一题多解培养敛散思维

中学数学教学的重要任务,是培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理和逻辑表达能力,以及数学知识的综合运用能力。而解题方法的研究则是培养上述能力的重要手段,是锻炼学生敛散思维的重要形式。一题多解能有效发展学生思维,激发学生学习数学的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。下面就此作一探讨。例：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。已知：△ＡＢＣ中,Ｃ＝９０°,ＤＡ＝ＤＢ。求证：ＤＣ＝ＡＢ。证法１：如图（１）,设Ｅ为ＢＣ的中点,连结ＤＥ,则ＤＥ为中位线。．ＤＥ／／ＡＣ,ＤＥＢ＝／ＡＣＢ＝９０°Ｄ…     

一道竞赛题新探

题：如图１,设△ＡＢＣ是直角三角形,点Ｄ在斜边ＢＣ上,ＢＤ＝４ＤＣ．已知圆过点Ｃ,且与ＡＣ相交于Ｆ,与ＡＢ相切于ＡＢ的中点Ｇ．求证：ＡＤ⊥ＢＦ．本题为１９９９年全国初中数学联合竞赛第二试第二题,具有一定难度和探索性．本文对此题作如下思考．一、题目的多种新解法解证此题的关键是得出∠ＡＢＦ＝∠ＣＡＤ,故有以下新解法．解法１：如图１,设∠ＣＡＤ＝α,∠ＡＢＦ＝β,由ＢＤ＝４ＣＤ,有Ｓ△ＡＤＣＳ△ＡＤＢ＝１４１２ＡＤ·ＡＣ·ｓｉｎα１２ＡＤ·ＡＢｓｉｎ（９０°－α）＝１４ＡＣＡＢ·ｔｇα＝１４．由Ａ…     

基本图形解题功能探析

在平面几何问题中,根据基本图形性质寻找证题思路,往往能收到事半功倍之效。本文试就此作一探讨。　　如图１,Ｒｔ△ＡＣＢ中,ＣＤ⊥ＡＢ,则（１）∠１＝∠Ｂ,∠２＝∠Ａ;（２）△ＡＣＢ∽△ＡＤＣ∽△ＢＤＣ;（３）ＣＤ２＝ＡＤ·ＤＢ,ＡＣ２＝ＡＤ·ＡＢ,ＢＣ２＝ＢＤ·ＡＢ;（４）ＡＣ２∶ＢＣ２＝ＡＤ∶ＢＤ,ＣＤ２∶ＢＣ２＝ＡＤ∶ＡＢ,ＡＣ·ＢＣ＝ＣＤ·ＡＢ。这是平面几何中的一个重要基本图形,在解决一些有关线段的问题中,利用如上性质,能较快找到证题思路,达到迅速、简洁解题的目的。　　例１－如图２,Ｏ为正方…     

求不规则四边形面积的两种方法

例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形…     

勾股定理在几何计算中的应用

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它在解有关直角三角形的问题中有广泛的应用．现举例说明它在几何计算中的应用，供同学们参考．例１如图１，凸四边形ＡＢＣＤ中，四边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ和ＤＡ的长分别是３、４、１２和１３，∠ＡＢＣ＝９０°，则四边形ＡＢＣＤ的面积是多少？（第七届“希望杯”竞赛试题）分析由题设ＡＢ＝３，ＢＣ＝４且∠ＡＢＣ＝９０°，连结ＡＣ得Ｒｔ△ＡＢＣ，根据勾股定理易求ＡＣ＝５．在△ＡＣＤ中根据勾股定理的逆定理可以判定△ＡＣＤ为直角三角形．计算两直角三角形面积之和即为四边形ＡＢＣＤ的…     

试谈平面几何开放题的教学

开放题是指将问题的条件开放、结论开放或解法开放后衍生的新的问题,经常进行开放题的教学,不仅可以使学生灵活掌握知识,而且可以使学生的解题能力和数学素养得到很大提高。下面是学完“平行四边形”单元后的一节综合练习课的设计。一、复习１作（图一）,复习平行四边形的性质与判定。２仔细观察（图一）,谈谈对中心Ｏ的认识。ＯＤＣＢＡ（图一）二、师生探讨问题１：（结论开放）过点Ｏ作直线分别交ＡＢ,ＣＤ于Ｅ、Ｆ。图中增加了哪些元素,有哪些结论,并证明。（图二）ＯＤＦＣＢＥＡ　　结论有：１ＯＥ＝ＯＦ,ＡＥ＝ＣＦ,…     

数学中考综合训练题

数学中考综合训练题陕西师大附中边团结一、选择题１．如果３ｘ－２ｙ＝０，则ｘｙ为（）．Ａ．２３Ｂ．３２２Ｃ．２３或无意义Ｄ．无法确定２．如图１，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ梯形ＤＢＣＥ，则ＤＥＢＣ为（）．Ａ．１２Ｂ．２２Ｃ．１４Ｄ．２３３．...     

本期科目:数学训练专题:图形构造法

在解答某些数学问题的过程中,常常可以根据题目特征,联想有关定理或命题,适当地构造几何图形,巧妙地运用几何知识和方法,化抽象为形象,借助直观启发思维,达到另辟蹊径,巧解难题的目的。通常将这种方法称为“构造图形法”。一、利用勾股定理构造图形例：已知ｚ、ｙ、ｚ、ｒ均为正数,且ｘ２＋ｙ２＝ｚ２,ｚ＝ｘ２求证：ｘｙ＝ｒｚ证：考虑题设特点,构造Ｒｔ△ＡＢＣ（如图１）,使ＢＣ＝ｘ,ＡＣ＝ｙ,则ＡＢ＝ｚ;又作ＣＤＡＢ于Ｄ,由射影定理ｘ２＝ＢＣ２＝ＡＢ·ＢＤ＝ｚ,又由题设ｘ２＝ｚ,故ＣＤ＝ｒ,从而Ｓ△ＡＢＣ＝ｘｙ…     

数学解题集萃

巧妙联想由小见大 杜江海 井陉县吴家窑中学贾建平井陉县吴家窑中学 中考题是初中教学的指挥棒，所以每一中考题无不经过精挑细选、它既能考查学生对基础知识的掌握程度，又能反映学生运用数学方法解决实际问题的能力。若教师和同学们有意识地对中考题详细研究，深挖广拓，则对于提高自身素质，有很大益处。下面以１９９９年河北省一普通中考题为例，展开联想。 原题：如图１，在ＡＡＢＣ’中，ＡＤ为ＢＣ．边上的高，Ｂ＝ ４５，／Ｃ＝ ３０，ＡＤ＝ ２，求ＡＢＣ面积。 分析：要求ＡＡＢＣ的面积，关键是求ＢＣ，而ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＣ，因而…     

一个被遗漏的解

一个被遗漏的解静宁县石咀初中方水田初中几何二册复习参考题六第２题为：已知：△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝２０，高ＡＤ＝１２，求角平分线ＡＥ的长。绝大多数学牛的解法是，如图（１），在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＤＣ中，利用勾股定理求得ＢＤ＝９，ＤＣ＝１６。在...     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

应用重叠原理解题例说

重叠原理　设两个同类量Ａ、Ｂ,其重叠部分的量为Ｃ,则Ａ、Ｂ两量的总量Ｖ＝Ａ＋Ｂ－Ｃ（重叠部分只计一次）．有些数学问题用重叠原理来解,显得新颖巧妙,简捷明快．一、直接应用图１例１　如图１,两个半径为１的１４圆扇形Ａ′Ｏ′Ｂ′和ＡＯＢ叠放在一块,ＰＯＱＯ′是正方形,则整个阴影图形的面积是　　．（１９９８年希望杯初一赛题）解：由重叠原理Ｓ阴＝２Ｓ扇ＡＯＢ－Ｓ正方形ＯＰＱＯ′＝π－１２．例２　如图２,Ｒｔ△ＡＢＣ,∠ＡＣＢ＝９０°,Ｄ、Ｅ点在ＡＢ上,ＡＤ＝ＡＣ,ＢＥ＝ＢＣ,则∠ＤＣＥ的大小是（　　）．Ａ…     

几何证题思路从何而来

几何证题思路的获得是学生最感头痛的问题,特别是到了初三总复习时,他们面对众多的知识与方法,更难以发现思路的突破口。因此,教师必须重视几何证题思路分析,让学生掌握一定的思考方法。下面以初三复习中的一个题为例,谈谈指导学生获得几何证题思路的方法。已知：如图１,在△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,ＤＢ＝ＤＣ,ＤＥ⊥ＡＢ,ＤＦ⊥ＡＣ,垂足为Ｅ、Ｆ。求证：ＤＥ＝ＤＦ。教师出示上述例题后,引导学生思考问题：看到本题条件、结论和图形,你会想到用什么方法来证明？学生思考了一会儿,有人说,由图形易知证明△ＢＤＥ△ＣＤＦ,…     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

四面体的一个体积公式及其应用

四面体是最基本的几何体,是立体几何中研究的重点,下面介绍它的一个体积公式．图１如图１,设四面体Ａ－ＢＣＤ中,ＡＢ＝ａ,ＣＤ＝ｂ,对棱ＡＢ与ＣＤ所成的角及距离分别为α和ｄ,则四面体Ａ－ＢＣＤ的体积Ｖ＝１６ａｂｄｓｉｎα．证明如图１,过Ｂ作ＢＥ＝∥ＣＤ,...     

非相似三角形中成比例线段定理

非相似三角形中成比例线段定理安徽省舒城秦桥中学金耀辉相似三角形的对应边成比例是众所周知的，然而在符合某些条件下的非相似三角形中也有成比例线段．如图１，△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，则ＡＢＤＥ＝ＢＣＥＦ，如果ＡＢ≠ＢＣ，不妨设ＡＢ＞ＢＣ，我们把图１中△ＡＢＣ的Ｂ...     

等腰三角形“三线合一”性质的应用

“三线合一”指的是《几何》第二册第６７页上的一个推论：“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．”这是等腰三角形的重要性质之一,运用时应作如下理解：如图１,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,Ｄ为ＢＣ上一点,在下列三个条件中：（１）∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ;（２）ＡＤ⊥ＢＣ;（３）ＢＤ＝ＤＣ,满足其中任意一个条件时,都能立刻推出其余两个成立．下面举例说明它的应用．一、证明线段相等例１如图２,△ＡＢＣ中,Ｄ、Ｅ在ＢＣ边上,ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ＝ＡＥ．求证：ＢＤ＝ＣＥ．证明作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ,则由“三线合…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其过定理是几何中十分重要的两个定理，它们在解题中应用比较广泛．现举几例说明它们在几何解题中的综合运用．一判断三角形形状例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，且ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．证明在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＤ２＋２ＡＤ２＋ＣＤ２．ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＤ＋ＣＤ）．即ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．根据勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ为直角三角形．二求角度例２如图２，ＡＢＢＣ，ＣＤＡ…     

平行四边形的判定方法

要判定一个四边形是平行四边形,常用的判定方法有以下五种：两组对边分别平行从边的关系考虑两组对边分别相等一组对边平行且相等从角的关系考虑两组对角分别相等从对角线的关系考虑对角线互相平分平行四边形由于判定一个四边形为平行四边形的方法较多,因此要注意认真分析题目的特点,选取最简捷的证题思路．例１如图１,四边形ＡＢＣＤ中,ＡＢ＝ＣＤ,ＡＤＢ＝ＣＢＤ＝９０°．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．分析１由已知条件和上述的方法２可知,欲证ＡＢＣＤ为平行四边形,只须证ＡＤ＝ＢＣＲｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＣＢＤ　ＡＢ＝Ｃ…     

一道条件多余的数学试题

一道条件多余的数学试题临洮中学田勇甘肃省１９９５年初中毕业会考数学试题３３：如图，等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于Ｅ，知∠ＡＤＢ＝６０°，ＢＤ＝１２，且ＢＥ：ＥＤ＝５：１，求这个梯形的周长。对于已经学过余弦定理的初三学生来说，本...