AB相切于认、双“二1,2,…,。),试证:、条直线以双(么=1,2,…,、)相交于一点.证:’:BD十DC干习召=DO十口忍十.召通 =△ABC的半周长,:.BD=EA.①…BD一卜BF+不城二BD+DC十CZ亏 =△ABC的半周长, 方F一卜FA=DC十C忍_据赛瓦定理, AF 万,召刀口〔少五i’方DC召DC’玄月一二l,月少,万,方A尸+万,刀DC十CE一万男一二一-亡刀一 证:作出另一个半圆,形成回0.先看④O,,它与④O内切于口:,与A刀相切于几.设直线olD:交④O于点万. 显然O、O、、久三点共线,连d勿.、olDI. ‘,…     

错在哪里?

问题:如图.在梯形ABCD中. AD llBC,AD二4em, 刀C=6cm,过两条对角线交点O引百卢解法一:设OF二那tn, E尸/jBC‘’EFlj刀D.OF OC飞D=J了万,又滋D二4刀刀C.交两腰于石、F又知O五二Icm.求线段石F的裕_OC劣又亡.万EF 11 BC,OE~i,Z〔=6 AO OE 又C=~万百‘AO二月C一OC.一卜豁.①一‘一专,·飞二一譬(cm) 月万DF AB 一万刀=下匕,忑万= O五OF 又刀=了万,C刀刀刀尸C户亡,又万=厄石0万.OF,又而。 6合…EF一。E 。F一譬(cm)解法二:设OF=邵m,而OE=1(em) EF二O万 OF=2·OE二2(cm)三种解法.得到EF的三个不同的数值,EF一誓c…     

数学问题与解答 1990年第6期问题解答

231.已知四边形ABOD,且刀// BC,刀、F、G、H分别为边通刀、BO、CD、,D通上的点,EG交cos,工>l一 几九-(九一1)(九+l)~一_~刀尸。.、一刀尹于尸,居升=入,求证:“‘J‘’尸口一‘”。、池, 姓刀.D口 ,,。一耳升十入.,朵升 丑尸AB“’刀口 万石1一1+入 证:如图1,过E、G分别作AD的平行线,分别交刀尸于万、N,则eos,工 2eos:生 3。。s:含…。。52 11990 1。32。43。5)花歹一‘飞‘一’一砂一’.’1989·19911990,199119912·19901989+1991 . .‘.上月任 S O C图1eos工。。s工 23 11990通刀万卫丽函~=丁刃歹·刀口刀万下万口.=.刀丁矿>(…     

一个命题的纯几何证法

命题AC=b, 证 在△A BC中,BC=a,AB=匕A=20’,求证a“+b3=3ab2.交则如图,作BD=aAC于D,作DE土AB于E,△BDC伪△A BC,。c=丁.:t△。。。中,匕D召君=6。。,”“=普,”E二定理:a,在R、△AED中用勾股一3亿(“一普)“+(誉·)’、./az一b 一 ,口了、化简即得欲证. (作者单位:浙江温州师专)一个命题的纯几何证法@郭培仁$浙江温州师专~~     

每期一题

题:已知D是△ABC边AC上的一点,AD:刀C=2:1,乙C=45。,乙A刀B=600,求证:AB是△BC刀外接圆的切线。(1987年全国初中数学联赛第二试的第二题) 思路一,应用切线判定定理:经过外径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 证法一如图一,连OB、OC、OD,O刀交BC于E。 乙D CB== 450:.艺D OB二9护。 又乙D刀C =乙A刀B一乙f, CB =15。,…乙刀OC二30.:.乙DCA‘=90。从而刀E是O劝的直径。,.’匕B刀E二乙B CE=45.卜 二匕刀C刀二艺BED,…BD=刀万① 又艺EDA产二匕B刀A产一乙B刀E =150=乙D BC==乙D EA尹, A尸D=A户E,匆 由①、②…     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

数学单元测试题（二）

一、填空题 1.在Rt△ABC中,么(’一90。,AC=3,BC=4。若以(?为圆心.尺为半径所作的圆与斜边AB只有一个交点.则R的取值范围是 . 2.如图1,oO的直径AB=10,E是OB上一点,弦CD过点E。I~BE=2.DE=2 v厂虿.则弦心距0一、一 . ,一、 3.如图2,尸以、尸B分别切00于A、B两点,在AB上任取一点(,’,过点(_’作oD的切线,分别交,)A、,JB于D、E.(1)若尸A一5,则△PDE的周长为(2)若么APB一50。,则么DOE=度. 4.如图3,CD是00的直径,AE切00于B,IX7的延长线交AB于点A.么A一20。.则么DBE一 .5.如图4,在o()中,AC是弦,AD是切线,CB上AD于B,CB…     

梅涅劳斯定理及其应用

(本讲适合初中)1梅氏定理及其逆定理1·1梅氏定理一条直线截△ABc的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F,则刀DC五AF一.一-一二二._刀C石A FB=工。证法一(平三二*一‘/月BD_S△FBDDes全;ne’CE_S△cE,_S△cED石亘一s△丽蔽一亏乙而石,仁里=芝叠‘些迎土S全卫旦D=逻些卫卫少刀且S△人;:+S△人EDS△人;D,AF_S么人牙D尸丑S△二BD,BDDCCEEAAF_;乡石一人·行线成比例法) 如图1,过C作CK才AB,交FD于K,则1·2梅氏逆定理在△ABC的边B矶CA,AB或其延长线上分别取点D,刀,F.如果有BDDCCE AF刀AF刀“1,那么D,E,刀DDC_刀F…     

数学问题与解答 2004年第4期问题解答

611.如图1,C为半圆弧的中点,尸为直径BA延长线上一点,过尸作半圆的切线尸D,D为切点,乙B尸D的平分线分别交AC、BC于点E、F,求证:/EDF=900. 我们不妨将原题中两个正方形ABC’D‘及A’BC’DII延展到如图2正四棱柱所示的位置ABCIDI与位置AIBCID2.只需求出平行四边形AIBCIDZ的面积51. C盗灰里互尸A OB 图1由c0Sa二 凡BcDSA,刀e:。2 1______.=下一,即得所求. Ol 证:记半圆的圆心为O,连OC、OD、BD、CD.’:C是半圆弧的中点,尸D是切线, :.OC土AB,OD上尸D, ,JAl卜一 ,摊 ///乡///D尸B=90。一/尸OD==/COD.丫尸E平分…     

数学问题与解答

206.已知正六边形通刀口2,刀,,内任一点尸,连结ZH、尸刀、PO、尸刀、尸刀矛晒1,求证 尸且·尸刃·cos匕APD=Z诏·尸丑·cos乙Bl〕E=PC·于晒,.cos匕口子晒,.〔活,体积相等,且口土平面丑已尸,凡一音·AO·“一普凡令匕BC叹尸=0, 证:如图l,连结通刀、丑刃、已石1,则通刀=刀刀二C晒,.二①.又过P点作垂直于朋、ED的厂直线交AB、刀刀于M、N,则通万=EN,卫丑=万刀…②·CF石形刀馨。 BCSin30“丑尸sino丫BC=甲AB,一Ao,=a,=Zasin(150“一0),sin(150“一0)’…刃万,二Zasino,口尸“一专邵·oFs‘n30。月川6 图1二a,sin陇in(一50“一0…     

1990年第4期问题

221.以锐角△ABC的BC边为直径作圆,交AB、AC于E、D,若ED=BE+CD,试证:ED将△ABC的面积和周长分成的上、下两部分之比都等于ctg~2A.222.给定两个圆,圆心分别为O和O     

一道例题的推广及其应用

题目如图1,Rt△ABC中,匕八CB一’八刀一八B;(2)C〔)2=AD一BD;(3)政〕,刀D .AB. 证’:艺八CB~90。,〔刃土月刀, :’ Rt△ACD的Rt△(泪D的Rt△八刀C.900,CD土AB.求证:(1)月CZ=D一DB一C 一一.八C AD〔刃‘’丽一入乙’入万五〔刀DAB BCAD图1 :.八CZ一AD·八刀,CDZ~乃D·BD,孩二2~BD·八刀. 此题实际上是人教版《初中几何》第二册第226页例2的推广,旧教材把这个结论称为“射影定理”.近几年的中考题中,经常出现以本题结论为背景的题目,现举例如下. 例1如图2,BC是半圆O的直径,延长CB到尸,作尸A切半圆于A,AD上BC于D,…     

一道竞赛题的推广

第二十九届国际奥林匹克数学竞赛中有这样一道题:(3)当A>900时,2R万石. VS一T 在直角三角形ABC中,AD是斜边上的高,连接△ABD与△ACD的内心的真线,分别与边AB及Ac交于L、K两点,△ABC与△通KL的面积分别记为S、T,求证:S)ZT。 我国选手何宏宇同学给出了一个精彩的证明,简述如下。 证设△ADC户△ADB的内心分别为M、N, ,.’△ADBco△CDA,DN、DM是过D点的两条分角线(即两条对应线段), (ZR为△ABC外接圆直径) 证(1)的结论在原题证明中已经得出。 (2)如图,作A尸土AB交BC的延长线于P,交DN的延长线于Q,则匕DA尸的平分线与D…     

一个几何定理及其应用

一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.…     

数学问题与解答

686加图4，尸为00外一点，过尸作00的两条割线分别交00于A、B和C、D，AD与BC相交于Q，过A、C作00的切线相交于R，求证:尸、Q、R三点共线. sin乙ABD sin乙CDB尸A·尸B尸A QB尸C尸D专=井.，二，二.·，:~二，二，二，:二·二二气二，件=书卜叼A叼刀叼C尸万QD’QA QA·QD尸C·PD Q     

边长是连续整数的三角形的性质

《、卜学教研》(数学),2年第2期!8页刊登一道赛题及其解答如「: 如图I,△,落邢只边的长分别是邵一17,‘飞一18,月刀=l勺,过△月留l勺的点p向△A欣少的三边作垂B线,PD、朋、即(D、召、F为垂足),且刀D十‘刀+寿’- I)图l27,求刀D+脚’的长. (第五肠全囚部分省、市初中数学通讯赛试题) 解:连结剐、朋、八了.由全」股走理得: 刀护+C刀2+月FZ 一尸BZ一尸护+尸(咫一尸尸+尸矛一尸尸, 刀尸+月解+C拼 二尸牙一尸j’z+尸矛一尸尸十P(夕一尸护, 刀I尸十C刃2十月尸一刀尸+月解+亡解 =刀矛’2+(18一(了E)2+仁17一刀D)2.整理得形,+阶t2一182十17…