椭圆的另一个焦半径公式及其应用

<正>我们知道,如果焦点在x轴的椭圆上动点P横坐标为x0,F_1,F_2为左、右焦点,那么椭圆的焦半径公式为PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0,对这一公式及其应用通常都很熟悉.然而在一些高考试题中,对椭圆焦半径另一公式考查较多.而考生因对此不熟悉,导致在解涉及椭圆焦半径相关问题时,往往感到困难,无从下手,失分较多.椭圆焦半径及弦长问题,多涉及三角、离心率、直线斜率(或倾斜角)等高     

一道焦半径拓展题的探究

<正>一、问题的提出如图1,在椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)中,F_1、F_2分别是左、右焦点,点P是椭圆上任一点,对于焦点△PF_1F_2中的两条焦半径PF_1,PF_2,现有的研究已比较深入,我考虑延长PF_1交椭圆于点Q,延长PF_2交椭圆于点M,把两条焦半径的问题拓展为四条焦半径PF_1,PF_2,QF_1,MF_2的问题.由于点P是动点,所以     

用焦半径公式 简解弦长问题

<正>椭圆、双曲线或抛物线上一点与焦点的线段,叫做圆锥曲线的焦半径。(1)已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F_1(-c,0)、F_2 (c,0),P(x_0,y_0)是椭圆上的动点,则PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0,且焦半径的长度的取值     

二次曲线焦半径与切线间的一个性质及应用

二次曲线有许多丰富有趣的性质,这部分内容也是高考命题的热点.笔者在引导学生复习这部分内容时,发现二次曲线的焦半径与切线间有一个有趣的性质,在此给出,与大家同享.一、二次曲线的焦半径1.定义:二次曲线上的点与焦点连成的线段,叫二次曲线的焦半径.2.二次曲线的焦半径长度     

介绍椭圆标准方程的另一种推导

本文介绍一种有心二次曲线(椭圆,双曲线)标准方程异于课本的推导方法.作为一个中间结果,很方便地得到了相应的有心二次曲线的焦半径公式.最后作为应用,通过一个例子说明了这种思想方法的效用. 中学课本关于椭圆标准方程的推导一般采     

圆锥曲线焦半径公式的应用

在高考数学中,圆锥曲线占有非常重要的位置,而熟练应用焦半径公式是解决圆锥曲线问题的一种简单快捷的方法.一、圆锥曲线的焦半径公式1.设 M(x_0,y_0)是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)上一点,F_1(-c,0)、F_2(c,0)是左、右焦点,e 是椭圆的离心率,则(1)|MF_1|=a ex_0,|MF_2|=a-ex_0.设 M(x_0,y_0)是椭圆 x~2/b~2 y~2/a~2=1(a>b>0)上一点,F_1(0,c)、F_2(0,-c)是上、下焦点,e 是椭圆的离心率,则(2)|MF_1|=     

一道竞赛题的解法及引伸

第三届美国数学邀请赛有这样一道题:在xoy平面内,一个椭圆的两个焦点为F_1(9,20),F_2(49,55),并且椭圆与x轴相切,求椭圆的长轴是多少? 下面我们给出其两种解法及引伸。分析1 由题设条件,考虑到椭圆切线的等角性:切线平分两焦半径所成的外角。     

圆锥曲线的焦半径公式及其应用

圆锥曲线上任一点到焦点所连线段叫做圆锥曲线过该点的焦半径。由于椭圆、双曲线有两个焦点,所以椭圆和双曲线上的点都有两条焦半径。对于涉及焦半径的问题,运用焦半径计算,可使问题化繁为简、化难为易。一、焦半径公式设P(x,y)为圆锥曲线上任一点,离心率为e,那么P到焦点的距离r可以用下面公式表示,统称焦半径公式。     

圆锥曲线的焦半径公式及其应用

连接圆锥曲线的焦点与曲线上任一点的线段统称为它的焦半径,根据圆锥曲线的统一定义,很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式,下面是用处较多的椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式:1)对于椭圆ax22 by22=1(a>b>0)而言,焦半径公式为:|PF1|=a ex,|PF2|=a-ex.2)对于双曲线ax22-by22=1(a>0     

新课标精神下的“焦半径”教学

椭圆或双曲线上任一点与焦点之间的线段长,叫作焦半径.新课标不再要求椭圆、双曲线的第二定义,但理科学生在教材"阅读与思考"中仍有涉及,故焦半径仍在高考中频频出现.相对于原来的考生,这些题目难度就大大加大了.教学中,我们该怎么办?在没有第二定义的情况下,仍可证明焦半径公式.以椭圆     

椭圆概念的深入理解

正确理解概念是掌握数学基础知识的前提,是培养学生学好数学公式、定理和发展能力的基础。例如椭圆的定义是解析几何中的重要概念,必须深刻理解和牢固掌握。 椭圆定义:平面内与两个定点F_1、F_2的距离的和等于常数(大于│F_1F_2│)的点的轨迹叫椭圆。F_1、F_2叫椭圆的焦点。对于这个概念应从以下三方面进行理解 1.若点F_1、F_2重合,动点的轨迹是什么?同学们容易知道,此时动点轨迹是以定点为圆心,已知常数为半径的圆。     

椭圆切线的一个性质及其应用

命题:过椭圆焦点作椭圆任一切线的垂线,垂足在椭圆的大辅助圆上。证明:设P为椭圆上任意一点,过焦点F_1作过P点的切线l的垂线,垂足为C_1。又设焦点F_2与P的连线的延长线交F_1G_1于F_1’,连P、F_1,由椭圆切法线性质知∠1=∠2, ∴ F_1、F_1′关于切线l对称,G_1为F_1F_1′的中点。又连O、G_1, ∵ O为F_1F_2中点, ∴ OG_1=1/2 F_1′F_2=1/2(PF_1+PF_2)=a。∴ G_1在以O为圆心、a为半径的圆     

椭圆焦半径公式的应用

~~椭圆焦半径公式的应用@冉江林     

椭圆焦半径公式的一种变式与应用

在圆锥曲线中,焦半径是一个非常重要的几何量,与其有关的问题是各类考试的热点,故值得我们深入研究．为此,本文以椭圆为例研究它的一种变式．一、椭圆焦半径公式P是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)上一点,E、F是左、右焦点,e是椭圆的离心率,则(1)     

椭圆定义的应用

利用椭圆的两种定义,讨论了在求椭圆的离心率、焦半径以及三角形的周长、面积、最值、轨迹、相关量的范围等方面的应用.     

对椭圆定义应用的一点思考

利用椭圆的两种定义，讨论了在求椭圆的离心率、焦半径以及三角形的周长、面积、最值、轨迹、相关量的范围等方面的应用。     

焦半径公式在2000年高考题中的应用

焦半径是指圆锥曲线上任一点到焦点的距离.设 P(x_0,y_0)为圆锥曲线上任一点,则其对应于抛物线、椭圆、双曲线的焦半径分别有如下结论:1.设抛物线y~2=2px(p>0)     

一个例题的勘误意见

六年制重点高中数学课本《解析几何》(平面)p84例2,是一个尺规法画椭圆问题,较原统编教材、是新增内容。用以加深对椭圆定义的理解,无疑很有益处。但画法有不严密之处,为说明问题,现照抄一段如下: (1)作线段F_1F_2,使|F_1F_2|=2c,设F_1F_2的中点为O,在F_1F_2和F_1F_1的延长线上,分别取点A,A′,使OA=OA′=a,(图2-14) (2)在线段A′A上任取一点M_1,分别以点F_1,F_2为圆心,A′M_1、AM_1为半径画弧,交于点P_1、P_2。改变M_1的位置,例如M_2,M_3,…,同样可得P_2、P′_2、P_3、P′_3… (3)略。“在线段A′A上任取一点M_1不妥。若M_1取在A′F_1(或F_2A)上任何地方都不行。因A′M_1(或AM_1)的长,正是椭圆的焦点半径,设为r。当以O     

圆锥曲线题型的常用解法

正1.定义法(1)椭圆、双曲线有两种定义.第一定义中,与两个定点距离问题正用定义;点在椭圆、双曲线上时逆用定义.第二定义中,常常将焦半径与"点到准线的距离"互相转化.(3)抛物线只有一种定义,就是单一的焦半径与"点到准线的距离"互相转化,很多抛物线问题直接用定义解决.     

封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题

文[1]讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最大问题.1.圆内接四边形的面积最大值如图1,四边形ABCD是圆O的内接四边形,圆O的半径为R.设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,∠A=α,∠C=β.