梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明

<正>梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要作用,其具体内容为:设直线l分别与△ABC的三边(或边的延长线)相交于点D、E、F,则有AF/FB·BD/DC·CE/EA=1.直线l与三角形的三边相交,有两种情形:(1)其中两个交点在边上,一个交点在边的延长线上,如图1;(2)三个交点均在边的延长线上,如图2.     

梅涅劳斯定理的推广

本文对平面几何中著名的梅涅劳斯定理进行剖析,然后作出推广。定理一(梅涅劳斯定理)一直线l分别截△ABC的三边(或边的延长线)AB、BC、CA于D、E、F.则AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在许多教科书里的介绍中,都是直线l与△ABC的两条边相交,与第三边的延长线相交.其实,若直线l与三角形三条边都不相交,其结论仍是成立的。     

Menelaus定理的空间拓广

Menelaus定理是平面几何中的著名定理,其基本内容为： 如图1,一直线分别截AABC三边AB,BC,AC或其延长线于D,E,F,则BD/DA· AF/FC·CE/EB=1     

简证“悬赏”题

“悬赏”题：AABC的边AB、AC上各有一点R、Q，直线RQ与BC延长线交于点P，求证AQ/PQ·CQ/RQ＋PC/PQ·PB/PR-AR/QR·BR/PR=1。     

张角公式帮你解几何题

平面几何中有一个与面积关系有关的张角公式,一般不引人注目。但在教学时,却发现张角公式能帮助解决许多几何题,有的还是典型的难题。现分两方面介绍如下,供初中数学教师教学时参考。一、张角公式已知由点P发出的三射线PA、PB、PC;且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是: sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:若A、B、C三点共线, 则△PAB=△PAC △PCB 故 1/2PA·PBsin(α β)=1/2PA·sinα 1/2PB·PCsinβ两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式。反之,若命题中等式成立,则反推可得: △PAB=△PAC △PCB。这说明△ABC=|△PAB-△PAC-△PCB|=0,所以A、B、C三点共线。     

张角定理(高一、高二、高三)

1.定理 如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是 证明 必要性:若A、B、C三点共线,则 S△PAB=S△PAC S△PCB,因此两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式.     

读名著 编故事

在“三·三·九”式小学快乐作文实验中,三线之一的阅读线特别强调了阅读与习作的密切联系,重视学生大量阅读,积累语言,为习作打好基础。名著是小学生阅读的重要内容之一,我在指导学生阅读名著时,尝试用名著作引领,鼓励学生读名著。编故事,收到了很好的效果。     

关于一个三角不等式的证明

在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。     

第十三届“新作文杯”全国小学生放胆作文大赛获奖名单

<正>一等奖·陈语诺·浙江省杭州市余杭区临平一小将军殿校区307班/《蛋壳里孵出来的妈妈》·苏裕铖·福建省福州市海伊情境作文学校·福州市群众路小学三(2)班/《梦天使》·曹文婉·河南省南阳市油田第五小学104班/《小海马找妈妈》·陈一超·福建省福安市逸夫小学三(6)班/《"嗑代表"》·陈崞欣·江苏省南京市东山小学二(5)班/《音符之家》     

用一个几何复习题证明浙大少年班的一个招考题

全日制初中几何第二册总复习题24题:经过∠XOY的平分线上一点A,任作一直线与OX,OY分别相交于P,Q,求证:1/OP 1/OQ等于定值。证明:如图,∵S_(△OPQ)=1/2OP·OQ·Sin2α=OP·OQ·sinαcosα。 S_(△OAQ)=1/2OA·     

一类渗透数列观念的圆锥曲线探索性题型解法(一)

在圆锥曲线的类型题中,有一类既渗透着等差、等比数列观念,又带着探索性的题目·其综合性强,构思精巧,难度较大,解题技巧性强·一般是题设条件中给出某三个与线段长度或向量数量积等有关的成等差或等比数列的数值,要求判断某些点、曲线是否存在;判断点与线、线与线之间的位置关     

一道网上“悬赏征解题”的简解

题目:如图1,△ABC的边AB、AC上各有一点R、Q,直线RQ与BC延长线交于点P,求证AQ/PQ·CQ/RQ+PC/PQ·PB/PR-AR/QR· BR/PR=1……①这是一道网上流传的“悬赏征解题,”,在文[1]中,作者提供了一种解法,向读者展示了解决此题的历程及感悟.下面,我们再提供一种简明的纯平面几何证法,供参...     

圆锥曲线外切凸n边形的一个性质及其推论

正本文约定:若凸n边形的n边(或延长线)均与圆锥曲线相切,则称此凸n边形为圆锥曲线的外切凸n边形.笔者最近探究发现圆锥曲线外切凸n边形的一个性质,现将结果陈述如下,供大家参考.命题1若三角形△A_1A_2A_3的三边A_1A_2、A_2A_3、A_3A_1(或其延长线),与圆锥曲线Γ分别相切于点T_1、T_2、T_3,则A_1T_1/T_1A_2·A_2T_2/T_2A_2·A_3T_3/T_3A_1=1.证明:(1)当Γ为椭圆时,如图1,设其标准方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1(ab0),T_i(acosθ_i,nsinθ_i),其中θ_i-θ_i≠kπ,(i≠j,i,j=1,2,3),     

告别金色童年

/一、5 6 35鱼1互}6驮远，双肩，5 35出去跑擦把我们已挑上厂~、/一、厂一、。.立{丝丝}丝丝…/·1一地河看跨己己白目白口线，惯，卜Z-\旦}5丝，J、小产一、1 2花溪·1像像·2一就就3天坎告别金色童年@杨国洪 @翟荭霞 @羽佳~~     

一九九八年全国高中数学联合竞赛加试试题及解答

一、(本题满分50分)如图,O、I分别为ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上.求证:△ABC的外接半径等于BC的旁切圆半径.注:△ABC的BC边上的旁切是与边AB、AC的延长线以及边BC相切的.证明 设AI的延长钱交圆ABC于K点,半径OK记为R.因为OK⊥BC,所以OK∥AD,从而AI/IK=AD/OK=c·sinB/R=2sinBsinC①AI/IK=S△ABI/S△KBI=[1/2AB·BI·SINB/2]/[1/2BK·BI·SIN(A B)/2]=AB/BK·[sinB/2/(cosC/2)]     

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巧构方程解几何中的最值问题

<正>学习了一元二次方程之后,我们可利用构造一元二次方程的方法,巧解几何中的某些最值问题.此法新颖、独特、实用.下面举例说明.一、利用相似三角形构造方程例1如图1,过边长为1的正方形ABCD的顶点C任作一直线分别交AB、AD的延长线交于点E,F.求BE+DF的最小值.解由△DFC∽△BCE,得DF/BC=DC/BE,即BE·DF=BC·DC=1.     

两个著名定理的等价性

本文给出两个著名定理:西姆松线定理与托勒密定理等价性的证明.为方便,将两个定理写在下面:托勒密定理:若四边形ABCD是圆内接四边形,则AB·CD AD·BC=AC·BD.西姆松线定理:三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线.1 用西姆松线定理证明托勒密定理文[1]已给出证明,简述如下:证明 ABCD是任一凸四边形,连接AC,如图,过D向△ABC各边作垂线,垂足分别为 C_1、A_1、B_1,连结C_1B_1,B_1A_1,由西姆松线定理得:     

读写有效结合体验表达快乐

在“三·三·九”式小学快乐作文研究中,我从阅读这一核心活动线出发,与生活体验和情境创设有机融合．引导学生实现读写的有效结合,体验表达的快乐。现将自己的做法通过“介绍自己喜欢的工艺品”作文教学课例浅谈如下：     

活页读写，为快乐作文奠基

“以阅读促进写作”是“三·三·九”式小学快乐作文课题研究阅读线中很重要的一项内容。但农村学生常常面临阅读材料缺乏、无书可读的现状。那么,怎么才能有效地解决这一问题呢？在课题研究过程中．我们采取了“活页读写”方式,很好地解决了这一问题。