从一道数列题看通项的求法

题目 已知数列{αn}满足 α1=1,αn＋1=3αn＋1． （1）证明{αn＋1/2}是等比数列,并求{αn）的通项公式, （2）证明1/α1＋1/α2＋…＋1/αn〈3/2.     

一道高考模拟题的研究性教学过程

1问题的提出 题目已知数列{αn}满足α1=5，α2=5，αn＋1=αn＋6αn-1（n≥2,n∈N^＊）,若数列{αn＋1＋λαn}是等比数列，求所有λ的值，并求数列{αn}的通项公式。     

浅谈函数与方程思想在等差数列中的运用

我们知道,{αn}是等差数列时,αn=α1＋（n-1）d,Sn=nα1＋n（n-1）/2d（Sn=αn^2＋bn,Sn/n=αn＋b（a≠0））.当a≠0时,世,Sn/n是n的一次函数,S是n的二次函数,且不含常数项（n∈N^＋）．     

自然数平方倒数和的一个改进不等式

得到了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2）,其中（α=12-π^2/π^2-6）=0.5505460967^＋;当且仅当n=1时,等号成立.且证明了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2 1/n＋1/2）两端的常数1/2、α均为最付佳值.     

柯西不等式在2014年高考中的应用

柯西不等式： 设αi,bi∈R（i=1,2,…,n）,则 （α1^2＋α2^2＋…＋αn^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（α1b1＋α2b2＋…＋αnbn）^2,当且仅当αi=kbi,i=1,2,…,m时等号成立．     

例谈构造对偶式求两类递推数列通项

类型一：an＋2=pan＋1＋qan 此类递推数列的通项求法一般是通过假设an＋2=aan＋1=β（an＋1-aan）构造等比数列来处理,其中α,β的确定可由其等式等价于an＋2=（α＋β）αn＋1—αβan,得到α＋β=P,αβ=-q,所以α、β满足方程x^2=px＋q,此也就是类型一的特征方程．：     

用常数变易法求一类递推数列的通项公式

本文运用常微分方程中常数变易法的思路,将求递归数列αn=f（n）αn-1＋g（n）的通项公式这类问题转化为两步解决,一是求当g=0,α1=C时递推数列αn=f（n）αn-f＋g（n）的通项公式,二是将第一步求出的通项公式中的常数C变易为n的函数Cn,使其为原问题的通项公式,代入αt=m中求得Ct,再代进αn=f（n）αn-t＋g（n）求得Cn的表达式,继而得到递推数列αn=f（n）αn-t＋g（n）的通项公式．     

素因子函数Ω（n）的二次均值

设Ω（n）表示正整数n的全部素因子的个数,即若n=PlαlP2α2…pr^αr,其中Pi（1≤i≤r）是不同的素数,则Ω（n）=α＋α2＋…＋α,．文章主要利用初等方法探讨Ω（n）的二次均值,并给出∑a≤x^Ω2（x）的渐近公式．     

亚纯函数分担有理函数的唯一性

采用权弱分担值的思想讨论两个亚纯函数fnf′,gng′权弱分担有理函数的唯一性,得到：设p（z）,q（z）为两个互质的n1,n2次多项式,f,g为两个非常数超越亚纯函数,如果fnf′与gng′分担＂（pq（（zz））,m）＂且（1）当2≤m≤∞时,满足n≥max{11,2n1＋4n2＋3};（2）当m=1时,满足n≥max{13,2n1＋4n2＋3};（3）当m=0时,满足n≥max{23,2n1＋4n2＋3},则f=c1Q（z）exp（α（z））,g=c2Q-1（z）exp（-α（z））,其中：c1,c2为2个常数且Q（z）是有理函数;α（z）为满足（c1c2）n＋1（Q′（z）/Q（z）＋α′（z））2≡（p（z）/q（z））2的多项式,或者f=tg,t为常数且满足tn＋1=1.     

用斐波那契数列求解一道全国数学联赛题

在2005年10月举行的全国数学联赛（江苏卷）中，有这样一道数列证明题： “数列{αn}满足α0=1,α=7αn＋√45αn^2-36/2。 证明： （1）对于任意的n,αn．为正整数;     

小题大做

题目 设α,b,m,n∈R,且α^2＋b^2=5,ma＋nb=5,则√m^2＋n^2可的最小值为__．（2014年陕西卷） 1．柯西不等式 解法1 由柯西不等式,有（α^2＋b^2）（m^2＋n^2）≥（am＋bn）^2,     

算术平均值与几何平均值的一个新不等式

命题1 设ai≥λ＞0（或0＜αi≤λ）（i=1,2,…,n,n≥2）,则a1＋a2＋…＋an≤a1a2…an/λ^n-1＋（n-1）λ     

两道2007年高考题对高三教学的启示

2007年的高考试题中出现过这样2道题目： 题目1 已知函数f（x）=x^2＋x-1,α,β是方程f（x）=0的2个根（α〉β）,f＇（x）的导数，设a1=1,an＋1=an-f（an）/f＇（an）（n=1,2,…）.     

高考中数列交汇题的五大类型

数列与方程的交汇 例1（2007年高考重庆卷）设{αn}为公比q〉1的等比数列,若α2004和α2005是方4x^2-8x＋3=0的两根,则α2004＋α2005=_．     

碱基互补配对的一个"万能公式"

知识点“碱基互补配对原则”在“DNA分子结构与复制”一节中是一个重点，相关计算是一个难点，不少学生由于方法不当经常出现错误。众多教辅材料中有下列“公式”：①Aα=Tβ，Aβ=Tα；②Gα=Gβ，Gβ=Ga；③若α链中：（A＋G）／（T＋C）=m，则β链中（T＋C）／（A＋G）=m，（A＋G）／（T＋C）=1／m；④若α链中：A＋T=n％，则整个DNA分子中，A＋T=n％，C＋C=1-n％。     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.     

一个三角不等式的证明与应用

定理 对于αi,βi,γi∈（0,π）,其中i=1,2,且α1＋α2＋β1＋β2＋γ1＋γ2=2π则sinαisinβ1sinγ1＋sinα2sin2sinγ2≤2sin（α1＋α2）/2 sin（β1＋β2）/2sin（γ1＋γ2）/2（1）当且仅当α1=α2,β1=β2,γ1=γ2时,（1）式取等号。     

解答数列不等式题的四大易错点

一、没有关注数列中刀应该是正整数例1已知数列{a_n}满足a_1=33,a_（n＋1）-a_n=2n,则（a_n）/n的最小值为__.难度系数0.70错解由a_（n＋1）-a_n=2n叠加有（a_2-a_1）＋（a_3-a_2）＋（a_4-a_3）＋…＋（a_n-a_（n-1））=2[1＋2＋3＋…＋（n-1）],     

一堂课后的反思

在课本上我们用数学归纳法证明了等式1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2=n（n＋1）（2n＋1）/6．然而n（n＋1）（2n＋1）/6是怎样得来的？1^3＋2^3＋…＋n^3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑．记S1（n）=1＋2＋3＋…＋n,S2（n）=1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2,S3（n）=1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3.     

巧用Sin~2α+Cos~2α=1解题

一、正用例1已知sinα+cosα=m,sinαcosα=n,则m,n的关系是().A.m=n B.m=2n+1 C.m~2=2n+1 D.m~2=1-2n解将sinα+cosα=m两边平方,得sin~2α+2sinαcosα+cos~2α=m~2,