零多项式

设R是实数集,则R上x的一元多项式一般可定义成: a_nx~n+a_(n-1)x~(2-1)+…+a_1x+a_0 ①此处a_1∈R(i=0,1,2,…,n)。n,n-1,…,是非负整数。多项式①可用符号f(x),g(x),…等记之。若a_n≠0,则称多项式①的次数为n。基于这个定义,六年制重点中学高中课本《代数》第一册提出“数零称为零多项式,我们不规定它的次数”。显然,这一讲法是合理的,与a_n≠0的要求一致。我们可用R[x]来记R上面x的一元多项式的全体,零多项式(以下简记成0)在R[x]中关于多项式的加法和乘法运算具有性质:任意f(x)∈R[x]有     

关于多项式理论中一个问题的注记

某些高等代数教程(参考文献(1),(2))中有这样一个问题: 证明,数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)∈F[x],或者(f(x),g(x))=1或者存在一个正整数m使得f(x)|g~m(x). 这个命题中条件的必要性是成立的(这一点不难证明),而条件的充分性不是对于任意数域F都成立。请看下面讨论。假设f(x)是数域F上一个次数大于零的多项式,并且满足条件:对于任意g(x)∈F(x),     

一阶电路响应中一个值得注意的问题

在一阶电路中，由于含有动态元件，因此当电路换路后，就有一个暂态过程，其响应分为三种情况：零输入响应，规律为f（0＋）e^-1/r；零状态响应，规律为：非状态量为f（∞）＋[fs（0＋）-f（∞）]e^-1/r，状态量为f（∞）（1-e^-1/r）；全响应规律为f（∞）＋｜[fs（0＋）＋fD（0＋）]-f（∞）｜e^-1/r。且全响应=零输入响应＋零状态响应。对状态量是可逆的，但时非状态量是不可逆的。     

对《关于二元二次多项式能分解因式的充要条件》的一点商榷

将本文后面所列参考文献分别简称为文[1]、文[2]。本文中约定:1.在实数域(实平面)上讨论,2.F(x,y)为二元二次多项式: F(x,y)=ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f, 3.δ等分别表示下列行列式: 文[1]指出文[2]中F(x,y)能分解为两个一次因式之积的充要条件是错误的,并且说明了发生错误的原因。文[1]将文[2]的充要条件修改为(照文[1]中命题的编号):     

Volterra方程有界性与稳定性定理的推广

该文构造新的Liapunov泛函，得到判定Volterra积分微分方程的解有界、零解稳定的充分条件，推广文[1]-[3]中相应的结果。     

关于“零向量”教材处理的一点建议

新教材文[1]平面向量一章中,对“零向量”是这样处理的.在第 97 页给出定义“长度为 0的向量叫做零向量,记作 0,规定零向量与任一向量平行”.在第 118 页规定“零向量与任一向量的数量积为 0”. 显然,教材明确指出零向量与任一向量平行,因而零向量的方向是任意的,从而我们可     

高等代数二道习题探讨

在一些较为流行的高等代数书中,都有这样2道笔者认为值得商榷的习题,本文在这里给予逐一探讨: 题目1:张禾瑞、郝鈵新:《高等代数》第3版2.4节习题5:证明:数域下上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的的幂充分必要条件是对任意     

对《两多项式最大公因式简易求法》一文的看法

P[x]的两个多项式f(x)和g(x)的最大公团式，如果不计零次团式，是唯一确定的，可用辗转租除法求出.他作涛同志在文[1]中利用“矩阵法”给出了求最大公团式的一个简单方法.由文[2]知，如果d（x）是f(x)和g（x）的最大公团式，则P[x]中一定存在两个事项式(x)和议(x)使得下面的式于成立：且标足（1）式的(x)和(x)能够用辗转扫除法来出.本文的目的在于讨论利用“矩阵法”能否在P[x]中求出适合（1）的(x)和(x).本文的结果是：利用“矩阵法”来出的和并不能满足（1），而满足（设d(x)的次数为k）.为后面的讨论，先征明一个引理引理一般满足（1）…     

对“一个对称不等式的证明及其加强”一文的几点注记

本文首先指出文[1]的关于基本对称多项式的Marcus-Lopes不等式的初等证明是文[2]的方法,进而指出某些基本对称多项式的不等式可以从正定矩阵的不等式推得,从而得到了关于正定矩阵不等式与基本对称多项式不等式之间的一些关系,并且由此出发可得到许多漂亮的基本对称多项式的不等式。     

（-∞，0）∪（0，＋∞）是不连通区间

文[1]认为（-∞,0）U（0,＋∞）不是区间,笔者的观点刚好相反,这是一个区间,是一个不连通区间!     

难道一定是区间吗？

吴有昌老师在文[1]中提出了“一个问题的错解”：函数f（x）=1/x在（-∞,0）∪（0,＋∞）上是减函数吗？     

带余除法在求数列通项中的应用

在高等代数中,有关于多项式除法的一个定理:设f(x)和g(x)是F[x]中的任意两个多项式,并且g(x)≠0,那么在F[x]中可以找到多项式q(x)和r(x),使f(x)=g(x)·q(x)+r(x),这里,或者r(x)=0,或者r(x)的次数小于g(x)的次数,     

数学竞赛中条件多项式的求解方法

多项式理论是代数学的一个重要组成部分，有关多项式方面的问题常常被用作数学竞赛的试题．本文仅就数学竞赛中求解满足某些条件的多项式归纳几种方法介绍如下．1．从分析根的情况入手设n∈N,a_0，a_1，…，a_n∈C（或R，或Z）且a_n≠0，称f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0(1）为复（或实、或整）系数一元n次多项式．多项式的次数常记为degf(x)=n．单独的一个非零常数，叫做零次多项式；系数a_0，a_1，…，a_n全为零的多项式叫做零多项式．若数x_0满足f(x_0)＝0，则称x_0为多项式f(x)的根．由代数基本定理：复系数一元n次多项式f（x）有…     

关于连贯多项式

K·Sastry在文[1]中定义了连贯多项式:若多项式f_n(x)与f_n(x) 1同时在数集K上可约,则称f_n(x)为K上的连贯多项式。对于二次连贯多项式,仅有一些简单结果:多项式φ(x)=x~2 bx c与φ(x) 1=x~2 bx c 1在整数集Z上同时可约的充要条件是b=2d,c=d~2-1,d∈Z。对于更高次的,则未见任何论述。杨之先生在[2]中考虑了一般的二次多项式y=ax~2 bx c,提出了如下尚未解决的问题:     

强诣零Armendariz环

结合环尺称为强诣零Armendariz的如果对于R[x]中任意两个多项式f(x),g(x)当f(x)g(x)∈Nil*+(R)[x]时,有ab∈Nil*(尺),这里a,b分别是f(x),g(x)的任何系数,而N*(R)为R的素根.证明了强诣零Armendariz环R的素根与上诣零根一致;强诣零Armendariz环足诣零Amlendariz环;证明了R是强诣零Amaendariz环当且仪当R的每个子环是强诣零Armendariz环,当且仪当R的多项式环R[x]是强诣零Armendariz环,当且仪当R的上三角矩阵环Tn(R)是强诣零Armendariz环;R是强诣零Armendariz环当且仪当R/Nil*(R)是Armendariz环.并推广了弱Armendariz环的两个结果.     

Bernstein多项式逼近度的估计

给出Bernstein多项式逼近阶的新估计,推进了文[2]的结果。     

再谈用函数y=x＋1／x的性质解题

本刊 2 0 0 2年第 9期刊登了《利用函数ｙ =ｘ 1ｘ 解题举例》一文 .笔者在此再谈谈该函数的性质及其应用 .一、ｙ=ｘ 1ｘ 的性质1 定义域为 (-∞ ,0 ) ∪ (0 , ∞ )2 奇偶性∵ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ)　∴ｆ(ｘ)为奇函数 .3 .单调性、最值 :ｘ >0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ=1时取得最小值 2 ,在区间 (0 ,1 ]上为单调递减函数 ,在 [1 , ∞ )上递增 .ｘ<0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ =-1时取得最大值-2 ,在区间 [-1 ,0 )上单调递减 ,在区间(-∞ ,-1 ]上单调递增 .二、应用例 1　 (1 996年高考题 )甲、乙两地相距ｓ千米 ,汽车从甲地匀速行驶到乙地 ,速度不得超过ｃ千米 /小…     

微积分中若干问题的研究(Ⅰ)

对于复合函数的求导法则,给出一种令人信服的严格的完整证明(其它教材中的证明均不完整[1,2,3]或证明不能令人满意[4,5,6,7,8]);明确了∞-∞型的未定式定义,并给出了该未定式化为0/0型或∞/∞型的未定式的理论依据;利用两个推广定理[9,10]证明了弱条件下不定积分的分部积分公式及变上限的定积分所确定的函数的奇偶性.     

无穷时滞泛函微分方程的稳定性

本文改进了文[1]关于无穷时滞泛函微分方程零解一致渐近稳定的定理5,所得结果包含了这一定理及文[2]的定理2。     

关于“方阵中心化子的几个性质”的注记

本文首先举出反例指出了[1]定理2中关于幂零矩阵的结论不正确，然后证明了矩阵A的中心化子是交换环当且仅当A的特征多项式fA（x）等于A的最小多项式mA（x）。