垂心四面体的十二点球

定理 垂心四面体中,垂心到四面体各顶点的每线的第一个三等分点、四面体各面的垂心和重心,共12点共球,其球心在垂心四面体的欧拉线上,半径为垂心四面体的外接球半径的1/3。 证明:如图,四面体ABCD为垂心四面体,H、G、O分别为四面体的垂心、重心、外心.由文[1]知,H、G、O共线,且HG=GO.     

直角四面体的若干性质

我们称三条侧棱两两互相垂直的四面体叫直角四面体，直角四面体具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质，在教学中发现这种四面体还具有一些美妙独特的性质，现归纳如下，仅供参考。     

正交四面体中的欧拉线定理

研究了正交四面体中的垂心、重心和外心的位置关系 ,证明了正交四面中的欧拉线定理。     

正交四面体中的欧拉线定理

研究了正交四面体中的垂心、重心和外心的位置关系，证明了正交四面中的欧拉线定理。     

巧用三角形的垂心解题

（本讲适合初中） 众所周知,称三角形三条高的交点为三角形的垂心．由于垂心有着许多美妙的性质,因而在各级各类数学竞赛中屡屡出现．本文采撷几例进行解析．     

关于四面体的十二点共球定理

众所周知,关于三角形有如下命题定理0在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点,3条边的中点,以及3条高的垂足.这个命题通常称为“三角形的九点圆定理”,它是近代欧氏几何学中最著名的多点共圆定理之一.本文的目的是把它引申到四面体中,在四面体中建     

三角形垂心一个性质的推广

文[1]中给出了关于三角形垂心的一个优美性质,即 定理1三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰好是三角形的九点圆圆心． 笔者研究发现上述性质中的垂心可以推广为平面上任意一点,在行文前,先给出如下定义．     

运用垂心余弦定理解平面几何竞赛题

运用垂心余弦定理解平面几何竞赛题甘肃省华池一中路李明本文讨论三角形垂心的一个性质——垂心余弦定理．该定理结构整齐,形成对称,叙述简捷,记忆方便,易于掌握;用它计算或证明某些平面几何问题能带来许多方便．因而介绍给读者,供研究和参考．１．垂心余弦定理及其...     

垂心的判定及其性质

<正>三角形的五心是中学平面几何中重要的内容,垂心是其中最有趣的存在,充满着巧合和探究乐趣．本文首先借助基本的几何知识,对垂心的存在性展开多角度探究,路径丰富,结论恰都回归于几何直观中的巧合．其次,本文中所涉及的基础几何知识看似分散,却都可以融洽地聚拢在垂心这一常见几何知识点周围,是一次广泛利用基础知识活学活用的有趣探究．最后利用本文的思路,我们对三角形本身关联的广泛特征点展开了探索．     

四面体的“心”重合与正四面体

众所周知,在三角形的内心、外心、重心及垂心这四个心中,若存在着两心重合,则此三角形必为正三角形。因而这个三角形的四“心”也就完全重合了。那么对于四面体而言是否也有类似的性质呢?即当四面体的“心”中的某两心重合时,这个四面体是否能成为正四面体呢?它的心是否能完全重合呢?     

垂四面体特性研究

朱笛同学设计命名了一种特殊的几何体——垂四面体(图1)。它是一个顶点与对面三角形垂心的连线垂直于该三角形所在平面的特殊四面体。她发现并论证了垂四面体的10个特性,创建了垂四面体结构体系,揭示了它的多元对称性、强稳定性、结构丰富趣味性和形态美观多变性。她还设计展望了垂四面体在知识、教学、建筑、雕塑、玩具等领域的实用价值。如果你感兴趣,建议你仔细研究一番,或者照着重画一幅,看看里面有多少奥妙。垂四面体特性研究总图注释:脚标1、2、3、4分别表示顶端A、B、C、D所对的三角形上的点,脚标甲、乙、丙、丁、戊,己分别表示棱…     

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若四面体的四条高线交于一点,则称这点为四面体的垂心。四面体并不总有垂心。文[1]中给出四面体存在垂心的充要条件是两组对棱分别垂直。一般说来,垂心存在的四面体与三角形有更多的类似性质。本文获得     

借助三角形的垂心解题

如图1,CF,BE是AABC的高,其交点日是AABC的垂心,则AD必定垂直于BC．     

三角形垂心的一个性质的推广

众所周知,三角形的垂心有如下性质： 定理1 设△ABC的垂心为H,外接圆半径为R,则AH^2＋BC^2=4R^2． 本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般圆内接多边形中．     

垂心的垂足三角形

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形,称为垂心的垂足三角形。现将垂心的垂足三角形和原三角形之间的某些关系介绍如下: 一、垂心的垂足三角形的角度     

也谈四面体的“五心”

本文通过类比,从三角形的“五心”(外心、内心0、旁心、重心、垂心)的概念得出四面体的“五心”的概念,并对其进行详尽的推证。向量法、解析法兼用,将几何证明推进到定量能算的层面。     

垂心余弦定理及其应用

在国内外数学竞赛中,与三角形垂心有关的试题时常出现。本文对三角形垂心余弦定理作些探讨,并举实例说明其应用。 定理 设△ABC的外接圆半径为R,垂心为H,则AH=2R|cosA|,BH=2R     

垂心的“垂边三角形”

读贵刊1987.1期《垂心的垂足三角形》一文,颇受启发。本文意欲探讨与垂心有关的另一种三角形——垂心的“垂边三角形”的一些性质,为与《垂心的垂足三角形》相呼应,不妨仍以“边长”、“周长”、“面积”的顺序行文。 (一) 垂心的“垂边三角形”的定义: 如图,以三角形的垂心及三角形两顶点为三顶点的三角形叫做垂心的垂边三角形。图中△HBC、     

一类特殊四面体的性质

三对对棱彼此互相垂直的四面体,称为对棱垂直的四面体．它是一种特殊的四面体,有它特殊的性质．本文将给出此类特殊四面体的一些性质,供大家参考．     

有关垂心的一个性质

性质 在非RtΔABC中，H为ΔABC的垂心，P为ΔABC所在平面内的任意一点．求证：[第一段]