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1.
第48届IMO预选题(三) 总被引:1,自引:1,他引:0
几何部分
1.本届IMO第4题.
2.已知等腰△ABC,AB=AC,M为边BC的中点,X是△ABM外接圆的劣弧MA^上的一个动点,T是∠BMA内的一点,且满足∠TMX=90°,TX=BX.证明:∠MTB-∠CTM的值不依赖于点X. 相似文献
2.
几合部分
1.设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q.证明:AP=AQ. 相似文献
3.
几何部分
1.本届IMO第4题.
2.已知△ABC的外接圆Г,边AB、AC的中点分别为M、N,圆Г不含点A的弧BC的中点为T,△AMT、△ANT的外接圆与边AC、AB的中垂线分别交于点X、Y,且X、Y在△ABC的内部,若直线MN与XY交于点K,证明:KA=KT. 相似文献
4.
组合部分
1.考虑平面上边平行于坐标轴的矩形(长和宽均大于0),并称这样的一个矩形为一个“箱子”.如果两个箱子有公共点(包括箱子的内部或边界上的公共点),则称两个箱子“相交”.求最大的正整数n,使得存在n个箱子B1,B2,…,Bn,满足Bi与Bj相交当且仅当i j±1(mod n). 相似文献
5.
题目已知BE,CF是锐角△ABC的高,过点A,F的两个圆与直线BC分别切于点P,Q,且点B在C,Q之间,证明:PE,QF的交点在△AEF的外接圆上. 相似文献
7.
组合部分1.本届IMO第4题.2.设1000名学生围成一个圈.证明:存在正整数k(100≤k≤300),使得在此圈中存在相邻的2k名学生,满足前面的k名学生与后面的k名学生中包含女生的数目相同. 相似文献
8.
9.
数论部分
1.求所有函数f:Z+→Z+,使得对于所有正整数m、n,均有(m^2+f(n))|(mf(m)+n). 相似文献
10.
11.
代数部分
1.求最大的整数k,使得下列命题为真.已知任意2009个非退化的三角形.将每个三角形的三边染上颜色,且一条边染上蓝色,一条边染上红色,一条边染上白色. 相似文献
12.
一道IMO预选题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为D,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A’,BO交△COA所在的圆于另一点B’,CO交△AOB所在的圆于另一点C’.证明: 相似文献
13.
1.已知n为正整数.求满足下述性质的最小正整数k:给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1+a2+…+ad=n(0≤ni≤1,i=1,2,…,d),总能将这些数拆分为k组(某些组可以是空的),使得每组中的数的和最大为1. 相似文献
14.
题目如图1,已知□ABCD。一条过点A的动直线l与射线BC、DC分别交于点X、Y,△ABX中〈BAX内的旁心为K,△ADY中〈DAY内的旁心为L.证明:〈KCL为定值. 相似文献
15.
16.
17.
1.有2009张卡片,每张卡片一面为金色,另一面为黑色,且在一张长桌子上排成一排.开始时,所有卡片的金色面朝上.两个玩家站在桌子的同侧,且交替地进行操作.每次操作规则如下:选择相邻的50张卡片,且最左边的一张卡片的金色面朝上,其翻转卡片,使得金色面朝上的变为黑色面朝上,黑色面朝上的变为金色面朝上,并规定最后一个按上述规则操作的玩家获胜.问: 相似文献
18.
题目 在凸四边形ABCD中,对角线BD既不是∠ABC的平分线,也不是∠CDA的平分线,点P在四边形ABCD内部,满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA.证明:四边形ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP。 相似文献
19.
第37届IMO预选题第16题为:
问题 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在圆于另一点A’,BO交ACDA所在圆于另一点B’,CO交△AOB所在圆于另一点C’.证明: 相似文献
20.