用“变换法”求一类有理分函数极值——对用判别式法求有理分函数极值所存在问题的讨论

对于实数集上的有理分函数y=(ax~2+bx+c)/(a'x~2+b'x+c') (1)其中分于与分母是互质的多项式(或单项式),且a与a'都不是零。关于求这类有理分函数的极值,书[1]中介绍了如下的判别式法:将(I)化归为x的二次分程:(a—a'y)x~2+(b—b'y)x+(c—c'y)=0若y有极值,x必须为实数,所以Δ=(b—b'y)~2—4(a—a'y)(c—c'y)≥0     

判别式与求值域和极值的可靠性

一、方法与疑虑将实数集上的有理分函数y=ax~2+bx+c/a′x~2+b′x+c′①(其中分子、分母是非零多项式,且a与a′不全为零),化为关于x的方程(a-a′y)x~2+(b-b′y)x+(c-c′y)=0对于该方程,可以考虑运用根的判别式,研究函数①的值域和极值,通常称这种方法为判别式法,然而在具体解题时,经常会出现一些错误或疑虑,如     

用判别式求函数y=a1x2+b1x+c1/ax2+bx+c(a≠0)值域的探讨

求有理分函数 y=a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c 的值域 (或最值 )是中学数学中的一个难点 ,由于受到各种资料的影响 ,学生常用一元二次方程根的判别式求解。但由于求解过程中采用了非等价变形 ,易导致解题出错。本文试对这个问题作初步探讨。用一元二次方程根的判别式求函数y =a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c (a≠ 0 )　　　　　 (1)的值域 ,先作如下变形 :(ay -a1)x2 + (by-b1)x +cy-c1=0　　　　 (2 )由于x是实数 ,所以△ ≥ 0 ,即(by-b1) 2 - 4(ay -a1) (cy-c1) ≥ 0　　　 (3)解不等式 (3)即得函数 (1)的值域。其实上述解法 ,求得 (3)中 y的值的集合不…     

利用“广义判别式”解题的一些技巧

在解或判别实系数一元二次方程(或可化为此类方程)时,根的判别式Δ=b2-4ac起着极大的作用.实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有很多性质,其中当且仅当Δ=b2-4ac≤0时,y=ax2+bx+c保号.如果在实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,将系数a,b,c都改为对某些变量的实质函数,就可得到“广义判别式”的概念.即:设a=f(x,y),b=g(x,y),c=φ(x,y)都是以x,y为未知数的一个二元方程,则称Δ=b2-4ac为二元方程ax2+bx+c=0的“广义判别式”.1利用“广义判别式”可判断二元实函数系数方程根的情况实系数一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的保号性可以推广到关于x,y的二…     

用判别式法求函数值域

判别式法是求函数值域的主要方法之一,方程思想在函数问题上的应用。它的理论依是:函数的定义域是非空数集,将原函数看作以y为参数的关于x的二次方程,若方程有数解,必须判别式Δ≥0,从而求得函数的值。因此,判别式法求函数值域的适用范围虽然泛,但又是有条件制约的。一、判别式法的广泛性⑴判别式法不只适用于形如y=x2+b1x+c1x2+b2x+c2(a12+a22≠0)的函数的值域问题。例1:求函数y=x-2-x√的值域。解:由已知得x-y=2-x√∵2-x≥0∴x≤2,又∵x-y≥0∴y≤2y=x-2-x√两边平方,整理得:x2-(2y-x+y2-2=0则解得y≤94又∵y≤2,故原函数的值域为狖y∈R…     

求最大值与最小值时应注意的几个问题

解最值的题中,常利用的方法有:判别式法、三角函数的有界性、基本不等式和二次函数的配方法。这些方法虽然易记,但是由于不重视正确理解概念和条件,所以解题时常出现一些错误.下面就四个方进行浅析。 一、利用“△”法求极值时,忽视方法或公式成立的条件 【例】求函数y=3/(2+cosx)(4-cosx)的极值。错误解法:把原函数变形为ycos~2x—2ycosx—8y+3=0由y≠0和△≥0 得y<0或y≥1/3,所以y极小值=1/3 错误的原因是认为这是二次有理分式函数,故不中考虑地用“△”法求极值,而没有考虑     

用判别式法求函数的值域

对于形如y=(a1x2 b1x c1)/(a2x2 b2x c2)(a1,a2不同时为0)的函数,常常用根的判别式法求其值域。这是利用方程思想、等价转化思想将所给函数转化为关于x的一元二次方程,通过方程有根,判别式Δ≥0,从而求得原函数值域。根据函数定义域的不同,一般可分为2种类型。一、函数定义域为实数集R例1:求函数y=2xx22 24xx -37的值域解:∵分母x2 2x 3=(x 1)2 2≥2∴函数定义域为R将原函数变形为(2-y)x2 (4-2y)x 7-3y=0(1)当y=2时,方程(1)无解。当y≠2时,(在用判别式前要检查方程二次项系数),由于x∈R∴方程(1)有实数解。∴Δ=(4-2y)2-4(2-y)(7-3y)≥0…     

求最值的方法与技巧种种(续)

二、判别式法与构造方程的技巧 如果函数y=f(x)可化为a(y)·x~2 b(y)·x c(y)=0 (a(y)≠0)的形式,同时可从△=b~2(y)-4a(y)·a(y)≥0求出y的变化范围。便可考虑用判别式法求此函数的最值。判别式法多用于求分式函数或无理函数的最值。运用此法必须全面慎重,特别是对于给定区间上的函数。当用判别式法求出y的变化范围后,应将端点值代回原函数进行检验,否则易产生“增值”、“误判”等情况。     

用方程的思想求分式函数的值域

求形如下列的有理分式函数的值域 y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(a_2x~2+b_2x+c_2)(x∈D,D为定义域) (1)一般是把原函数式化成关于x的一元二次方程φ(y)x~2+ψ(y)x+g(y)=0 (*)(其中φ(y)、ψ(y)、g(y)是关于y的表达式),根据方程(*)的判别式△=ψ~2(y)-4φ(y)g(y)≥0求出y的取值范围,即得原函数的值域,这就是所谓的“判别式法”。大家知道,用上述方法求出的结果是不一定可靠的,可能会得出错误的结论。就方法本身而言,也使人疑虑:为什么能这样求?在     

由一道高考题谈三次函数复习

<正>由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点.本文从三次函数的概念、单调性、对称中心、极值和最值谈三次函数的复习.形如y=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0)的函数,称为一元三次函数,简称三次函数.三次函数的导数y'=3ax~2+2bx+c(a≠0)是一个二次函数,它的判别式Δ=4b~2-     

判别式法在求函数极值中的应用

求二次函数的极值,学生通常是利用二次函数的顶点坐标公式。这种基本方法应该牢固掌握。为了开阔学生的视野,沟通知识之间的联系,在适当的时候还可以介绍求函数极值的判别式法,由此又使得一元二次方程的根的判别式这一重点内容的教学得到加强。 1.求二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)的极值。将二次函数化为关于     

此类函数值域也可使用判别式

文[1]中指出：对于形如y=(ax^2 bx c)/(dx^2 ex f)的二次有理分工函数，只有当其函数式中分子与分母不含一次公因式(常数除外)(这就是使用判别式法求值域时的先决条件)时，才可使用判别式法求值域．而当函数式中的分子与分母含有公因式时，是不能用判别法求其值域的，对此同学们务必充分注意．事实上，并不如此，当分子与分母含有公因式时，     

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)     

不可盲目使用差别式法

对于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f的二次有理分式函数的值域,一般是要用判别式法求解的。但应注意,利用判别式法求上述函数的值域是有先决条件的(你知道先决条件是什么吗?),如忽略了先决条件而盲目使用判别式法,将极易造成解题出错.如下题: 例1 求函数y=x2-rx+3/2x2-x-1的值域.     

求y=f(x)~(φ(x))导数的一种通用方法

设y~x名求夕,。有学生用如下方法求解,得 y‘一二·二‘一’+二‘xn二一x工(1+Inx)结果与答案相同.然而,用此方法求y一二“nx的导数时,却得到丫一sin二·二’“一’+x~inx的错误结果.原因何在? 形如夕一式x)吟)的函数,称为幂指函数.它既不是幕函数,也不是指数函数。关于这类函数的求导,一般微积分的书藉都采用对数求导法。【l],[2〕介绍了由莱布尼兹与伯努利建立的求导公式:y,二爪)‘,‘里鱼〕二巫且 \八义)+中,(x)In爪)(l)公式(l)可用对数求导法证明. 然而,对形如y一爪)沁)+抓x).(x),或y一肛)价).(c的函数求导,用对数求导法就显得繁琐.根…     

y=dx~2+ex+f/ax~2+bx+c的值域求法的一点注记

利用判别式求函数y=((dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c))(a~2+d~20)(1)的值域的方法是大家熟知的,但不全面地进行讨论,往往仍会发生错误,我们通过例题来说明这一点.例1 试用两种方法求函数y=8/(x~2-4x+5)(2)的值域.(《高中数学教材补充题(第一册)》23页第99道第(2)小题).     

用函数y=x+a/x(a≠0)的性质判断常见分式函数的值域

对于分式函数y=a1x+b1x+c1/2a2x+b2x+c2的值域的判断方法,我们常用的是判别式法,若自变量x有条件限制,则要转化为二次函数根的分布来解决,问题变得更加复杂难解.     

初中综合检测试题

一(120分钟完卷满分巧。分) A卷(共100分)填空题(每小题2分.共32分)一3的相反数的算术平方根是2.计算:}一要 }‘(a’)’(一2,7),则点p的象限为() (A)工象限.(B)n象限. (C)班象限.(D)IV象限. 2.下列函数中,正比例函数是( 3.口ABCD的一个内角艺A=30“.则匕且匕C、/D分别等于 4.计算:(Zx一I)(3x+l),(A)y二3x+1.(B)y,(D)夕=宁(C)3.y二4x.下列二次根式中,最简二次根式是(5.当x二时,分式xZ一4x一2的值为零. 6.圆内接正六边形的周长是6cm,则圆的半径是 7.分解因式:二+y+二’一y’- 5.△注刀c的面积为8,。m,底边刀e为xem.那么BC边上的高只…     

利用判别式求极值应注意的问题

由函数的定义域知,X是任意实数,这就是说,对于任意实数X方程(1)都成立,即任意实数都是方程(1)的根,因此必有判别式△≥0,即△=(y+1)~2-4(y-1)~2≥0,解得(1/3)≤y≤3.也就是说在X取实数时,y有极小值(1/3)和极大值3.这种求极值的方法简单易行.然而如不注意便可发生错误,近年来不少书刊里都发生了类似下面两例的错误:     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…