应用比例式a_1/a_2=b_1/b_2=(a_1-b_1)/(a_2-b_2)来解化学计算题

在中学化学教学中,经常应用比例这个计算方法来解计算题。我们感到有些题目,应用a_1/a_2=b_1/b_2或a_1b_2=a_2b_1来计算比较烦琐。如果应用a_1/a_2=b_1/b_2=(a_1-b_1)/(a_2-b_2),a_1(a_2-b2)=a_2(a_1-b_1)或b_1(a_2-b_2)=b_2(a_1-b_1)来计算就很方便。下面,我们提供一些例题和解法(解法2)来跟一般常用的解法(解法1)作出比较,供同志们参考。     

公式■·■=x_1x_2+y_1y_2的另一种证法

高中数学第一册(下)(试验修订本)第120页中给出了平面向量的数量积的坐标表示公式:a·b=(x_1i+y_1j)·(x_2i+y_2j)=x_1x_2+y_1y_2;并给出了证明。下面我们给出此公式的另一种证法。     

求∑a_1 a_2……a_r

我们常会遇到这样的问题:从自然数1、2、…、n中每次取出r个相乘(r≤n),积无重复也无遗漏,然后求和。如l·2·3+1·2·4+1·3·4+2·3·4=50。用纷号表示,就是求∑ a_1a_2…a_r,(i,j=1,2,…,r),a_i=l,2,…,n a_i(?)a; 略作∑a_1a_2…a_r,。同样,我们用∑a_1~ka_2…a_r-k+ι表示因数有重复的r个自然数的积的     

函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)(x∈A)的值域

形如y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)的分式线性函数的值域,特别是当x限制在某个区间上(x∈A)的值域问题是一个难点.一般是两边同乘以a_2x~2 b_2x c_2后整理成一个关于x的方程,通过研究该方程有解的条件(即     

不定方程x_1+x_2+…+x_n=1的非负整数解

[定理1] n元一次不定方程x_1+x_2+…+x_n=r的非负整数解共有C_((n+1)_(-1))~(n-1)个(r∈N)。证:考虑由r个1与n-1个0作成的一个排列。令x_1等于排列中第一个0左边1的个数,x_2等于第一个0与第二个0之间1的个数,…,x_n等于最后一个0右边1的个数。例如n=4,r=8,则排列11011110011对应解     

(a_1~n a_2~n)/2≥[(a_1 a_2)/2]~n的三角换元证法

本刊93年10期集锦栏用三角换元法给出了不等式：的一个新证法，但证明过程中的明显是错误的．这里，我们介绍不等式的一种三角换元证法．（下转第15页）（上接第33页）则原不等式等价于由贝努利不等式知① ②即得不等式（2），从而原不等得证．注记l°三角不等式（l）的证明也可借助配凑法完成．2°利用上述证法可把不等式推广成：*我们收到不少读者来信指出其错误，特别是原作者也发现了其中的错误，为此特向各位读者致歉，并衷心感谢各位读者对本刊的关心、帮助、爱护与支持。(a_1~n a_2~n)/2≥[(a_1 a_2)/2]~n的三角换元证法@李之$江阴职…     

a_2~(1/2)+a_3~(1/2)>a_1~(1/2)+a_4~(1/2)的几何解释

本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2,     

关于方程1/(x_1~2)+1/(x_2~2)+…+1/(x_(n-1)~2)=1/(x_n~2)的正整数解

我们已经知道(文[1]),不定方程1/x2+1/y2=1/z2 (1) 满足(x,y,z)=1的所有正整数解可表为x=r4-s4,y=2rs(r2+s2),z=2rs(r2-s2) (2) 其中r>s为正整数,(r,s)=1,r,s一奇一偶,这里x,y可交换. 下面我们来推求更一般的这种不定方程1/x_1~(2)+1/x_2~(2)+…+1/x_(n-1)~(2)=1/x_n~(2) (3)     

一类不等式的简捷解法

本文给出不等式 k_1<(a_1x+b_1)/(a_2x+b_2)相似文献   

线性方程组的一种解法

这里介绍线性方程组a_(11)x_1 a_(12)x_2 … a_(1n)x_n=b_1,a_(21)x_1 a_(22)x_2 … a_(2n)x_n=b_2,a_(m1)x_1 a_(m2)x_2 … a_(mn)x_n=b_m的一种解法(注),它的特点是通过计算一系列二阶行列式,逐步将未知量x_1,x_2,…,x_n表为已知量b_1,b_2,…,b_m的线性组合,从而求出方程组(1)的解。在方程组(1)中,未知量的的系数不能同时为零,设a_(ij)≠0,则由第i个方程 a_1x_1 … a_jx_j … a_(mn)x_n=b_i 解出x_1,得 x=—1/a_1(a_1x_1 … a_j,_(j-1)x_(j-1)—b_i a_1,_(j 1)x_(j 1) … a_i _nx_n)     

求函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)极值中的两个问题

在统编教材数学第三册复习题二中涉及到了函数 y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2),其中 a_1、a_2不同时为零(以后不再说明),求极值的问题。方法是求 y 的值域,即先将     

也谈y=a_1x~2 b_1x c_1/a_2x~2 b_2x c_2的极值

关于分式函数y=a_1x~2 b_1x c_1/a_2x~2 b_2x c_2,x∈X,其中分子分母中的系数均为实数且X为使分母不为零的实数集,其极值问题看起来的确比较复杂,本刊1990—10上有文章讨论了这个问题.设,     

一次不定方程的换元解法

一次不定方程的一般形式是 a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=c, (1)其中a_1,a_2,…,a_n,c是给定的整数,且a_1a_2…a_n≠0(n≥2). 定理1 不定力程(1)有整数解的充分必要条件是 (a_1,a_2,…,a_n)|c, (2)应用定理1.立即可得     

不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

等幂和问题中[x_1,x_2,x_3]_2=[y_1,y_2,y_3]_2型等式的构造

本文在他人成果的基础上对等幂和问题[x_1,x_2,x_3]_2=[y_1,y_2,y_3]_2型等式的构造进行了探究     

公式a_n=S_n-S_(n-1)的功能挖掘

公式 a_n=S_n-S_(n-1)看似平常,其实内涵丰富,有着不寻常的功能和应用价值,本文举例如下:例1 已知数列{x_n),满足 x_1=b,x_(n 1)=cx_n d 且 c≠1.求通项公式.解:令 x_n=S_n则 S_(n 1)=cS_n d (1)S_n=cS_(n-1) d (2)(1)-(2)得a_(n 1)=ca_n=c~2a_(n-1)=…=c~(n-1)a_2∴x_n=S_n=a_1 a_2 … a_n     

一道不等式问题的多种证法

第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

求sum from k=1 to n(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0)的简便方法

求自然数的方幂和S_m(n)=sum from k=1 (k~m),一般利用递推公式,先算出s_1(n),s_2(n),…,s_m-1(n),然后才能求出s_m(n)。本文给出的方法,可以直接求出sum from k=1(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0),其特殊情形就是sum from k=1(K~m)。     

线性方程组有解判别定理充分性的一个证法

线性方程组,sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1(i=1,2,…m))有解判别定理(即克朗南格定理)是线性方程理论中的一个基本定理。本文主要给出了此定理充分性的一个证法。设,线性方程组:sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1)(i=1,2,…m)…(1)记定理,(Kronecker)线性方程组(1)有解的充要条件是其系数矩阵A的秩r_A