三角形中位线定理的活用

三角形中位线定理是几何中的重要定理，关于它的基本应用课本中已有论述，这里不再重复．本文专门介绍它的灵活应用．所谓灵活应用是指题设条件中不具备应用中位线定理的条件，必须通过作辅助线，创造条件用定理．现举几例加以说明．例1如图1，梯形ABCH中，AH／／BC，AD＜BC，E是AC的中点，F是BD的中点．求证：EF／／AD／／BC且EF分析由题设可知，要证FE／／AD／／BCFE／／BC．为此连结AF并延长交BC于G．于是由三角形中位线定理可知，要证FE／／BCFE／／GC、F是AG的中点AF＝FG△AFD≌△GFB　FD＝FB，∠AFD＝∠G…     

也说梯形重心的几何作图法的由来

沈家书先生的文 [1 ]证明了 [2 ]中论述的梯形重心几何作图法的正确性 .这里给出另一证明 .图 1先将两种作图方法叙述如下 :方法 1　取AD,BC的中点 P,Q,连结 PQ,再连结 BD,将梯形分成两个三角形 ABD和 BCD,作出这两个三角形的重心 G1 ,G2 ,连结 G1 G2 与 PQ相交于 G,则 G为所求梯形的图 2重心 .方法 2　如图2 ,延长 AD到 E,使 DE=BC,延长CB到 F,使得 BF= AD,连结 EF;再连结 AD的中点 P和 BC的中点 Q,则 EF和 PQ的交点 G就是梯形重心 .先证方法 1的正确性 .设 BC=a,AD=b,梯形的高为 h.由于S1 =S△ BAD=12 bh,S2 =S…     

一元二次方程在证平几题中的绝妙作用

有些平面几何证明题，若能根据题设条件，恰当地构造一元二次方程，然后用一元二次方程及其性质来证，往往能少作或不作辅助线，使证题途径简捷明快，从而提高学生灵活运用知识的能力．一、判别式的绝妙作用根据题设条件，构造出一元二次方程，然后巧妙地运用到别式，使问题迎刃而解．例1如图1，AB是①0的直径，过A、H引①O的切线AD、BC，又E是圆周上任一点，HC：？是过E点的OO的切线，与AD、BC交于＿，、＿、＿＿＿＿且＿＿D、C．求证：OE＜手CD．””—一’——～2—一分析连结OH、OC．AD、DC、BC是co的切线，AD＝DE，BC…     

一道中考题的九种证法

题目如图1，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE，连结EM并延长交BC的延长线于D．求证：BC=2CD．（1994年吉林省中考题）一、过C点作平行线证1如图1，过C点作CF／／AB交ED于F，则易知AMEF．所以证2如图2，过C点作CF斤DE交AB于F．故BC=2CD．二、过E点作平行经证3如图3，过E点作EF／／BD交AC证4如图4，过E点作EF／／AC交BD由（1）、（2），得BC—ZCD．三、过A点作平行线证5如图5，过A点作AF／／ED交BD＿，，。，、＿＿＿。BDBE延长线于F，则于子一三千一3．——””——““’”“DFEA””证6如图6，…     

关于梯形中位线定理的证明

已知:梯形ABCD中,AD//BC,AM=MB,DN=NC.求证:MN//BC,MN=1/2(AD+BC).课本上的证法是连结AN并延长,交BC的延长线于E.如图1,证AN=NM,由MN是否△ABE的中位线来证明.下面介绍另外五种证法.     

一道由考试题的解法探究

题目（2013南京）如图1,AD是⊙0的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D．连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且〈BCP=〈ACD。     

举一反三 一题多变

题目 已知：如图1，四边形ABCD中，AD／／BC，点E是CD的中点，连结AE，BE，AD BC=AB．求证：∠1=∠2，∠3=∠4．     

怎样证明同一直线上的四条线段成比例

在证明四条线段成比例时,我们常常会遇到要证明的四条线段在同一直线上的特殊情形.此时,由于在同一直线上找不到平行或相似三角形,这给证题带来一定的困难.代换法是解决这类问题的行之有效的方法.下面举例说明:一、用等线段代换一般证题思路:要证a:b=c:d,可先证a:b=c:x,再证x=d即可.例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,G是中线AD上的一点,过点C作CF∥AB,连结BG延长并分别交AC、CF于点E、F.求证:BG:GE=GF:BG.证明: 连结GC,∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线,∴BG=CG,∠GBC=∠GCB.又∵∠ABC=∠ACB,∴∠ABF=∠ECG.∵CF∥AB…     

要善于挖掘题目中的隐含条件

因不善于挖掘题目中的隐含条件,而造成平面几何题的解证困难,是同学们证明平面几何题时存在的一个较普遍的问题。其实,当你解证一道平面几何题,感觉“缺少条件”时,那么,就应设法从题目中去挖掘所“缺少的条件”。 例1 如图1,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,AB=AC,延长BC到D,连结AD交     

线段垂直平分线的应用

线段的垂直平分线的性质和它的判定是人教版初中几何第二册中的一节内容。在学习中一般容易被学生忽视,但有些题若能把线段垂直平分线的性质或判定利用上,会使证题过程变得简单巧妙。例1已知:如图,∠1=∠2,BC=BD求证:AD=AC(人教版初二几何复习题三)分析:这个题一般地用三角形全等的方法证明,但如果连结CD,设AB与CD相交于点E,则可以这样证明:因为:∠1=∠2,BC=BD,所以AE是CD的垂直平分线,所以:AC=AD。这样做,既复习了等腰三角形三线合一的性质,又复习了线段垂直平分线的性质一举两得。例2已知:如图,AB=ACDB=DC,AD的延长线交BC…     

该告诉我们你是怎样想到的

【情景描述】 在一次数学竞赛辅导公开课上听到这样一题：已知：如图1，H是△ABC内任意一点，连结AH并延长交BC于D，连结BH并延长交AC于E，连结CH并延长交AB于F.求证：DH/AD＋EH/BE＋HF/CF=1     

一组平面几何问题的探究

本文给出一组与完全四边形密切相关的平面几何问题,题1设四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,直线PR分别交AQ、BQ于点M、N,则证明：如图1,直线BQ与△PAD三边都相交,由梅涅劳斯定理,有题2过O外一点Q作O的两条切线,E、F为切点,作一条割线QDA,EF和AD交于点M（图2）．则证明：连结ED、EA、FD、FA．题3四边形ABCD内接于圆,边AB和DC的延长线交于点P,边AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E、F,则P、F、R、E四点共线,证…     

关注基本图形 彰显数学素养

<正>一试题呈现（南京中考第24题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D,E在BC上，BD=CE．过A,D,E三点作☉O，连结AO并延长，交BC于点F.(1)求证AF⊥BC;(2)若AB=10,BC=12,BD=2，求☉O的半径长．     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

构造平行四边形证题例析

平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质.证明某些几何题时,若能巧妙地构造出平行四边形,就会化难为易、化繁为简,证明过程简捷. 现举例说明. 一、证两线段相等例1 已知:如图1,在四边形ABCD中,AB=DC, AD=BC,E、F在对角线AC上,且AE=CF. 求证:BE=DP.(河北省中考题) 证明:连结BD交AC于O,连结DE、BF. ∵AB=DC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.     

源于课本,高于课本(初三)

学完《圆的有关性质》一章后,在老师的帮助下,我研究了课本中的一道习题,发现由这一题可以引出众多的结论. 题 如图1,BC为⊙O的直径.AD⊥BC,垂足为D.AB=AF,BF与AD交于E. 求证:AE=BE. 证明 连结AB、AC.因为 BC为直径,所以 ∠BAC=90°,又 AD⊥BC,     

一道几何题的多种证法

在几何复习中,学生做题不在于多,而在于精,一题多解(证)有利于复习相关知识,加深知识间的联系,促进知识与能力相互转化。不仅如此,利用一题多解(证)还能激发学生的强烈的学习兴趣和求知欲,开阔学生的视野,促使学生多角度思考问题,促进学生思维发展,提高思维能力。题目:如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,对角线AC⊥BD,垂足为E,M为AD的中点,AM=EM,ON⊥BC于N,求证:EM=ON思路一:从EM和ON的位置联想构造平行四边形。证明一:(如图)连结OM、NE,并延长ME交BC于P,延长NE交AD于Q,∵M是AD的中点,∠AED=90°,∴∠MEA=∠EAM.∵∠…     

一道习题的多种解法

初二几何课本P264有这样一道复习题：过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E（如图1）．求证对于这道题,只要我们善于从不同的角度去思考问题,就能给出多种不同的证法．分析即可．为此,只须在图1中作出一条线段等于这样的线段有如下四种作法：证法1作DDCF,交AB于以如图1）．D是BC的中点,此,只须证EF／／DC．这是辅助线的作法,故结论可证．证明请同学们自己完成．证法2取FB的中点C,连结DC（如图于是,欲证,只须证．为此,只须证DC／／CF．这由三角形中位线定理即得,故结论可证．证明略．证法3作DC…     

浅谈两直线垂直的证明

在平面几何中,证明两直线垂直的问题不少,如果我们能帮助学生在掌握基础知识的同时,灵活变通,归纳一些证题方法,那么,此类问题的教学效果,必将显著提高。下面就两直线垂直的证明问题,谈谈证明的一些基本方法。一、利用三角形内角和定理。先证明三角形中的两角之和为90°,则可知第三角为直角。例1 在(?)ABCD 中,AD=2AB,延长 AB 到 F,使 BF=AB,又延长 BA 到 E,使 AE=AB,连结 EC 交 AD 于 G,连结 FD交 BC 于 H、交 EC 于 O.     

每期一题

题如图1,在△ABC中,AB=3AC艺A的平分线交BC于D,过B作BE工AD,垂足为E,求证AD=DE。(广西刁柳洲地区教育局陈有光) 即AD+ZDE=3AD,.’.AD== DE。 又法,延长AC、BE交于F(图5),再作CG上BF于G,则从△CGF“△AEF也 证法一,(利用全等三角形)如图2,延长BE、AC交于F,则AF二AB,CF=2月C,取BC的中点H,连结EH,则EH生士CF,于是可证得A刀二DE。 证法三(利用平行截线)延长AC,BE交于F (如图6),则AF=月B,且E为BF的中点,过E作,石万,DC交A尸于H,才 F 八 /、叔 图6\则CH二HF,考虑到AF二AB=3Ac,故CH二AC,又刀CIEH,.’. A…