Rado不等式与Popovic不等式统一形式的加权推广及其演化

本对Ｒａｄｏ不等式与Ｐｏｐｏｖｉｃ不等式的统一形式＾「１」ｎ（Ａｎ－λＧｎ）≥ｎ－１）Ａｎ－１－ｎλ＾ｎ－１Ｇｎ－１作了加权推广，并进一步研究了加权算术平均值与加权调和平均值、加权几何平均值与加权调和平均值的相应形式的不等式，对「２」的主要结论进行了统一推广。     

关于三个几何不等式

关于三个几何不等式江西省永修县第一中学宋庆§１Ｇｕｂａ不等式的推广１９６９年，Ｓ．Ｇ．Ｇｕｂａ建立了如下不等式（［１］中述而未证）：若ａ、ｂ、ｃ、ｓ分别为三角形的三边长及半周长，则ａ－ｂｓ－ｂ＋ｂ－ｃｓ－ｃ＋ｃ－ａｓ－ａ≤０．①推广之，笔者得到定理１...     

用构造数列法证明不等式

所谓构造数列法，就是根据所证不等式的需要构造一个含有数列的不等式，然后根据数列极限的性质，得到所要证明的不等式．例1证明当0＜x＜n/2时，有x－sinx≤x/6．依次使用，代替（1）式中的x，得到：然后相加得：不等式两进取极限得：从而得例2设△ABC为锐角三形，求证：（n为自然数）．证先证，n=1的情形，因为tgA·tgB·tgC＞0，从而得由算术一几何平均值不等式，联系（6）得再次运用算术一几何平均值不等式，并联系（7）式，得将上述手续重复几次，可得到：（8）式又可写成对（9）式取极限得：（1。）式左端与n无关，右端hm3g（。寸3…     

关于高维单形的两个几何不等式

本文获得E^n中n维单形的两个重要几何不等式,作为其特例可得到文献（1）－（5）中的主要结果。     

几何不等式

几何问题中除了相等关系之外，还有大量不等关系的问题，我们把几何问题中出现的不等式称为几何不等式，在平面图形中，几何不等式主要包括长度、角度、面积三个方面，本节重点是长度、角度方面的不等式。由于几何中最大（小）值与几何不等式密切相关，因此也放在这节中一起讨论。     

一道代数习题的几种几何解法

一道代数习题的几种几何解法平凉师范宋灵宇中师《代数与初等函数》第一册２７１页第５题是：求函数ｙ＝ｘ－２＋１６－ｘ的最大值．有以下几种几何解法．解法１函数定义域是〔２，１６〕，利用不等式（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号），有（ｘ...     

一元一次不等式错解分析

初学一元一次不等式，有些同学由于对基本概念和基本性质掌握不熟练，因而在解一元一次不等式时常常出现错误．现剖析几例如下：例1解不等式：3（1－x）＜2（x＋9）．错解去括号，得3－3x＜2x＋18．移项，得－3x－2x＜18－3．合并同类项，得－5x＜15．两边同除以－5，得x＜－3．分析上述解法误用了不等式的性质：不等式的两边同乘（或除）以同一个负数，不等号的方向要改变．此题两边同除以－5时，应改变不等号的方向，正确答案应是x＞－3．例2解不等式：错解不等式两边同乘以12，得3（2x－1）－4（x－2）≤2（4x＋3）－1．去括号，得6x－3…     

（H,φ）—变分不等式及其若干性质

定义了（ｈ，φ）－变分不等式及（ｈ，φ）－广义单调函数，并探讨了与（ｈ，φ）－广义单调函数有关的（ｈ，φ）－变分不等式的若干性质。     

三类抽象函数问题的处理策略

一、含抽象函数的不等式的解法解这类不等式，应充分利用函数的单调性，想方设法去掉“f”，构成不含“f”的不等式再求解．例１已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＜０）对于任意实数x恒有f（２＋x）＝f（２－x）成立．解不等式f（１－２x２）＞f（１＋２x－x２）．解析∵a＜０，∴f（x）的图象开口向下，其对称轴方程为x＝２，故f（x）在（－∞，２犦上单调递增，而在犤２，＋∞）上单调递减．∵１－２x２≤１＜２，１＋２x－x２＝２－（x－１）２≤２，∴（１－２x２）与（１＋２x－x２）的值在区间（－∞，２犦上．故原不等式可化为１－２x…     

一个代数不等式的推广

宋庆先生在《一个新发现的代数不等式》（见数学通讯１９９９年第６期）一文中得到如下定理及推论： 定理　若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｘ－ ｙ）＋ ｙｎ（ｙ－ｚ）＋ ｚｎ（ｚ－ｘ） ≥（１）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时；不等式（１）反向，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立 推论若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｙ＋ｚ－２ｘ）＋ｙｎ（ｚ＋ｘ－２ｙ）＋ｚｎ（ｘ＋ｙ－２ｚ）≤（２）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时，不等式（２）反面，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立。 本文目的是将不等式（１）与（２）进行推广，得到相应的两个不等…     

琴生不等式的高维推广

将琴生（Jensen）不等式作了高维推广，并由它得到了m维空间的一系列不同类型的函数不等式，它们是算术——几何平均值不等式、柯西不等式的联合推广。     

一元一次不等式(组)中考试题集锦

一、填空题1.已知代数式9－3a，当a＿＿＿＿时，它的值大于零；当a时，它的值小于零．（1994年．河南）2．当a时，一元一次不等式ax＋3＞0的解集为x＞（1988年，西藏）3．如果关于x的方程（1－m）x＝1－2x的解是一个负数，那么m的取值范围是（1989年．山东）4.不等式的非负整数解为（1992年，山西）5.求不等式的正整数解为．（1989年，贵阳）6.不等式组的解集是（1993年，甘肃）7．不等式组的解集是（1994年，四川）二、选择题1．使代数式的值为非负整数的m的取值中，最大的一个是（A）0；（B）4；（C）－2；（D）2．（1994年，四川）2．…     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…     

也谈一类根式不等式的证法

《数学教学研究》１９９９年第５期文〔１〕专门研究了一类根式不等式的证法，本文将给出这类不等式的一种更便捷的证法．１　关于二次根式和三次根式的两个不等式定理１　设０≤ｘ１＜ｘ＜ｘ２，则ｘ＞ｘ１＋ｘ２－ｘ１ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１）．（１）证　由题设知只需证明ｘ－ｘ１ｘ－ｘ１＞ｘ２－ｘ１ｘ２－ｘ１，为此，只需验证１ｘ＋ｘ１＞１ｘ２＋ｘ１．因为ｘ＜ｘ２，所以这个不等式显然成立，从而不等式（１）成立．定理２　设０≤ｘ１＜ｘ＜ｘ２，则３ｘ＞３ｘ１＋３ｘ２－３ｘ１ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１）．（２）这个定理的证明可以…     

不等式在解综合题中的应用

应用不等式解题的关键是建立不等关系．建立不等关系的方法有：（１）利用几何意义；（２）利用判别式；（３）应用变量的有界性；（４）应用函数的单调性；（５）应用均值不等式．例１如图所示，设A（a，b）是第一象限内的一定点，过A作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点M、N．求△MON（O是原点）的面积最小时，点M、N的坐标．解设M（x，０）、N（０，y）（x＞a＞０，y＞b＞０），则S△MON＝１２xy，作AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C．因为△ABM∽△MON，所以ABNO＝BMOM，即by＝x－ax，故y＝bxx－a．∴S△MON＝１２x·bxx－a＝bx２…     

一元一次不等式测试题(下)

一、选择题１．不等式｜x＋１｜＞１的解集是（）．A．一切实数B．x＞０C．x＞０或x＜－２D．x＞０或x＞－２２．已知a＜０，b＞０，c＜０，化简a｜a｜＋ab｜ab｜＋abc｜abc｜的结果）．A．１B．－１C．－２D．２３．当x＝－１２时，多项式x２＋kx－１的值小于０，那）．A．k＞－３２B．k＞３２C．k＜－３２D．k＜３２４．不等式１４（３－x）＜１的解集在数轴上表示正确的）．A．B．C．D．５．下列各组不等式中，是同解不等式的是（）．A．１３（１－x）＞－５与１３（x－１）＜－５B．１３（１－x）＞－５与１３（x－１）＜５C．…     

与P＋3Q≥R等价的三角形不等式链

笔者曾建立“Ｐ—Ｑ—Ｒ”法，借以证明研究一类不等式，尤其是研究三角形不等式［１］［２］，张瑞蓉老师在研究该方法的基础上，得到了如下定理［３］： 本文提出与Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ等价的四个三角形不等式链：（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）、（Ⅳ）． 定理１ａ，ｂ．ｃ为△ＡＢＣ三边，则注意到（ｂ＋ｃ—ａ）＝Ｐ—２Ｑ＋Ｒ，此时，定理 １不等式链（Ⅰ），又可写成为（Ⅱ）： 定理 ２在△ＡＢＣ中，有 ３（－Ｐ—２Ｑ＋Ｒ）≤－Ｐ＋Ｒ ≤（－ Ｐ＋ ６ Ｑ＋ Ｒ） ≤３Ｑ＜Ｐ＋６Ｑ—Ｒ，（Ⅱ） 显然，（Ⅱ）包含的 １０个不等式均可化为 Ｐ＋３Ｑ …     

关于一元一次不等式组解集的确定

一元一次不等式组的解集是指一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，除教材中通过数轴，直观地表示出解集的公共部分外，还可用四句口快来揭示一元一次不等式组解集的确定规律，即：“同大于取大的，同小于取小的，两界之间要连写，两界之外是空集．”一、同大于型设a＜b，不等式组例1解不等式组解由不等式（1）得x≥1；由不等式（2）得x≥3．所以原不等式组的解集为x≥3．二、同小于型设a＜b，则不等式解由（1）得x≤－1；由（2）得x≤－3；由（3）得x＜0．所以原不等式组的解集为x≤－3．三、在大小两级之间型设。a＜b，则不等式组…     

一个蕴含了诸多著名不等式的凸函数命题

利用泰勒公式法证明一个凸函数命题,由该命题的结论可简单地导出几个熟知的重要不等式,如詹生（Jensen）不等式、算术-几何-调和平均不等式、杨氏（Young）不等式、霍尔德（Holder）不等式、柯西-希瓦兹（Cauchy—Schwartz）不等式等。     

一个代数不等式的证明

《中学教学月刊》1999年第10期《一组三角形不等式的代数本质》一文中，有一个留待探讨的不等式，本文利用＜b，m＞0）给出其证明．若x，y，zR＋，xy＋yz＋zx=1，则8x2y2z2＞（1－x2）（1－y2）（1－z2）．证明（1）x＞0，y＞0，z＞0，xy＋yz＋Zx=1，x，y，z三个数中至多有一个数不小于1（若有两个数不小于1，则与xy＋yz＋zx=1矛盾）．从而原不等式左边＞0，右边＜0，不等式成立．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，由即4ZJ）r＞（1一人（1－Z勺．同理可证，勿’xz＞（1－X勺（1－X勺，4X’ry＞（1－X勺（1－y）三式相乘得4’X、‘X‘…