也谈已知四面体各棱长求其体积

在1982年第四期上刊登了李梦樵同志的“已知四面体各棱的长求它的体积的方法”一文,介绍了由四面体各棱长求其体积的一种方法。这里,我再介绍一种方法,供读者参考。予备题一、已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d,在直线a、b上分别取两点E、F,设|A′E|=m,|AF|=n。则 |EF|=(d~2+m~2+n~2-2mncosθ)~(1/2)(E、F在AA′同侧) 证明请参阅通用教材高中课本第二册第35页。若|EF|=x,则上式可表示为 cosθ=(d~2+m~2+n~2-x~2)/2mn 予备题二、已知任意四边形ABCD的四边长分别为a、b、c、d,对角线AC的长为e。求顶点B、D到对角线AC的距离及两垂足问距离。     

已知四面体的六条棱长求体积公式

已知三角形的三条边长可根据海伦公式求其面积,同样已知四面体的六条棱长亦可求其体积,本文给出求体积的一般公式。引理图,α∩β=l,O∈l,a∩b=O,β,a与l所成角为x,b与l所成角为y,a与b所成角为z,则二面角α—l—β的平面角s之余弦有 coss=cscx·cscy·cosz-ctgx·ctgy。证明:如图,在l上取一点C,使OC=1,过C点在a内作CA⊥l,交a于A,过C点在β内作CB⊥l交b于B,则∠ACB就是二面角a—l—β的平面角s。连AB,则     

也谈由各棱长求四面体的体积

读了《中学数学教学》1982年第4期李梦樵老师的关于“已知四面体各棱的长求它的体积的方法”一文(以下简称《方法》),受益颇深。文章指出,四面体P-ABC的棱PA、PB、PC的长分别为l、m、n,而BC、CA、AB的长分别a、b、c,在PA、PB、PC上分别取D、E、F三点,使PD=PE=PF=1又假定DE=f,EF=d,FD=e,R为△DEF外接圆半径,则四面体P-ABC的体积     

由四面体的棱长计算二面角

文中介绍了由四面体的棱长计算二面角的两种方法,并取特殊情况对推导出来的公式加以验证。     

由四面体的棱长计算二面角

文中介绍了由四面体的棱长计算二面角的两种方法,并取特殊情况对推导出来的公式加以验证。     

构造长方体 巧求四面体体积

例 在四面体P-ABC中,三组对棱分别相等,且依次为2(5~(1/2))cm,2(13~(1/2))cm,2(10~(1/2))cm,求四面体的体积。 解 因长方体中,以不相邻的四个顶点为顶点的四面体的对棱相等,所以构造长方体,使得四面体的对棱分别为长方体相对面     

探索具有两种棱长的四面体的种类

在1999年的上海数学高考试题中,有这样一道填空题: “若四面体各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积是________(只需写出一个可能的值)”     

已知梯形的四边长求面积

若已知三角形的三边长为a、b、c,求三角形的面积,则可用海伦公式 S=√p（p-a）（p-b）（p-c）（其中p=2^-a＋b＋c）,在梯形中,若已知四边长,也可求出梯形的面积．现介绍如下：     

六正数构成四面体六棱长的充要条件

任意两数之和大于第三个数是三正数构成三角形三边的充要条件．四面体是由六条棱构成的．那么六正数满足什么条件时才能构成四面体的六条棱呢？本文得出了六正数构成四面体六棱长的充要条件．     

四面体对棱距离的不等式

在四面体A-BCD中,三组对棱AB、CD,AC、BD,AD、BC间的距离分别记为d_1、d_2、d_3,外接球半径为R,内切球半径为r,体积为V,A、B、C、D的对面面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,且A、B、C、D到对面的距离分别为h_1、h_2、h_3、h_4,则有     

已知象求相应线性变换的方法

提出了已知n维线性空间V的任意一个子空间W,求出值域为W的某个线性变换的一种方法。     

再论四面体的棱切球

文[2]在文[1]的基础上,建立了四面体棱切球半径的计算公式以及与半径有关的不等式,本文作为文[2]的一个重要补充,再建立几个与棱切球半径有关的不等式。     

四面体的一个六棱求积公式

定理　在四面体Ｐ ＡＢＣ中 ,设ＰＡ =ｚ ,ＰＢ =ｘ ,ＰＣ =ｙ,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,记 ｙ2 ｚ2 -ｂ2 =Ｘ2 ,ｚ2 ｘ2 -ｃ2 =Ｙ2 ,ｘ2 ｙ2 -ａ2 =Ｚ2 ,则四面体体积Ｖ =11 2 [4ｘ2 ｙ2 ｚ2 -ｘ2 Ｘ2 -ｙ2 Ｙ2 -ｚ2 Ｚ2 Ｘ2 Ｙ2 Ｚ2 ]12 .先证如下 :引理　从一点Ｏ引     

用棱长表示三棱锥体积的三种形式

<正>已知三角形的3条边长,我们有海伦公式来表示三角形的面积,那么已知三棱锥的6条棱长,如何表示三棱锥的体积呢?设三棱锥P-ABC的各棱长分别为PA=a,PB=b,PC=c,BC=d,CA=e,AB=f.下面我们来探讨其体积公式.在3条棱PA,PB,PC上分别取点D,E,F,使PD=PE=PF=1.设EF=x,FD=y,DE=z,则△DEF的面积为     

求线段长的秘诀--化未知为已知

初学几何,感觉难以下手的是如何写出推理过程。在七年级上学期,求线段长和求角的度数的推理过程是难点,怎么突破这一难关呢？秘诀就是“化未知线段长为已知线段的和或差”。     

四面体体积的教学设计

问题 已知四面体的三组对棱分别相等，且依次为a，b，c，求其体积。     

四面体的一个体积公式

引理设点P为∠BAC所在平面M外一点,满足PA=a,∠BAC=α,∠PAB=β,∠PAC=γ,则点P到平面M的距离为:     

一些四面体的体积比较

四面体A1A2A3A4中，对面为Si（1≤i≤4），三面对棱A1A2、A3A4、A1A3、A1A4、4A2A3分别为a、a‘、b、b‘、c、c‘，外接球半径R为体积为V 　　……     

相似三角形的应用——已知影长求物高

在相似三角形的应用中，已知影长求物高是一类常见的实际问题，下面我们就这类问题的理论基础、解题方法、规律进行深入研究。     

用“分解质因数”法求正方体棱长

用“分解质因数”法求正方体棱长探讨与争鸣在教学中,学生常常会提出一些超越教材范围的问题。比如一次在教学“正方体的体积”时,学生问：“一个正方体体积是３３７５立方米,如何求它的棱长？”对这样的提问,我不仅向他们解释这是将来升入初中后会学到的知识,鼓...